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2010 AMC 12A Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2010 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

Un cubo sólido tiene lado de 33 pulgadas. En el centro de cada cara se corta un agujero cuadrado de 22 pulgadas por 22 pulgadas. Los bordes de cada corte son paralelos a las aristas del cubo, y cada agujero atraviesa todo el cubo. ¿Cuál es el volumen, en pulgadas cúbicas, del sólido restante?

A solid cube has side length 33 inches. A 22-inch by 22-inch square hole is cut into the center of each face. The edges of each cut are parallel to the edges of the cube, and each hole goes all the way through the cube. What is the volume, in cubic inches, of the remaining solid?

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Respuesta: A
Conceptos:volumeninclusión-exclusióngeometría del cubo
Nivel de dificultad: 1790
Pista pequeña:

Usa inclusión-exclusión para los tres agujeros rectangulares.

Use inclusion-exclusion for the three rectangular holes

Pista grande:

Los tres agujeros 2×2×32\times2\times3 se traslapan en el cubo central 2×2×22\times2\times2.

The three 2×2×32\times2\times3 holes overlap in the central 2×2×22\times2\times2 cube

Solución:

Nota que todos los sólidos extraídos se intersecan en el centro del cubo.

Esta región de intersección es un cubo con lado 2.2. Entonces el volumen de la región extraída es 3⋅2⋅2⋅3−2⋅23=36−16=20. \begin{align*}3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2^3 &= 36 - 16 \\&= 20.\end{align*}

Tenemos que restar la región central dos veces, ya que está incluida en las 33 regiones.

El volumen restante es entonces 33−20=27−20=7. 3^3 - 20 = 27 - 20 = 7.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Note that all the cut out solids intersect in the middle of the cube.

This region of intersection is a cube with side length 2.2. Then the volume of the cutout region is 3⋅2⋅2⋅3−2⋅23=36−16=20. \begin{align*}3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2^3 &= 36 - 16 \\&= 20.\end{align*}

We have to subtract out the center region twice since it is included in all 33 regions.

The remaining volume is then 33−20=27−20=7. 3^3 - 20 = 27 - 20 = 7.

Thus, A is the correct answer.

Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

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