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1973 AMC 12 Problema 9

Intenta el Problema 9 del 1973 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1973 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

En △ABC\triangle ABC, con ángulo recto en C,C, la altura CHCH y la mediana CMCM trisecan el ángulo recto. Si el área de △CHM\triangle CHM es K,K, entonces el área de △ABC\triangle ABC es

In △ABC\triangle ABC with right angle at C,C, altitude CHCH and median CMCM trisect the right angle. If the area of △CHM\triangle CHM is K,K, then the area of △ABC\triangle ABC is

6K6K

43K4\sqrt3K

33K3\sqrt3K

3K3K

4K4K

Respuesta: E
Conceptos:triángulo rectángulomediana (geometría)congruencia (geometría)razón de áreas
Nivel de dificultad: 1870
Pista pequeña:

Compara los triángulos rectángulos CHMCHM y CHBCHB usando los ángulos de la trisección

Compare the right triangles CHMCHM and CHBCHB using the trisection angles

Pista grande:

Después de ubicar MM y HH sobre AB,AB, compara HMHM con toda la base ABAB

After locating MM and HH on AB,AB, compare HMHM with the whole base ABAB

Solución:

Como CH⊥AB,CH\perp AB, tanto △CHM\triangle CHM como △CHB\triangle CHB son rectángulos en H.H. La trisección produce ángulos agudos iguales en C,C, y los triángulos comparten el lado CH,CH, por lo que son congruentes. Así, HM=HB.HM=HB.

Como MM es el punto medio de AB,AB, se tiene AM=MB.AM=MB. A lo largo de la hipotenusa, el orden es A,M,H,B,A,M,H,B, y MB=MH+HB=2MH.MB=MH+HB=2MH. Por lo tanto, AB=2MB=4MH. AB=2MB=4MH. Los triángulos ABCABC y CHMCHM tienen bases sobre la misma recta y la misma altura desde C,C, por lo que sus áreas están en la razón AB:HM=4:1.AB:HM=4:1. Así, el área de △ABC\triangle ABC es 4K.4K.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since CH⊥AB,CH\perp AB, both △CHM\triangle CHM and △CHB\triangle CHB are right at H.H. The trisection gives equal acute angles at C,C, and the triangles share side CH,CH, so they are congruent. Hence HM=HB.HM=HB.

Because MM is the midpoint of AB,AB, AM=MB.AM=MB. Along the hypotenuse the order is A,M,H,B,A,M,H,B, and MB=MH+HB=2MH.MB=MH+HB=2MH. Thus AB=2MB=4MH. AB=2MB=4MH. Triangles ABCABC and CHMCHM have bases on the same line and the same altitude from C,C, so their areas are in the ratio AB:HM=4:1.AB:HM=4:1. Therefore the area of △ABC\triangle ABC is 4K.4K.

Therefore, the correct answer is E.

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