Question

Cuando $x^9-x$ se factoriza tanto como sea posible en polinomios y monomios con coeficientes enteros, el número de factores es:

When $x^9-x$ is factored as completely as possible into polynomials and monomials with integral coefficients, the number of factors is:

más de $5$

more than $5$

$5$

$4$

$3$

$2$

Respuesta: B

Conceptos:factorización diferencia de cuadrados polinomio

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Comienza con $x(x^8-1)$ y usa repetidamente diferencias de cuadrados

Begin with $x(x^8-1)$ and repeatedly use differences of squares

Pista grande:

Sobre los enteros, detente después de aislar $x,$ $x-1,$ $x+1,$ $x^2+1,$ y $x^4+1$

Over the integers, stop after isolating $x,$ $x-1,$ $x+1,$ $x^2+1,$ and $x^4+1$

Solución:

La factorización sobre los enteros da $\begin{aligned} x^9-x &=x(x-1)(x+1)\\ &\quad\cdot(x^2+1)(x^4+1). \end{aligned}$ Los dos últimos factores no constantes son irreducibles sobre los enteros, así que hay $5$ factores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Factoring over the integers gives $\begin{aligned} x^9-x &=x(x-1)(x+1)\\ &\quad\cdot(x^2+1)(x^4+1). \end{aligned}$ The last two nonconstant factors are irreducible over the integers, so there are $5$ factors.

Thus, the correct answer is B.

1962 AMC 12 Problema 9

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años