Question

Sea $M$ el mayor entero tal que tanto $M+1213$ como $M+3773$ sean cuadrados perfectos. ¿Cuál es la cifra de las unidades de $M$ ?

Let $M$ be the greatest integer such that both $M+1213$ and $M+3773$ are perfect squares. What is the units digit of $M?$

$1$

$2$

$3$

$6$

$8$

Solución:

Escribimos $M+1213=a^2$ y $M+3773=b^2,$ así que $b^2-a^2=2560,$ es decir $(b-a)(b+a)=2560.$ Ambos factores tienen la misma paridad, por lo que ambos son pares. Para maximizar $a$ (y por tanto $M$ ), minimizamos $b-a:$ tomamos $b-a=2,\ b+a=1280,$ así que $a=639.$ Entonces $M=639^2-1213$ $=408321-1213$ $=407108,$ cuya cifra de las unidades es $8.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write $M+1213=a^2$ and $M+3773=b^2,$ so $b^2-a^2=2560,$ i.e. $(b-a)(b+a)=2560.$ Both factors have the same parity, hence both even. To maximize $a$ (and thus $M$ ), minimize $b-a:$ take $b-a=2,\ b+a=1280,$ so $a=639.$ Then $M=639^2-1213$ $=408321-1213$ $=407108,$ whose units digit is $8.$ Thus, the correct answer is E.

2024 AMC 12A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años