Question

El conjunto $S$ de puntos en el plano $xy$ es simétrico respecto al origen, a ambos ejes coordenados y a la recta $y = x.$ Si $(2, 3)$ está en $S,$ ¿cuál es el menor número de puntos que puede tener $S$ ?

A set $S$ of points in the $xy$ -plane is symmetric about the origin, both coordinate axes, and the line $y = x.$ If $(2, 3)$ is in $S,$ what is the smallest number of points in $S?$

$1$

$2$

$4$

$8$

$16$

Solución:

Reflejar respecto a $y=x$ da $(3,2),$ y reflejar respecto a los ejes da todos los puntos $(\pm2,\pm3)$ y $(\pm3,\pm2).$

Hay $8$ puntos de este tipo, y este conjunto ya es simétrico respecto al origen, a ambos ejes y a $y=x.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Reflecting across $y=x$ gives $(3,2),$ and reflecting across the axes gives all points $(\pm2,\pm3)$ and $(\pm3,\pm2).$

There are $8$ such points, and this set is already symmetric about the origin, both axes, and $y=x.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años