Question

Si $n$ es un número real, entonces el sistema simultáneo $\begin{cases} nx+y=1,\\ ny+z=1,\\ x+nz=1 \end{cases}$ no tiene solución si y solo si $n$ es igual a

If $n$ is a real number, then the simultaneous system $\begin{cases} nx+y=1,\\ ny+z=1,\\ x+nz=1 \end{cases}$ has no solution if and only if $n$ is equal to

$-1$

$0$

$1$

$0$ o $1$

$0$ or $1$

$\frac12$

Respuesta: A

Conceptos:sistema de ecuaciones ecuación lineal sustitución

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Suma las tres ecuaciones y examina el coeficiente de $x+y+z$

Add all three equations and inspect the coefficient of $x+y+z$

Pista grande:

Para cualquier otro valor de $n,$ prueba la elección simétrica $x=y=z$

For every remaining value of $n,$ try the symmetric choice $x=y=z$

Solución:

Al sumar las ecuaciones se obtiene $(n+1)(x+y+z)=3.$ Cuando $n=-1,$ esto se convierte en $0=3,$ por lo que no hay solución. Si $n\ne-1,$ la asignación simétrica $x=y=z=\frac1{n+1}$ satisface las tres ecuaciones. Por lo tanto, el sistema no tiene solución exactamente cuando $n=-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Adding the equations gives $(n+1)(x+y+z)=3.$ When $n=-1,$ this becomes $0=3,$ so no solution exists. If $n\ne-1,$ the symmetric assignment $x=y=z=\frac1{n+1}$ satisfies all three equations. Hence the system has no solution exactly when $n=-1.$

Therefore, the correct answer is A.

1973 AMC 12 Problema 10

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años