Question

Un cuadrado de área $2$ está inscrito en un cuadrado de área $3,$ formando cuatro triángulos congruentes, como se muestra a continuación. ¿Cuál es la razón entre el cateto más corto y el cateto más largo en el triángulo rectángulo sombreado?

A square of area $2$ is inscribed in a square of area $3,$ creating four congruent triangles, as shown below. What is the ratio of the shorter leg to the longer leg in the shaded right triangle?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$2-\sqrt{3}$

$\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\sqrt{2}-1$

Solución:

El cuadrado exterior tiene lado $\sqrt3$ y el cuadrado interior tiene lado $\sqrt2.$ Cada triángulo es rectángulo, con catetos $p$ y $q$ a lo largo de un lado exterior, así que $p+q=\sqrt3,$ y con hipotenusa igual a un lado interior, así que $p^2+q^2=2.$

Entonces $(p+q)^2=3$ da $2pq=1,$ así que $p$ y $q$ son las raíces de $t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0,$ es decir $\dfrac{\sqrt3\pm 1}{2}.$

La razón del cateto más corto al más largo es $\begin{gathered} \dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\\ {}=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}\\ {}=2-\sqrt3. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The outer square has side $\sqrt3$ and the inner square has side $\sqrt2.$ Each triangle is right, with legs $p$ and $q$ along an outer side, so $p+q=\sqrt3,$ and with hypotenuse an inner side, so $p^2+q^2=2.$

Then $(p+q)^2=3$ gives $2pq=1,$ so $p$ and $q$ are the roots of $t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0,$ namely $\dfrac{\sqrt3\pm 1}{2}.$

The ratio of shorter to longer leg is $\begin{gathered} \dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\\ {}=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}\\ {}=2-\sqrt3. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

2023 AMC 12A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años