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2000 AMC 12 Problema 9

A continuación está la solución preparada profesionalmente para el Problema 9 del 2000 AMC 12, de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2000 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

Conceptos:divisibilidadaritmética modularmedia

Nivel de dificultad: 1580

9.

La señora Walter tomó un examen en una clase de matemáticas de cinco estudiantes. Introdujo las calificaciones en orden aleatorio en una hoja de cálculo, que recalculaba el promedio de la clase después de introducir cada calificación. La señora Walter notó que, después de introducir cada calificación, el promedio siempre era un entero. Las calificaciones (en orden ascendente) eran 71,76,80,82,71, 76, 80, 82, y 9191. ¿Cuál fue la última calificación que introdujo la señora Walter?

Mrs. Walter gave an exam in a mathematics class of five students. She entered the scores in random order into a spreadsheet, which recalculated the class average after each score was entered. Mrs. Walter noticed that after each score was entered, the average was always an integer. The scores (listed in ascending order) were 71,76,80,82,71, 76, 80, 82, and 91.91. What was the last score Mrs. Walter entered?

7171

7676

8080

8282

9191

Solución:

El total es 71+76+80+82+91=400,71 + 76 + 80 + 82 + 91 = 400, que es divisible por 5.5. La suma de las tres primeras calificaciones debe ser divisible por 33.

Módulo 3,3, las calificaciones son 2,1,2,1,1.2, 1, 2, 1, 1. La única terna cuya suma es múltiplo de 33 es 76+82+91=249,76 + 82 + 91 = 249, así que estas son las tres primeras (con 9191 en tercer lugar, ya que las dos primeras, 7676 y 82,82, deben tener la misma paridad).

Como 249≡1(mod4),249 \equiv 1 \pmod 4, la cuarta calificación debe ser ≡3(mod4),\equiv 3 \pmod 4, que es 71.71. Eso deja 8080 como la última calificación introducida.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The total is 71+76+80+82+91=400,71 + 76 + 80 + 82 + 91 = 400, which is divisible by 5.5. The sum of the first three scores must be divisible by 3.3.

Modulo 3,3, the scores are 2,1,2,1,1.2, 1, 2, 1, 1. The only triple summing to a multiple of 33 is 76+82+91=249,76 + 82 + 91 = 249, so these are the first three (with 9191 third, since the first two, 7676 and 82,82, must have equal parity).

Since 249≡1(mod4),249 \equiv 1 \pmod 4, the fourth score must be ≡3(mod4),\equiv 3 \pmod 4, which is 71.71. That leaves 8080 as the last score entered.

Thus, the correct answer is C.

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