El promedio de los números 1, 2, 3, …, 98, 99, y x es 100x. ¿Cuánto vale x ?

2010 AMC 12B Problema 10 — Solución

2010 AMC 12B Problema 10

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10.

El promedio de los números $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $98,$ $99,$ y $x$ es $100x.$ ¿Cuánto vale $x$ ?

The average of the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $98,$ $99,$ and $x$ is $100x.$ What is $x?$

$\dfrac{49}{101}$

$\dfrac{50}{101}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{51}{101}$

$\dfrac{50}{99}$

Respuesta: B

Conceptos:media sumatoria ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

La suma $1+2+\cdots+99$ es igual a $4950$

The sum $1+2+\cdots+99$ equals $4950$

Pista grande:

$\dfrac{4950+x}{100}=100x$

Solución:

Los números del $1$ al $99$ suman $\dfrac{99\cdot100}{2}=4950.$

La condición del promedio es $\frac{4950+x}{100}=100x,$ así que $4950+x=10000x$ y $9999x=4950.$

Por lo tanto $x=\dfrac{4950}{9999}=\dfrac{50}{101}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The numbers $1$ through $99$ sum to $\dfrac{99\cdot100}{2}=4950.$

The average condition is $\frac{4950+x}{100}=100x,$ so $4950+x=10000x$ and $9999x=4950.$

Thus $x=\dfrac{4950}{9999}=\dfrac{50}{101}.$

Thus, the correct answer is B.

Problema 9#9

Examen completo

Problema 11#11

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