El promedio de los números 1, 2, 3, …, 98, 99, y x es 100x. ¿Cuánto vale x ?

2010 AMC 12B Problema 10 — Solución

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 10 del 2010 AMC 12B, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Nivel de dificultad: 1410

10.

El promedio de los números $1, 2, 3, \ldots, 98, 99,$ y $x$ es $100x.$ ¿Cuánto vale $x$ ?

The average of the numbers $1, 2, 3, \ldots, 98, 99,$ and $x$ is $100x.$ What is $x?$

$\dfrac{49}{101}$

$\dfrac{50}{101}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{51}{101}$

$\dfrac{50}{99}$

Los números del $1$ al $99$ suman $\dfrac{99\cdot100}{2}=4950.$

La condición del promedio es $\frac{4950+x}{100}=100x,$ así que $4950+x=10000x$ y $9999x=4950.$

Por lo tanto $x=\dfrac{4950}{9999}=\dfrac{50}{101}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The numbers $1$ through $99$ sum to $\dfrac{99\cdot100}{2}=4950.$

The average condition is $\frac{4950+x}{100}=100x,$ so $4950+x=10000x$ and $9999x=4950.$

Thus $x=\dfrac{4950}{9999}=\dfrac{50}{101}.$

Thus, the correct answer is B.