Question

Una lista de $9$ números reales consta de $1$ , $2.2$ , $3.2$ , $5.2$ , $6.2$ , $7$ , además de $x, y, z$ con $x \le y \le z.$ El rango de la lista es $7,$ y la media y la mediana son ambas enteros positivos. ¿Cuántas ternas ordenadas $(x, y, z)$ son posibles?

A list of $9$ real numbers consists of $1,$ $2.2,$ $3.2,$ $5.2,$ $6.2,$ and $7,$ as well as $x, y, z$ with $x \le y \le z.$ The range of the list is $7,$ and the mean and median are both positive integers. How many ordered triples $(x, y, z)$ are possible?

$1$

$2$

$3$

$4$

infinitas

infinitely many

Solución:

Los seis números fijos suman $24.8.$ La media $\dfrac{24.8 + x + y + z}{9}$ es un entero exactamente cuando $x + y + z$ tiene parte fraccionaria $0.2.$ Los números fijos abarcan $[1, 7],$ así que para lograr un rango de $7$ los extremos deben separarse una unidad más.

Al revisar las posibilidades se obtienen exactamente tres ternas válidas:

$(x, y, z) = (0, 5, 6.2)$ con media $4$ y mediana $5;$ $(x, y, z) = (0.1, 4, 7.1)$ con media $4$ y mediana $4;$ y $(x, y, z) = (6, 6.2, 8)$ con media $5$ y mediana $6.$ Cada una tiene rango $7$ y media y mediana enteras.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The six fixed numbers sum to $24.8.$ The mean $\dfrac{24.8 + x + y + z}{9}$ is an integer exactly when $x + y + z$ has fractional part $0.2.$ The fixed numbers span $[1, 7],$ so to make the range $7$ the extremes must be pushed apart by one more unit.

Checking the possibilities gives exactly three valid triples:

$(x, y, z) = (0, 5, 6.2)$ with mean $4$ and median $5;$ $(x, y, z) = (0.1, 4, 7.1)$ with mean $4$ and median $4;$ and $(x, y, z) = (6, 6.2, 8)$ with mean $5$ and median $6.$ Each has range $7$ and integer mean and median.

Thus, the correct answer is C.

2024 AMC 12B Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años