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2024 AMC 12B Problema 10

Intenta el Problema 10 del 2024 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

10.

Una lista de 99 números reales consta de 1,1, 2.2,2.2, 3.2,3.2, 5.2,5.2, 6.2,6.2, 7,7, además de x,x, y,y, zz con x≤y≤z.x \le y \le z. El rango de la lista es 7,7, y la media y la mediana son ambas enteros positivos. ¿Cuántas ternas ordenadas (x,y,z)(x, y, z) son posibles?

A list of 99 real numbers consists of 1,1, 2.2,2.2, 3.2,3.2, 5.2,5.2, 6.2,6.2, and 7,7, as well as x,x, y,y, zz with x≤y≤z.x \le y \le z. The range of the list is 7,7, and the mean and median are both positive integers. How many ordered triples (x,y,z)(x, y, z) are possible?

11

22

33

44

infinitas

infinitely many

Respuesta: C
Conceptos:mediamediana (datos)rangoanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1600
Pista pequeña:

Los seis números fijos suman 24.8,24.8, así que la media es un entero solo cuando x+y+zx + y + z termina en 0.20.2.

The six fixed numbers sum to 24.8,24.8, so the mean is an integer only when x+y+zx + y + z ends in 0.20.2

Pista grande:

La condición del rango da tres casos: (min⁡,max⁡)=(0,7), (1,8),(\min,\max)=(0,7),\ (1,8), o (t,t+7)(t,t+7) con 0<t<10\lt t\lt1

The range condition gives three cases: (min⁡,max⁡)=(0,7), (1,8),(\min,\max)=(0,7),\ (1,8), or (t,t+7)(t,t+7) with 0<t<10\lt t\lt1

Solución:

Los seis números fijos suman 24.824.8 y abarcan el intervalo [1,7].[1,7]. Hay tres posibles disposiciones de los extremos totales.

Si los extremos son 00 y 7,7, entonces x=0x=0 y z≤7.z\le7. Las únicas medias enteras posibles son 33 y 4,4, lo que exige y+z=2.2y+z=2.2 o 11.2.11.2. La primera da mediana 2.2.2.2. En la segunda, una mediana entera obliga a que y=5,y=5, y por tanto z=6.2.z=6.2. Esto da (0,5,6.2).(0,5,6.2).

Si los extremos son 11 y 8,8, entonces z=8z=8, y una media entera exige x+y=3.2x+y=3.2 o 12.2.12.2. La primera da mediana 3.2;3.2; la segunda tiene mediana entera solo para x=6, y=6.2.x=6,\ y=6.2. Esto da (6,6.2,8).(6,6.2,8).

Finalmente, si ambos extremos son nuevos, escribimos x=t, z=t+7x=t,\ z=t+7 con 0<t<1.0\lt t\lt1. La media debe ser 4,4, así que y=4.2−2t.y=4.2-2t. La mediana es el cuarto número entre 1,2.2,3.2,5.2,6.2,7,y;1,2.2,3.2,5.2,6.2,7,y; solo es entera cuando y=4,y=4, lo que da t=0.1.t=0.1. Así, la tercera terna es (0.1,4,7.1),(0.1,4,7.1), y hay exactamente 33 en total.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

The six fixed numbers sum to 24.824.8 and span [1,7].[1,7]. There are three possible arrangements of the overall extremes.

If the extremes are 00 and 7,7, then x=0x=0 and z≤7.z\le7. The only possible integer means are 33 and 4,4, requiring y+z=2.2y+z=2.2 or 11.2.11.2. The first makes the median 2.2.2.2. In the second, an integer median forces y=5,y=5, hence z=6.2.z=6.2. This gives (0,5,6.2).(0,5,6.2).

If the extremes are 11 and 8,8, then z=8z=8 and the integer mean forces x+y=3.2x+y=3.2 or 12.2.12.2. The first makes the median 3.2;3.2; the second has an integer median only for x=6, y=6.2.x=6,\ y=6.2. This gives (6,6.2,8).(6,6.2,8).

Finally, if both extremes are new, write x=t, z=t+7x=t,\ z=t+7 with 0<t<1.0\lt t\lt1. The mean must be 4,4, so y=4.2−2t.y=4.2-2t. The median is the fourth number among 1,2.2,3.2,5.2,6.2,7,y;1,2.2,3.2,5.2,6.2,7,y; it is an integer only when y=4,y=4, giving t=0.1.t=0.1. Thus the third triple is (0.1,4,7.1),(0.1,4,7.1), and there are exactly 33 in all.

Thus, the correct answer is C.

Problema 9#9
Examen completo
Problema 11#11

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