Soluciones del 1962 AMC 12 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

La expresión $\dfrac{1^{4y-1}}{5^{-1}+3^{-1}}$ es igual a:

The expression $\dfrac{1^{4y-1}}{5^{-1}+3^{-1}}$ is equal to:

$\dfrac{4y-1}{8}$

$8$

$\dfrac{15}{2}$

$\dfrac{15}{8}$

$\dfrac18$

Conceptos:exponente fracción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Primero simplifica la potencia del numerador

First simplify the power in the numerator

Pista grande:

Reescribe cada potencia de exponente negativo uno como un recíproco

Rewrite each negative first power as a reciprocal

Solución:

El numerador es $1,$ mientras que $5^{-1}+3^{-1}=\frac15+\frac13=\frac8{15}.$ Por lo tanto, la expresión es igual a $\frac{1}{\frac{8}{15}}=\frac{15}{8}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The numerator is $1,$ while $5^{-1}+3^{-1}=\frac15+\frac13=\frac8{15}.$ Therefore the expression equals $\frac{1}{\frac{8}{15}}=\frac{15}{8}.$

Thus, the correct answer is D.

2.

La expresión $\sqrt{\dfrac43}-\sqrt{\dfrac34}$ es igual a:

The expression $\sqrt{\dfrac43}-\sqrt{\dfrac34}$ is equal to:

$\dfrac{\sqrt3}{6}$

$-\dfrac{\sqrt3}{6}$

$\dfrac{\sqrt{-3}}6$

$\dfrac{5\sqrt3}{6}$

$1$

Conceptos:radical racionalización del denominador fracción

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Escribe los dos radicales como $\frac{2}{\sqrt3}$ y $\frac{\sqrt3}{2}$

Write the two radicals as $\frac{2}{\sqrt3}$ and $\frac{\sqrt3}{2}$

Pista grande:

Usa un denominador común antes de racionalizar

Use a common denominator before rationalizing

Solución:

Tenemos $\frac2{\sqrt3}-\frac{\sqrt3}{2} =\frac{4-3}{2\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{6}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $\frac2{\sqrt3}-\frac{\sqrt3}{2} =\frac{4-3}{2\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{6}.$

Therefore, the correct answer is A.

3.

Los tres primeros términos de una progresión aritmética son $x-1,$ $x+1,$ $2x+3,$ en el orden indicado. El valor de $x$ es:

The first three terms of an arithmetic progression are $x-1,$ $x+1,$ $2x+3,$ in the order shown. The value of $x$ is:

$-2$

$0$

$2$

$4$

indeterminado

undetermined

Conceptos:sucesión aritmética ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Las diferencias consecutivas de una progresión aritmética son iguales

Consecutive differences in an arithmetic progression are equal

Pista grande:

Iguala $(x+1)-(x-1)$ a $(2x+3)-(x+1)$

Set $(x+1)-(x-1)$ equal to $(2x+3)-(x+1)$

Solución:

La igualdad de las diferencias consecutivas da $2=(2x+3)-(x+1)=x+2,$ así que $x=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Equality of consecutive differences gives $2=(2x+3)-(x+1)=x+2,$ so $x=0.$

Thus, the correct answer is B.

4.

Si $8^x=32,$ entonces $x$ es igual a:

If $8^x=32,$ then $x$ equals:

$4$

$\dfrac53$

$\dfrac32$

$\dfrac35$

$\dfrac14$

Conceptos:exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Expresa ambos lados como potencias de $2$

Express both sides as powers of $2$

Pista grande:

Iguala los exponentes en $2^{3x}=2^5$

Equate the exponents in $2^{3x}=2^5$

Solución:

Como $8=2^3$ y $32=2^5,$ la ecuación se convierte en $2^{3x}=2^5.$ Por tanto, $3x=5$ y $x=\frac{5}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $8=2^3$ and $32=2^5,$ the equation becomes $2^{3x}=2^5.$ Hence $3x=5$ and $x=\frac{5}{3}.$

Therefore, the correct answer is B.

5.

Si el radio de un círculo aumenta en $1$ unidad, la razón de la nueva circunferencia al nuevo diámetro es:

If the radius of a circle is increased by $1$ unit, the ratio of the new circumference to the new diameter is:

$\pi+2$

$\dfrac{2\pi+1}{2}$

$\pi$

$\dfrac{2\pi-1}{2}$

$\pi-2$

Conceptos:círculo circunferencia razón y proporción

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Llama $R$ al nuevo radio

Call the new radius $R$

Pista grande:

Divide la circunferencia $2\pi R$ entre el diámetro $2R$

Divide the circumference $2\pi R$ by the diameter $2R$

Solución:

Para todo círculo, sin importar su radio, la circunferencia dividida entre el diámetro es $\frac{2\pi R}{2R}=\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For every circle, regardless of its radius, the circumference divided by the diameter is $\frac{2\pi R}{2R}=\pi.$

Thus, the correct answer is C.

6.

Un cuadrado y un triángulo equilátero tienen perímetros iguales. El área del triángulo es $9\sqrt3$ pulgadas cuadradas. Expresada en pulgadas, la diagonal del cuadrado es:

A square and an equilateral triangle have equal perimeters. The area of the triangle is $9\sqrt3$ square inches. Expressed in inches the diagonal of the square is:

$\dfrac92$

$2\sqrt5$

$4\sqrt2$

$\dfrac{9\sqrt2}{2}$

ninguna de las anteriores

none of these

Conceptos:triángulo equilátero perímetro diagonal área

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Usa $\frac{\sqrt3}{4}s^2$ para el área del triángulo

Use $\frac{\sqrt3}{4}s^2$ for the triangle’s area

Pista grande:

Iguala los dos perímetros y luego multiplica el lado del cuadrado por $\sqrt2$

Equate the two perimeters, then multiply the square’s side by $\sqrt2$

Solución:

Si $s$ es el lado del triángulo, entonces $\frac{\sqrt3}{4}s^2=9\sqrt3,$ así que $s=6.$ Su perímetro es $18,$ por lo que el lado del cuadrado es $\frac{18}{4}=\frac{9}{2}.$ Por tanto, la diagonal del cuadrado es $\frac{9\sqrt2}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $s$ is the triangle’s side, then $\frac{\sqrt3}{4}s^2=9\sqrt3,$ so $s=6.$ Its perimeter is $18,$ making the square’s side $\frac{18}{4}=\frac{9}{2}.$ The square’s diagonal is therefore $\frac{9\sqrt2}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

7.

Las bisectrices de los ángulos exteriores en $B$ y $C$ del triángulo $ABC$ se cortan en $D.$ Entonces, si todas las medidas están en grados, el ángulo $BDC$ es igual a:

Let the bisectors of the exterior angles at $B$ and $C$ of triangle $ABC$ meet at $D.$ Then, if all measurements are in degrees, angle $BDC$ equals:

$\dfrac12(90-A)$

$90-A$

$\dfrac12(180-A)$

$180-A$

$180-2A$

Conceptos:bisectriz suma de ángulos persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Cada bisectriz de un ángulo exterior forma con un lado un ángulo de $90^\circ-\frac{B}{2}$ o $90^\circ-\frac{C}{2}$

Each exterior-angle bisector makes an angle $90^\circ-\frac{B}{2}$ or $90^\circ-\frac{C}{2}$ with a side

Pista grande:

Aplica la suma de ángulos del triángulo $BDC$ y usa $B+C=180^\circ-A$

Apply the angle sum in triangle $BDC$ and use $B+C=180^\circ-A$

Solución:

Los ángulos del triángulo $BDC$ en $B$ y $C$ son $90^\circ-\frac{B}{2}$ y $90^\circ-\frac{C}{2}.$ Por tanto, $\begin{aligned} \angle BDC &=180^\circ-\left(90^\circ-\frac B2\right) \\ &\quad-\left(90^\circ-\frac C2\right)\\ &=\frac{B+C}{2} \\ &=\frac{180^\circ-A}{2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The angles of triangle $BDC$ at $B$ and $C$ are $90^\circ-\frac{B}{2}$ and $90^\circ-\frac{C}{2}.$ Thus $\begin{aligned} \angle BDC &=180^\circ-\left(90^\circ-\frac B2\right) \\ &\quad-\left(90^\circ-\frac C2\right)\\ &=\frac{B+C}{2} \\ &=\frac{180^\circ-A}{2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

8.

Dado un conjunto de $n$ números, $n\gt1,$ uno de los cuales es $1-\dfrac1n$ y todos los demás son $1.$ La media aritmética de los $n$ números es:

Given the set of $n$ numbers, $n\gt1,$ of which one is $1-\dfrac1n$ and all the others are $1.$ The arithmetic mean of the $n$ numbers is:

$1$

$n-\dfrac1n$

$n-\dfrac1{n^2}$

$1-\dfrac1{n^2}$

$1-\dfrac1n-\dfrac1{n^2}$

Conceptos:media manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1230

Pista pequeña:

Hay $n-1$ copias de $1$

There are $n-1$ copies of $1$

Pista grande:

Suma los $n$ números y luego divide el resultado entre $n$

Add all $n$ numbers, then divide the sum by $n$

Solución:

La suma es $(n-1)+\left(1-\frac1n\right)=n-\frac1n.$ Al dividir entre $n$ se obtiene $1-\frac{1}{n^2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The sum is $(n-1)+\left(1-\frac1n\right)=n-\frac1n.$ Dividing by $n$ gives $1-\frac{1}{n^2}.$

Thus, the correct answer is D.

9.

Cuando $x^9-x$ se factoriza tanto como sea posible en polinomios y monomios con coeficientes enteros, el número de factores es:

When $x^9-x$ is factored as completely as possible into polynomials and monomials with integral coefficients, the number of factors is:

más de $5$

more than $5$

$5$

$4$

$3$

$2$

Conceptos:factorización diferencia de cuadrados polinomio

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Comienza con $x(x^8-1)$ y usa repetidamente diferencias de cuadrados

Begin with $x(x^8-1)$ and repeatedly use differences of squares

Pista grande:

Sobre los enteros, detente después de aislar $x,$ $x-1,$ $x+1,$ $x^2+1,$ y $x^4+1$

Over the integers, stop after isolating $x,$ $x-1,$ $x+1,$ $x^2+1,$ and $x^4+1$

Solución:

La factorización sobre los enteros da $\begin{aligned} x^9-x &=x(x-1)(x+1)\\ &\quad\cdot(x^2+1)(x^4+1). \end{aligned}$ Los dos últimos factores no constantes son irreducibles sobre los enteros, así que hay $5$ factores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Factoring over the integers gives $\begin{aligned} x^9-x &=x(x-1)(x+1)\\ &\quad\cdot(x^2+1)(x^4+1). \end{aligned}$ The last two nonconstant factors are irreducible over the integers, so there are $5$ factors.

Thus, the correct answer is B.

10.

Un hombre conduce $150$ millas hasta la costa en $3$ horas y $20$ minutos. Regresa desde la costa al punto de partida en $4$ horas y $10$ minutos. Sea $r$ la velocidad media de todo el viaje. Entonces la velocidad media del viaje de ida excede a $r,$ en millas por hora, por:

A man drives $150$ miles to the seashore in $3$ hours and $20$ minutes. He returns from the shore to the starting point in $4$ hours and $10$ minutes. Let $r$ be the average rate for the entire trip. Then the average rate for the trip going exceeds $r,$ in miles per hour, by:

$5$

$4\dfrac12$

$4$

$2$

$1$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Para hallar $r,$ divide la distancia total entre el tiempo total

Use total distance divided by total time for $r$

Pista grande:

El tiempo de ida es $\frac{10}{3}$ horas y el tiempo de ida y vuelta es $\frac{15}{2}$ horas

The outbound time is $\frac{10}{3}$ hours and the round-trip time is $\frac{15}{2}$ hours

Solución:

La velocidad de ida es $\frac{150}{\frac{10}{3}}=45$ millas por hora. El viaje completo recorre $300$ millas en $3\frac13+4\frac16=7\frac12$ horas, así que $r=\frac{300}{\frac{15}{2}}=40.$ La diferencia es $45-40=5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The outbound rate is $\frac{150}{\frac{10}{3}}=45$ miles per hour. The entire trip covers $300$ miles in $3\frac13+4\frac16=7\frac12$ hours, so $r=\frac{300}{\frac{15}{2}}=40.$ The difference is $45-40=5.$

Thus, the correct answer is A.

11.

La diferencia entre la raíz mayor y la raíz menor de $x^2-px+\frac{p^2-1}{4}=0$ es:

The difference between the larger root and the smaller root of $x^2-px+\frac{p^2-1}{4}=0$ is:

$0$

$1$

$2$

$p$

$p+1$

Conceptos:cuadrática manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Calcula el discriminante de la ecuación cuadrática

Compute the discriminant of the quadratic

Pista grande:

Las dos raíces son $\frac{p\pm\sqrt{\Delta}}{2}$

The two roots are $\frac{p\pm\sqrt{\Delta}}{2}$

Solución:

El discriminante es $p^2-4\left(\frac{p^2-1}{4}\right)=1.$ Las raíces son $\frac{p+1}{2}$ y $\frac{p-1}{2},$ cuya diferencia es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The discriminant is $p^2-4\left(\frac{p^2-1}{4}\right)=1.$ The roots are $\frac{p+1}{2}$ and $\frac{p-1}{2},$ whose difference is $1.$

Therefore, the correct answer is B.

12.

Al desarrollar $\left(1-\dfrac1a\right)^6,$ la suma de los últimos tres coeficientes es:

When $\left(1-\dfrac1a\right)^6$ is expanded, the sum of the last three coefficients is:

$22$

$11$

$10$

$-10$

$-11$

Conceptos:teorema del binomio sumatoria

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Los últimos tres términos usan las potencias $a^{-4},$ $a^{-5},$ y $a^{-6}$

The last three terms use powers $a^{-4},$ $a^{-5},$ and $a^{-6}$

Pista grande:

Incluye los signos alternantes provenientes de $(-\frac{1}{a})^k$

Include the alternating signs from $(-\frac{1}{a})^k$

Solución:

Los últimos tres términos tienen coeficientes $\binom64,\quad-\binom65,\quad\binom66,$ por lo que su suma es $15-6+1=10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The last three terms have coefficients $\binom64,\quad-\binom65,\quad\binom66,$ so their sum is $15-6+1=10.$

Thus, the correct answer is C.

13.

$R$ varía directamente con $S$ e inversamente con $T.$ Cuando $R=\dfrac43$ y $T=\dfrac9{14},$ se tiene $S=\dfrac37.$ Halla $S$ cuando $R=\sqrt{48}$ y $T=\sqrt{75}.$

$R$ varies directly as $S$ and inversely as $T.$ When $R=\dfrac43$ and $T=\dfrac9{14},$ $S=\dfrac37.$ Find $S$ when $R=\sqrt{48}$ and $T=\sqrt{75}.$

$28$

$30$

$40$

$42$

$60$

Conceptos:razón y proporción radical manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Escribe la relación de variación como $R=\frac{kS}{T}$

Write the variation as $R=\frac{kS}{T}$

Pista grande:

Para $k$ fijo, la cantidad $\frac{RT}{S}$ es constante

For fixed $k,$ the quantity $\frac{RT}{S}$ is constant

Solución:

Como $R=\frac{kS}{T},$ tenemos $S=\frac{RT}{k}.$ Por tanto, $\begin{aligned} \frac{S_2}{S_1} &=\frac{R_2T_2}{R_1T_1}\\ &=\frac{\sqrt{48}\sqrt{75}} {(\frac{4}{3})(\frac{9}{14})}\\ &=\frac{60}{\frac{6}{7}}=70. \end{aligned}$ Entonces $S_2=(\frac{3}{7})\cdot70=30.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $R=\frac{kS}{T},$ we have $S=\frac{RT}{k}.$ Hence $\begin{aligned} \frac{S_2}{S_1} &=\frac{R_2T_2}{R_1T_1}\\ &=\frac{\sqrt{48}\sqrt{75}} {(\frac{4}{3})(\frac{9}{14})}\\ &=\frac{60}{\frac{6}{7}}=70. \end{aligned}$ Therefore $S_2=(\frac{3}{7})\cdot70=30.$

Thus, the correct answer is B.

14.

Sea $s$ la suma límite de la serie geométrica $4-\dfrac83+\dfrac{16}{9}-\cdots,$ cuando el número de términos aumenta sin límite. Entonces $s$ es igual a:

Let $s$ be the limiting sum of the geometric series $4-\dfrac83+\dfrac{16}{9}-\cdots,$ as the number of terms increases without bound. Then $s$ equals:

un número entre $0$ y $1$

a number between $0$ and $1$

$2.4$

$2.5$

$3.6$

$12$

Conceptos:sucesión geométrica sumatoria

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Halla la razón del segundo término al primero

Find the ratio of the second term to the first

Pista grande:

Usa $\frac{a}{1-r}$ porque el valor absoluto de la razón es menor que $1$

Use $\frac{a}{1-r}$ because the ratio has absolute value less than $1$

Solución:

El primer término es $4$ y la razón común es $-\frac{2}{3}.$ Por tanto, $s=\frac4{1-(-\frac{2}{3})}=\frac{12}{5}=2.4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first term is $4$ and the common ratio is $-\frac{2}{3}.$ Thus $s=\frac4{1-(-\frac{2}{3})}=\frac{12}{5}=2.4.$

Therefore, the correct answer is B.

15.

Se da el triángulo $ABC$ , cuya base $AB$ está fija en longitud y posición. Cuando el vértice $C$ se mueve sobre una recta, el punto de intersección de las tres medianas se mueve sobre:

Given triangle $ABC$ with base $AB$ fixed in length and position. As the vertex $C$ moves on a straight line, the intersection point of the three medians moves on:

un círculo

a circle

una parábola

a parabola

una elipse

an ellipse

una recta

a straight line

una curva no enumerada aquí

a curve here not listed

Conceptos:baricentro transformación vector

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

El baricentro está a dos tercios del trayecto desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto

The centroid lies two-thirds of the way from a vertex to the midpoint of the opposite side

Pista grande:

Con $AB$ fijo, expresa el baricentro como un punto fijo más un tercio del vector de posición de $C$

With $AB$ fixed, express the centroid as a fixed point plus one-third of the position vector of $C$

Solución:

Sean $A,$ $B,$ y $C$ también sus vectores de posición. El baricentro es $G=\frac{A+B+C}{3}.$ Como $A$ y $B$ son fijos, esto es una traslación y una escala de factor $\frac{1}{3}$ de la posición de $C.$ Por tanto, un lugar geométrico rectilíneo se transforma en otro lugar geométrico rectilíneo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $A,$ $B,$ and $C$ also denote their position vectors. The centroid is $G=\frac{A+B+C}{3}.$ Since $A$ and $B$ are fixed, this is a translation and scaling by $\frac{1}{3}$ of the position of $C.$ A straight-line locus therefore maps to a straight-line locus.

Thus, the correct answer is D.

16.

Dado el rectángulo $R_1$ con un lado de $2$ pulgadas y un área de $12$ pulgadas cuadradas. El rectángulo $R_2,$ cuya diagonal mide $15$ pulgadas, es semejante a $R_1.$ Expresada en pulgadas cuadradas, el área de $R_2$ es:

Given rectangle $R_1$ with one side $2$ inches and area $12$ square inches. Rectangle $R_2$ with diagonal $15$ inches is similar to $R_1.$ Expressed in square inches the area of $R_2$ is:

$\dfrac92$

$36$

$\dfrac{135}{2}$

$9\sqrt{10}$

$\dfrac{27\sqrt{10}}4$

Conceptos:semejanza rectángulo escalamiento de potencias de longitud, área y volumen Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Los lados de $R_1$ miden $2$ y $6$

The sides of $R_1$ are $2$ and $6$

Pista grande:

Las áreas cambian según el cuadrado de la razón de las diagonales correspondientes

Areas scale as the square of the ratio of corresponding diagonals

Solución:

La diagonal de $R_1$ es $\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}.$ Por lo tanto, $\frac{[R_2]}{[R_1]} =\left(\frac{15}{2\sqrt{10}}\right)^2 =\frac{45}{8}.$ Así, $[R_2]=12(\frac{45}{8})=\frac{135}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The diagonal of $R_1$ is $\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}.$ Therefore $\frac{[R_2]}{[R_1]} =\left(\frac{15}{2\sqrt{10}}\right)^2 =\frac{45}{8}.$ Thus $[R_2]=12(\frac{45}{8})=\frac{135}{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

17.

Si $a=\log_8 225$ y $b=\log_2 15,$ entonces $a,$ en términos de $b,$ es:

If $a=\log_8 225$ and $b=\log_2 15,$ then $a,$ in terms of $b,$ is:

$\dfrac b2$

$\dfrac{2b}{3}$

$b$

$\dfrac{3b}{2}$

$2b$

Conceptos:logaritmo exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Escribe $225=15^2$ y $8=2^3$

Write $225=15^2$ and $8=2^3$

Pista grande:

Usa la fórmula de cambio de base con base $2$

Use the change-of-base formula with base $2$

Solución:

Al cambiar a base $2,$ se obtiene $\begin{aligned} a&=\frac{\log_2(15^2)}{\log_2(2^3)}\\ &=\frac{2\log_2 15}{3} =\frac{2b}{3}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Changing to base $2$ gives $\begin{aligned} a&=\frac{\log_2(15^2)}{\log_2(2^3)}\\ &=\frac{2\log_2 15}{3} =\frac{2b}{3}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

18.

Un dodecágono regular ( $12$ lados) está inscrito en un círculo de radio $r$ pulgadas. El área del dodecágono, en pulgadas cuadradas, es:

A regular dodecagon ( $12$ sides) is inscribed in a circle with radius $r$ inches. The area of the dodecagon, in square inches, is:

$3r^2$

$2r^2$

$\dfrac{3r^2\sqrt3}{4}$

$r^2\sqrt3$

$3r^2\sqrt3$

Conceptos:polígono regular área del triángulo trigonometría

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Divide el dodecágono en $12$ triángulos que tengan un vértice en el centro

Divide the dodecagon into $12$ triangles with vertex at the center

Pista grande:

Cada ángulo central mide $30^\circ,$ así que usa $\frac12r^2\sin30^\circ$

Each central angle is $30^\circ$ , so use $\frac12r^2\sin30^\circ$

Solución:

Cada uno de los $12$ triángulos centrales tiene área $\frac12r^2\sin30^\circ=\frac{r^2}{4}.$ Su área total es $12(\frac{r^2}{4})=3r^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each of the $12$ central triangles has area $\frac12r^2\sin30^\circ=\frac{r^2}{4}.$ Their total area is $12(\frac{r^2}{4})=3r^2.$

Thus, the correct answer is A.

19.

Si la parábola $y=ax^2+bx+c$ pasa por los puntos $(-1,12),$ $(0,5),$ y $(2,-3),$ el valor de $a+b+c$ es:

If the parabola $y=ax^2+bx+c$ passes through the points $(-1,12),$ $(0,5),$ and $(2,-3),$ the value of $a+b+c$ is:

$-4$

$-2$

$0$

$1$

$2$

Conceptos:sistema de ecuaciones cuadrática sustitución

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

La suma pedida es el valor de la parábola en $x=1$

The requested sum is the value of the parabola at $x=1$

Pista grande:

Usa los tres puntos dados para hallar $a,$ $b,$ y $c$

Use the three given points to solve for $a,$ $b,$ and $c$

Solución:

El punto $(0,5)$ da $c=5.$ Los otros dos puntos dan $a-b=7,\qquad 4a+2b=-8.$ Al resolver se obtiene $a=1$ y $b=-6.$ Por tanto, $a+b+c=1-6+5=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The point $(0,5)$ gives $c=5.$ The other two points give $a-b=7,\qquad 4a+2b=-8.$ Solving yields $a=1$ and $b=-6.$ Hence $a+b+c=1-6+5=0.$

Thus, the correct answer is C.

20.

Los ángulos de un pentágono están en progresión aritmética. Uno de los ángulos, en grados, debe ser:

The angles of a pentagon are in arithmetic progression. One of the angles, in degrees, must be:

$108$

$90$

$72$

$54$

$36$

Conceptos:suma de ángulos sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

En cinco términos de una progresión aritmética, el término central es igual al promedio

Five terms in arithmetic progression have their middle term equal to their average

Pista grande:

Los ángulos interiores de un pentágono suman $540^\circ$

The interior angles of a pentagon sum to $540^\circ$

Solución:

El promedio de los cinco ángulos es $\frac{540^\circ}{5}=108^\circ.$ Para cinco términos en progresión aritmética, el término central es igual al promedio, así que uno de los ángulos debe medir $108^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The average of the five angles is $\frac{540^\circ}{5}=108^\circ.$ For five terms in arithmetic progression, the middle term equals the average, so one angle must be $108^\circ.$

Thus, the correct answer is A.

21.

Se sabe que una raíz de $2x^2+rx+s=0,$ donde $r$ y $s$ son números reales, es $3+2i$ $(i=\sqrt{-1}).$ El valor de $s$ es:

It is given that one root of $2x^2+rx+s=0,$ with $r$ and $s$ real numbers, is $3+2i$ $(i=\sqrt{-1}).$ The value of $s$ is:

indeterminado

undetermined

$5$

$6$

$-13$

$26$

Conceptos:número complejo Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Un polinomio con coeficientes reales también tiene la raíz conjugada

A polynomial with real coefficients also has the conjugate root

Pista grande:

Usa el producto de las raíces y las fórmulas de Vieta

Use the product of the roots and Vieta’s formula

Solución:

La otra raíz es $3-2i.$ Su producto es $(3+2i)(3-2i)=9+4=13.$ La fórmula de Vieta da $\frac{s}{2}=13,$ así que $s=26.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The other root is $3-2i.$ Their product is $(3+2i)(3-2i)=9+4=13.$ Vieta’s formula gives $\frac{s}{2}=13,$ so $s=26.$

Therefore, the correct answer is E.

22.

El número $121_b,$ escrito en la base entera $b,$ es el cuadrado de un entero para:

The number $121_b,$ written in the integral base $b,$ is the square of an integer, for:

solo $b=10$

$b=10,$ only

solo $b=10$ y $b=5$

$b=10$ and $b=5,$ only

$2\le b\le10$

$b\gt2$

ningún valor de $b$

no value of $b$

Conceptos:base numérica valor posicional cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Convierte $121_b$ en una expresión en $b$

Convert $121_b$ to an expression in $b$

Pista grande:

Recuerda que el dígito $2$ exige $b\gt2$

Remember that the digit $2$ requires $b\gt2$

Solución:

En notación ordinaria, $121_b=b^2+2b+1=(b+1)^2.$ Esto es un cuadrado para toda base admisible. Como aparece el dígito $2,$ son admisibles precisamente las bases enteras $b\gt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

In ordinary notation, $121_b=b^2+2b+1=(b+1)^2.$ This is a square for every allowable base. Since digit $2$ occurs, precisely the integral bases $b\gt2$ are allowable.

Thus, the correct answer is D.

23.

En el triángulo $ABC,$ $CD$ es la altura relativa a $AB$ y $AE$ es la altura relativa a $BC.$ Si se conocen las longitudes de $AB,$ $CD,$ y $AE,$ la longitud de $DB$ queda:

In triangle $ABC,$ $CD$ is the altitude to $AB$ and $AE$ is the altitude to $BC.$ If the lengths of $AB,$ $CD,$ and $AE$ are known, the length of $DB$ is:

sin determinar con la información dada

not determined by the information given

determinada solo si $A$ es un ángulo agudo

determined only if $A$ is an acute angle

determinada solo si $B$ es un ángulo agudo

determined only if $B$ is an acute angle

determinada solo si $ABC$ es un triángulo acutángulo

determined only if $ABC$ is an acute triangle

ninguna de las anteriores es correcta

none of these is correct

Conceptos:área del triángulo altura Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Calcula el área del triángulo de dos maneras usando las dos alturas conocidas

Compute the triangle’s area in two ways using the two known altitudes

Pista grande:

Después de hallar $BC,$ usa el triángulo rectángulo $BCD$

After finding $BC,$ use right triangle $BCD$

Solución:

Sean $AB=c,$ $CD=h,$ y $AE=e.$ Al igualar dos fórmulas para el área se obtiene $\frac12ch=\frac12(BC)e,$ así que $BC=\frac{ch}{e}.$ Como el triángulo $BCD$ es rectángulo en $D,$ $DB=\sqrt{BC^2-CD^2}.$ Esto determina $DB$ tanto si el triángulo original es acutángulo, rectángulo u obtusángulo, así que ninguna de las primeras cuatro opciones es correcta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $AB=c,$ $CD=h,$ and $AE=e.$ Equating two area formulas gives $\frac12ch=\frac12(BC)e,$ so $BC=\frac{ch}{e}.$ Since triangle $BCD$ is right at $D,$ $DB=\sqrt{BC^2-CD^2}.$ This determines $DB$ whether the original triangle is acute, right, or obtuse, so none of the first four choices is correct.

Thus, the correct answer is E.

24.

Tres máquinas $P,$ $Q,$ y $R,$ trabajando juntas, pueden completar un trabajo en $x$ horas. Cuando trabajan solas, $P$ necesita $6$ horas adicionales para hacer el trabajo; $Q,$ una hora adicional; y $R,$ $x$ horas adicionales. El valor de $x$ es:

Three machines $P,$ $Q,$ and $R,$ working together, can do a job in $x$ hours. When working alone, $P$ needs an additional $6$ hours to do the job; $Q,$ one additional hour; and $R,$ $x$ additional hours. The value of $x$ is:

$\dfrac23$

$\dfrac{11}{12}$

$\dfrac32$

$2$

$3$

Conceptos:tasa ecuación racional

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Los tiempos individuales para completar el trabajo son $x+6,$ $x+1,$ y $2x$

The individual completion times are $x+6,$ $x+1,$ and $2x$

Pista grande:

Iguala la suma de las tasas horarias individuales a $\frac{1}{x}$

Set the sum of the individual hourly rates equal to $\frac{1}{x}$

Solución:

Las tasas satisfacen $\frac1{x+6}+\frac1{x+1}+\frac1{2x}=\frac1x.$ Por tanto, $\frac1{x+6}+\frac1{x+1}=\frac1{2x},$ que se simplifica a $3x^2+7x-6=0,$ o $(3x-2)(x+3)=0.$ Un tiempo debe ser positivo, así que $x=\frac{2}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The rates satisfy $\frac1{x+6}+\frac1{x+1}+\frac1{2x}=\frac1x.$ Thus $\frac1{x+6}+\frac1{x+1}=\frac1{2x},$ which simplifies to $3x^2+7x-6=0,$ or $(3x-2)(x+3)=0.$ A time must be positive, so $x=\frac{2}{3}.$

Therefore, the correct answer is A.

25.

Dado el cuadrado $ABCD$ de lado $8$ pies. Se traza un círculo que pasa por los vértices $A$ y $D$ y es tangente al lado $BC.$ El radio del círculo, en pies, es:

Given square $ABCD$ with side $8$ feet. A circle is drawn through vertices $A$ and $D$ and tangent to side $BC.$ The radius of the circle, in feet, is:

$4$

$4\sqrt2$

$5$

$5\sqrt2$

$6$

Conceptos:recta tangente mediatriz geometría analítica círculo

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Coloca $A=(0,0),$ $D=(0,8),$ y $BC$ sobre la recta $x=8$

Place $A=(0,0),$ $D=(0,8),$ and $BC$ on the line $x=8$

Pista grande:

El centro está en la mediatriz de $AD,$ y su distancia a $BC$ es igual al radio

The center lies on the perpendicular bisector of $AD$ , and its distance to $BC$ equals the radius

Solución:

Coloca el centro en $(h,4).$ Como el círculo pasa por $A,$ $r^2=h^2+16.$ La tangencia a $x=8$ da $r=8-h.$ Por lo tanto, $h^2+16=(8-h)^2,$ así que $h=3$ y $r=5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Place the center at $(h,4).$ Since the circle passes through $A,$ $r^2=h^2+16.$ Tangency to $x=8$ gives $r=8-h.$ Therefore $h^2+16=(8-h)^2,$ so $h=3$ and $r=5.$

Thus, the correct answer is C.

26.

Para cualquier valor real de $x,$ el valor máximo de $8x-3x^2$ es:

For any real value of $x$ the maximum value of $8x-3x^2$ is:

$0$

$\dfrac83$

$4$

$5$

$\dfrac{16}{3}$

Conceptos:cuadrática completar el cuadrado optimización

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Completa el cuadrado en $8x-3x^2$

Complete the square in $8x-3x^2$

Pista grande:

El negativo de un cuadrado alcanza su máximo cuando es igual a $0$

A negative square is largest when it equals $0$

Solución:

Al completar el cuadrado, $8x-3x^2 =\frac{16}{3}-3\left(x-\frac43\right)^2.$ El término cuadrático es no negativo, así que el máximo es $\frac{16}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Completing the square, $8x-3x^2 =\frac{16}{3}-3\left(x-\frac43\right)^2.$ The square term is nonnegative, so the maximum is $\frac{16}{3}.$

Thus, the correct answer is E.

27.

Sea $a\mathbin{@}b$ la operación sobre dos números, $a$ y $b,$ que selecciona el mayor de los dos, con $a\mathbin{@}a=a.$ Sea $a\mathbin{!}b$ la operación que selecciona el menor de los dos números, con $a\mathbin{!}a=a.$ ¿Cuál o cuáles de las siguientes tres reglas son correctas? $\begin{aligned} (1)\quad&a\mathbin{@}b=b\mathbin{@}a,\\ (2)\quad&a\mathbin{@}(b\mathbin{@}c)=(a\mathbin{@}b)\mathbin{@}c,\\ (3)\quad&a\mathbin{!}(b\mathbin{@}c)\\ &\quad=(a\mathbin{!}b)\mathbin{@}(a\mathbin{!}c). \end{aligned}$

Let $a\mathbin{@}b$ represent the operation on two numbers, $a$ and $b,$ which selects the larger of the two numbers, with $a\mathbin{@}a=a.$ Let $a\mathbin{!}b$ represent the operation which selects the smaller of the two numbers, with $a\mathbin{!}a=a.$ Which of the following three rules is (are) correct? $\begin{aligned} (1)\quad&a\mathbin{@}b=b\mathbin{@}a,\\ (2)\quad&a\mathbin{@}(b\mathbin{@}c)=(a\mathbin{@}b)\mathbin{@}c,\\ (3)\quad&a\mathbin{!}(b\mathbin{@}c)\\ &\quad=(a\mathbin{!}b)\mathbin{@}(a\mathbin{!}c). \end{aligned}$

solo $(1)$

$(1)$ only

solo $(2)$

$(2)$ only

solo $(1)$ y $(2)$

$(1)$ and $(2)$ only

solo $(1)$ y $(3)$

$(1)$ and $(3)$ only

las tres

all three

Conceptos:operación personalizada propiedad distributiva análisis por casos

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Interpreta $\mathbin{@}$ como máximo y $\mathbin{!}$ como mínimo

Translate $\mathbin{@}$ as maximum and $\mathbin{!}$ as minimum

Pista grande:

Para la regla $(3),$ compara ambos lados por separado cuando $a$ está por debajo o por encima de $\max(b,c)$

For rule $(3),$ compare both sides separately when $a$ is below or above $\max(b,c)$

Solución:

El máximo es conmutativo y asociativo, así que $(1)$ y $(2)$ se cumplen. La regla $(3)$ es la identidad distributiva $\begin{aligned} &\min(a,\max(b,c))\\ &\quad=\max(\min(a,b),\min(a,c)). \end{aligned}$ Si $a\ge\max(b,c),$ ambos lados son iguales a $\max(b,c);$ si $a\lt\max(b,c),$ ambos lados son iguales a $a.$ Por tanto, $(3)$ también se cumple.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Maximum is commutative and associative, so $(1)$ and $(2)$ hold. Rule $(3)$ is the distributive identity $\begin{aligned} &\min(a,\max(b,c))\\ &\quad=\max(\min(a,b),\min(a,c)). \end{aligned}$ If $a\ge\max(b,c),$ both sides equal $\max(b,c);$ if $a\lt\max(b,c),$ both sides equal $a.$ Thus $(3)$ also holds.

Therefore, the correct answer is E.

28.

El conjunto de valores de $x$ que satisfacen la ecuación $x^{\log_{10}x}=\frac{x^3}{100}$ consta de:

The set of $x$ -values satisfying the equation $x^{\log_{10}x}=\frac{x^3}{100}$ consists of:

solo $\dfrac1{10}$

$\dfrac1{10},$ only

solo $10$

$10,$ only

solo $100$

$100,$ only

solo $10$ o $100$

$10$ or $100,$ only

más de dos números reales

more than two real numbers

Conceptos:logaritmo exponente sustitución cuadrática

Nivel de dificultad: 1520

Pista pequeña:

El logaritmo exige $x\gt0;$ sea $y=\log_{10}x$

The logarithm requires $x\gt0$ ; set $y=\log_{10}x$

Pista grande:

Toma logaritmos en base $10$ para obtener una ecuación cuadrática en $y$

Take base- $10$ logarithms to obtain a quadratic in $y$

Solución:

Sea $y=\log_{10}x,$ por lo que $x=10^y.$ Al tomar logaritmos en base $10$ se obtiene $y^2=3y-2.$ Por tanto, $(y-1)(y-2)=0,$ así que $x=10$ o $x=100.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Set $y=\log_{10}x,$ so $x=10^y.$ Taking base- $10$ logarithms gives $y^2=3y-2.$ Hence $(y-1)(y-2)=0,$ so $x=10$ or $x=100.$

Thus, the correct answer is D.

29.

¿Cuál de los siguientes conjuntos de valores de $x$ satisface la desigualdad $2x^2+x\lt6$ ?

Which of the following sets of $x$ -values satisfy the inequality $2x^2+x\lt6?$

$-2\lt x\lt\dfrac32$

$x\gt\dfrac32$ o $x\lt-2$

$x\gt\dfrac32$ or $x\lt-2$

$x\lt\dfrac32$

$\dfrac32\lt x\lt2$

$x\lt-2$

Conceptos:desigualdad factorización propiedad del producto nulo

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Pasa todos los términos a un lado y factoriza el trinomio cuadrático

Move all terms to one side and factor the quadratic

Pista grande:

El producto de dos factores lineales es negativo entre sus raíces

A product of two linear factors is negative between its roots

Solución:

La desigualdad es $2x^2+x-6\lt0.$ Al factorizar se obtiene $(2x-3)(x+2)\lt0.$ El producto es negativo entre sus raíces, así que $-2\lt x\lt\frac{3}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The inequality is $2x^2+x-6\lt0.$ Factoring gives $(2x-3)(x+2)\lt0.$ The product is negative between its roots, so $-2\lt x\lt\frac{3}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

30.

Considera las afirmaciones:

$(1)$ $p$ y $q$ son verdaderas
$(2)$ $p$ es verdadera y $q$ es falsa
$(3)$ $p$ es falsa y $q$ es verdadera
$(4)$ $p$ y $q$ son falsas.

¿Cuántas de ellas implican la negación de la afirmación « $p$ y $q$ son ambas verdaderas»?

Consider the statements:

$(1)$ $p$ and $q$ are both true
$(2)$ $p$ is true and $q$ is false
$(3)$ $p$ is false and $q$ is true
$(4)$ $p$ is false and $q$ is false.

How many of these imply the negation of the statement “ $p$ and $q$ are both true”?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

La negación falla solo cuando ambas afirmaciones son verdaderas

The negation fails only when both statements are true

Pista grande:

Comprueba cuáles de las cuatro asignaciones de verdad enumeradas no son el caso $(1)$

Check which of the four listed truth assignments are not case $(1)$

Solución:

La negación de « $p$ y $q$ son ambas verdaderas» se cumple cuando al menos una de $p$ y $q$ es falsa. Esto ocurre en los casos $(2),$ $(3),$ y $(4),$ para un total de $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The negation of “ $p$ and $q$ are both true” holds whenever at least one of $p$ and $q$ is false. This occurs in cases $(2),$ $(3),$ and $(4),$ for a total of $3.$

Thus, the correct answer is D.

31.

La razón entre los ángulos interiores de dos polígonos regulares con lados de longitud unitaria es $3:2.$ ¿Cuántos pares de este tipo hay?

The ratio of the interior angles of two regular polygons with sides of unit length is $3:2.$ How many such pairs are there?

$1$

$2$

$3$

$4$

infinitos

infinitely many

Conceptos:polígono regular suma de ángulos Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Para un polígono de $n$ lados, un ángulo interior mide $\frac{180^\circ(n-2)}{n}$

For an $n$ -gon, an interior angle is $\frac{180^\circ(n-2)}{n}$

Pista grande:

Si el polígono menor tiene $n$ lados, despeja el número de lados del mayor y prueba los enteros posibles $3\le n\lt6$

If the smaller polygon has $n$ sides, solve for the larger side count and test the possible integers $3\le n\lt6$

Solución:

Sean $n$ y $N$ los números de lados de los polígonos menor y mayor. Entonces $\frac{\frac{N-2}{N}}{\frac{n-2}{n}}=\frac32,$ de donde $N=\frac{4n}{6-n}.$ La positividad y $N\gt n$ exigen $n=3,$ $n=4,$ o $n=5.$ Estos valores dan $N=4,$ $N=8,$ y $N=20,$ respectivamente. Por tanto, hay $3$ pares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the smaller and larger polygons have $n$ and $N$ sides. Then $\frac{\frac{N-2}{N}}{\frac{n-2}{n}}=\frac32,$ which gives $N=\frac{4n}{6-n}.$ Positivity and $N\gt n$ require $n=3,$ $n=4,$ or $n=5.$ These give $N=4,$ $N=8,$ and $N=20,$ respectively. Thus there are $3$ pairs.

Therefore, the correct answer is C.

32.

Si $x_{k+1}=x_k+\dfrac12$ para $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n-1$ y $x_1=1,$ halla $x_1+x_2+\cdots+x_n.$

If $x_{k+1}=x_k+\dfrac12$ for $k=1,$ $2,$ $\ldots,$ $n-1$ and $x_1=1,$ find $x_1+x_2+\cdots+x_n.$

$\dfrac{n+1}{2}$

$\dfrac{n+3}{2}$

$\dfrac{n^2-1}{2}$

$\dfrac{n^2+n}{4}$

$\dfrac{n^2+3n}{4}$

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

La recurrencia define una sucesión aritmética con diferencia común $\frac{1}{2}$

The recurrence defines an arithmetic sequence with common difference $\frac{1}{2}$

Pista grande:

Halla $x_n$ y luego usa $\frac{n(x_1+x_n)}{2}$

Find $x_n$ , then use $\frac{n(x_1+x_n)}{2}$

Solución:

Tenemos $x_n=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} x_1+\cdots+x_n &=\frac n2\left(1+\frac{n+1}{2}\right)\\ &=\frac{n^2+3n}{4}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

We have $x_n=1+\frac{n-1}{2}=\frac{n+1}{2}.$ Therefore $\begin{aligned} x_1+\cdots+x_n &=\frac n2\left(1+\frac{n+1}{2}\right)\\ &=\frac{n^2+3n}{4}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

33.

El conjunto de valores de $x$ que satisfacen la desigualdad $2\le|x-1|\le5$ es:

The set of $x$ -values satisfying the inequality $2\le|x-1|\le5$ is:

$-4\le x\le-1$ o $3\le x\le6$

$-4\le x\le-1$ or $3\le x\le6$

$3\le x\le6$ o $-6\le x\le-3$

$3\le x\le6$ or $-6\le x\le-3$

$x\le-1$ o $x\ge3$

$x\le-1$ or $x\ge3$

$-1\le x\le3$

$-4\le x\le6$

Conceptos:valor absoluto desigualdad

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Interpreta la desigualdad como distancias desde $1$ comprendidas entre $2$ y $5$

Interpret the inequality as distances from $1$ between $2$ and $5$

Pista grande:

Resuelve $2\le x-1\le5$ y $-5\le x-1\le-2$

Solve $2\le x-1\le5$ and $-5\le x-1\le-2$

Solución:

Para $x-1\ge0,$ las cotas dan $3\le x\le6.$ Para $x-1\le0,$ dan $-4\le x\le-1.$ La solución es la unión de estos dos intervalos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For $x-1\ge0,$ the bounds give $3\le x\le6.$ For $x-1\le0,$ they give $-4\le x\le-1.$ The solution is the union of these two intervals.

Thus, the correct answer is A.

34.

¿Para qué valores reales de $K$ tiene raíces reales la ecuación $x=K^2(x-1)(x-2)$ ?

For what real values of $K$ does $x=K^2(x-1)(x-2)$ have real roots?

ninguno

none

$-2\lt K\lt1$

$-2\sqrt2\lt K\lt2\sqrt2$

$K\gt1$ o $K\lt-2$

$K\gt1$ or $K\lt-2$

todos

all

Conceptos:cuadrática manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Desarrolla y agrupa los términos para obtener una ecuación cuadrática en $x$

Expand and collect terms to obtain a quadratic in $x$

Pista grande:

Su discriminante se simplifica a $K^4+6K^2+1$

Its discriminant simplifies to $K^4+6K^2+1$

Solución:

Al reordenar se obtiene $K^2x^2-(3K^2+1)x+2K^2=0.$ Para todo $K$ real, su discriminante es $\begin{aligned} &(3K^2+1)^2-8K^4\\ &\qquad=K^4+6K^2+1\gt0. \end{aligned}$ Esto también abarca $K=0,$ cuando la ecuación original da $x=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Rearranging gives $K^2x^2-(3K^2+1)x+2K^2=0.$ Its discriminant is $\begin{aligned} &(3K^2+1)^2-8K^4\\ &\qquad=K^4+6K^2+1\gt0 \end{aligned}$ for every real $K.$ This also covers $K=0,$ when the original equation gives $x=0.$

Therefore, the correct answer is E.

35.

Un hombre que va a cenar poco después de las $6{:}00$ p. m. observa que las manecillas de su reloj forman un ángulo de $110^\circ.$ Al regresar antes de las $7{:}00$ p. m., advierte que las manecillas vuelven a formar un ángulo de $110^\circ.$ El número de minutos que estuvo fuera es:

A man on his way to dinner shortly after $6{:}00$ p.m. observes that the hands of his watch form an angle of $110^\circ.$ Returning before $7{:}00$ p.m. he notices that again the hands of his watch form an angle of $110^\circ.$ The number of minutes that he has been away is:

$36\dfrac23$

$40$

$42$

$42.4$

$45$

Conceptos:reloj velocidad relativa

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Durante el intervalo, el minutero gana al horario $5.5^\circ$ por minuto

During the interval, the minute hand gains on the hour hand at $5.5^\circ$ per minute

Pista grande:

Entre las dos observaciones, la separación con signo cambia de $110^\circ$ a $-110^\circ$

Between the two observations, the signed separation changes from $110^\circ$ to $-110^\circ$

Solución:

Las dos observaciones están a lados opuestos del instante en que coinciden las manecillas. Su separación angular con signo cambia en $220^\circ.$ Como el minutero gana al horario $6-0.5=5.5^\circ$ por minuto, el tiempo transcurrido es $\frac{220}{5.5}=40$ minutos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The two observations lie on opposite sides of the instant when the hands coincide. Their signed angular separation changes by $220^\circ.$ Since the minute hand gains on the hour hand at $6-0.5=5.5^\circ$ per minute, the elapsed time is $\frac{220}{5.5}=40$ minutes.

Thus, the correct answer is B.

36.

Si $x$ e $y$ son enteros, ¿cuántos pares de soluciones tiene la ecuación $(x-8)(x-10)=2^y$ ?

If both $x$ and $y$ are integers, how many solutions are there to the equation $(x-8)(x-10)=2^y?$

$0$

$1$

$2$

$3$

más de $3$

more than $3$

Conceptos:Ecuación diofántica potencia de 2 diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Reescribe el lado izquierdo como $(x-9)^2-1$

Rewrite the left side as $(x-9)^2-1$

Pista grande:

Si $n=x-9,$ los factores pares consecutivos $n-1$ y $n+1$ deben ser ambos potencias de $2$

If $n=x-9,$ then the consecutive even factors $n-1$ and $n+1$ must both be powers of $2$

Solución:

Sea $n=x-9.$ Entonces $2^y=n^2-1=(n-1)(n+1).$ Como el producto es una potencia de $2,$ ninguno de los factores puede tener un divisor primo impar. Los únicos enteros pares consecutivos que difieren en $2$ y que son potencias con signo de $2$ son $(-4,-2)$ y $(2,4).$ Por tanto, $n=\pm3$ y $y=3,$ lo que da $x=6$ o $12.$ Hay $2$ pares ordenados $(x,y).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Put $n=x-9.$ Then $2^y=n^2-1=(n-1)(n+1).$ Since the product is a power of $2,$ both factors must have no odd prime divisor. The only consecutive even integers differing by $2$ that are both signed powers of $2$ are $(-4,-2)$ and $(2,4).$ Thus $n=\pm3$ and $y=3,$ giving $x=6$ or $12.$ There are $2$ ordered pairs $(x,y).$

Therefore, the correct answer is C.

37.

$ABCD$ es un cuadrado de lado unitario. Se toman los puntos $E$ y $F$ respectivamente sobre los lados $AB$ y $AD,$ de modo que $AE=AF$ y el cuadrilátero $CDFE$ tenga área máxima. En unidades cuadradas, esta área máxima es:

$ABCD$ is a square with side of unit length. Points $E$ and $F$ are taken respectively on sides $AB$ and $AD$ so that $AE=AF$ and the quadrilateral $CDFE$ has maximum area. In square units this maximum area is:

$\dfrac12$

$\dfrac9{16}$

$\dfrac{19}{32}$

$\dfrac58$

$\dfrac23$

Conceptos:área fórmula del cordón completar el cuadrado optimización

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Sea $AE=AF=t$ y usa coordenadas o la fórmula del zapatero

Let $AE=AF=t$ and use coordinates or the shoelace formula

Pista grande:

El área se convierte en $\frac12(1+t-t^2);$ completa el cuadrado

The area becomes $\frac12(1+t-t^2)$ ; complete the square

Solución:

Fija $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $C=(1,1),$ y $D=(0,1).$ Entonces $E=(t,0)$ y $F=(0,t).$ La fórmula del zapatero da $\begin{aligned} [CDFE]&=\frac{1+t-t^2}{2}\\ &=\frac58-\frac12 \left(t-\frac12\right)^2. \end{aligned}$ Su máximo es $\frac{5}{8}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Set $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $C=(1,1),$ and $D=(0,1).$ Then $E=(t,0)$ and $F=(0,t).$ The shoelace formula gives $\begin{aligned} [CDFE]&=\frac{1+t-t^2}{2}\\ &=\frac58-\frac12 \left(t-\frac12\right)^2. \end{aligned}$ Its maximum is $\frac{5}{8}.$

Thus, the correct answer is D.

38.

La población de Nosuch Junction fue en cierto momento un cuadrado perfecto. Más tarde, tras aumentar en $100,$ la población era uno más que un cuadrado perfecto. Ahora, después de otro aumento de $100,$ la población vuelve a ser un cuadrado perfecto.

La población original es múltiplo de:

The population of Nosuch Junction at one time was a perfect square. Later, with an increase of $100,$ the population was one more than a perfect square. Now, with an additional increase of $100,$ the population is again a perfect square.

The original population is a multiple of:

$3$

$7$

$9$

$11$

$17$

Conceptos:diferencia de cuadrados cuadrado perfecto factor enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Escribe las poblaciones como $a^2,$ $b^2+1,$ y $c^2$

Write the populations as $a^2,$ $b^2+1,$ and $c^2$

Pista grande:

A partir de $b^2-a^2=99,$ prueba los pares de factores positivos de $99$ y luego impón $c^2-a^2=200$

From $b^2-a^2=99,$ test the positive factor pairs of $99$ , then impose $c^2-a^2=200$

Solución:

Sea $a^2$ la población original. Entonces $\begin{aligned} b^2-a^2&=99,\\ c^2-a^2&=200. \end{aligned}$ De $(b-a)(b+a)=99,$ las posibilidades positivas para $a$ son $49,$ $15,$ y $1.$ Al comprobar la segunda condición, solo funciona $a=49,$ pues $49^2+200=2601=51^2.$ La población es $49^2=7^4,$ múltiplo de $7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the original population be $a^2.$ Then $\begin{aligned} b^2-a^2&=99,\\ c^2-a^2&=200. \end{aligned}$ From $(b-a)(b+a)=99,$ the positive possibilities for $a$ are $49,$ $15,$ and $1.$ Checking the second condition, only $a=49$ works, since $49^2+200=2601=51^2.$ The population is $49^2=7^4,$ a multiple of $7.$

Thus, the correct answer is B.

39.

Las medianas $AN$ y $BP$ de un triángulo de lados desiguales miden, respectivamente, $3$ pulgadas y $6$ pulgadas. Su área es $3\sqrt{15}$ pulgadas cuadradas. La longitud de la tercera mediana, en pulgadas, es:

The medians $AN$ and $BP$ of a triangle with unequal sides are, respectively, $3$ inches and $6$ inches long. Its area is $3\sqrt{15}$ square inches. The length of the third median, in inches, is:

$4$

$3\sqrt3$

$3\sqrt6$

$6\sqrt3$

$6\sqrt6$

Conceptos:mediana (geometría)ley de los cosenos área

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Las tres medianas forman las longitudes de los lados de un triángulo cuya área es tres cuartas partes del área original

The three medians form the side lengths of a triangle whose area is three-fourths the original area

Pista grande:

Usa las longitudes de las dos medianas conocidas y esa área para hallar los dos valores posibles del ángulo comprendido; luego descarta el caso que hace iguales dos medianas

Use the two known median lengths and that area to find the two possible included angles, then reject the case that makes two medians equal

Solución:

El triángulo cuyos lados son las tres medianas tiene área $\frac34\left(3\sqrt{15}\right)=\frac{9\sqrt{15}}4.$ Si $\theta$ es el ángulo comprendido entre sus lados $3$ y $6,$ entonces $9\sin\theta=\frac{9\sqrt{15}}4,$ así que $\cos\theta=\pm\frac{1}{4}.$ Por la ley de los cosenos, la tercera mediana $m$ satisface $m^2=3^2+6^2-2(3)(6)\cos\theta,$ lo que da $m^2=36$ o $54.$ El valor $m=6$ haría iguales dos medianas y, por tanto, dos lados. Como el triángulo tiene lados desiguales, $m=\sqrt{54}=3\sqrt6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The triangle whose sides are the three medians has area $\frac34\left(3\sqrt{15}\right)=\frac{9\sqrt{15}}4.$ If $\theta$ is the included angle between its sides $3$ and $6,$ then $9\sin\theta=\frac{9\sqrt{15}}4,$ so $\cos\theta=\pm\frac{1}{4}.$ By the law of cosines, the third median $m$ satisfies $m^2=3^2+6^2-2(3)(6)\cos\theta,$ giving $m^2=36$ or $54.$ The value $m=6$ would make two medians, and hence two sides, equal. Because the triangle has unequal sides, $m=\sqrt{54}=3\sqrt6.$

Therefore, the correct answer is C.

40.

La suma a la que converge la serie infinita $\frac1{10}+\frac2{10^2}+\frac3{10^3}+\cdots,$ cuyo término $n$ -ésimo es $\frac{n}{10^n},$ es:

The limiting sum of the infinite series $\frac1{10}+\frac2{10^2}+\frac3{10^3}+\cdots,$ whose $n$ th term is $\frac{n}{10^n},$ is:

$\dfrac19$

$\dfrac{10}{81}$

$\dfrac18$

$\dfrac{17}{72}$

mayor que cualquier cantidad finita

larger than any finite quantity

Conceptos:serie aritmético-geométrica cálculo sumatoria

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Parte de $\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$

Start from $\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$

Pista grande:

Deriva y luego multiplica por $x$

Differentiate and then multiply by $x$

Solución:

Para $|x|\lt1,$ $\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}.$ Al tomar $x=\frac{1}{10}$ se obtiene $\frac{\frac{1}{10}}{(\frac{9}{10})^2}=\frac{10}{81}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For $|x|\lt1,$ $\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}.$ Taking $x=\frac{1}{10}$ gives $\frac{\frac{1}{10}}{(\frac{9}{10})^2}=\frac{10}{81}.$

Thus, the correct answer is B.