Question

Un cubo sólido tiene lado de $3$ pulgadas. En el centro de cada cara se corta un agujero cuadrado de $2$ pulgadas por $2$ pulgadas. Los bordes de cada corte son paralelos a las aristas del cubo, y cada agujero atraviesa todo el cubo. ¿Cuál es el volumen, en pulgadas cúbicas, del sólido restante?

A solid cube has side length $3$ inches. A $2$ -inch by $2$ -inch square hole is cut into the center of each face. The edges of each cut are parallel to the edges of the cube, and each hole goes all the way through the cube. What is the volume, in cubic inches, of the remaining solid?

$7$

$8$

$10$

$12$

$15$

Solución:

Nota que todos los sólidos extraídos se intersecan en el centro del cubo.

Esta región de intersección es un cubo con lado $2.$ Entonces el volumen de la región extraída es $\begin{align*}3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2^3 &= 36 - 16 \\&= 20.\end{align*}$

Tenemos que restar la región central dos veces, ya que está incluida en las $3$ regiones.

El volumen restante es entonces $3^3 - 20 = 27 - 20 = 7.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Note that all the cut out solids intersect in the middle of the cube.

This region of intersection is a cube with side length $2.$ Then the volume of the cutout region is $\begin{align*}3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2^3 &= 36 - 16 \\&= 20.\end{align*}$

We have to subtract out the center region twice since it is included in all $3$ regions.

The remaining volume is then $3^3 - 20 = 27 - 20 = 7.$

Thus, A is the correct answer.

2010 AMC 12A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años