Question

En el triángulo $ABC,$ con $\overline{AB}=\overline{AC}=3.6,$ se toma un punto $D$ sobre $\overline{AB}$ a una distancia $1.2$ de $A.$ Se une $D$ con un punto $E$ en la prolongación de $\overline{AC}$ de modo que el triángulo $AED$ tenga la misma área que el triángulo $ABC.$ Entonces $\overline{AE}$ es igual a:

In triangle $ABC,$ with $\overline{AB}=\overline{AC}=3.6,$ a point $D$ is taken on $\overline{AB}$ at a distance $1.2$ from $A.$ Point $D$ is joined to point $E$ in the prolongation of $\overline{AC}$ so that triangle $AED$ is equal in area to triangle $ABC.$ Then $\overline{AE}$ equals:

$4.8$

$5.4$

$7.2$

$10.8$

$12.6$

Respuesta: D

Conceptos:área del triángulo razón de áreas

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Compara las alturas desde $B$ y $D$ hasta la recta $AC$

Compare the altitudes from $B$ and $D$ to the line $AC$

Pista grande:

Como $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3},$ la altura desde $D$ es un tercio de la altura desde $B$

Because $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3},$ the altitude from $D$ is one-third the altitude from $B$

Solución:

Los triángulos $AED$ y $ABC$ usan bases sobre la misma recta $AC.$ Como $\frac{AD}{AB}=\frac{1.2}{3.6}=\frac13,$ la distancia perpendicular de $D$ a la recta $AC$ es un tercio de la distancia correspondiente desde $B.$ Por lo tanto, la igualdad de áreas exige $AE\left(\frac h3\right)=AC(h),$ de modo que $AE=3AC=10.8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Triangles $AED$ and $ABC$ use bases on the same line $AC.$ Since $\frac{AD}{AB}=\frac{1.2}{3.6}=\frac13,$ the perpendicular distance from $D$ to line $AC$ is one-third the corresponding distance from $B.$ Equality of areas therefore requires $AE\left(\frac h3\right)=AC(h),$ so $AE=3AC=10.8.$

Thus, the correct answer is D.

1959 AMC 12 Problema 10

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años