Question

El cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene $AB = 3,$ $BC = 4,$ $CD = 13,$ $AD = 12,$ y $\angle ABC = 90^\circ,$ como se muestra. ¿Cuál es el área del cuadrilátero?

Convex quadrilateral $ABCD$ has $AB = 3,$ $BC = 4,$ $CD = 13,$ $AD = 12,$ and $\angle ABC = 90^\circ,$ as shown. What is the area of the quadrilateral?

$30$

$36$

$40$

$48$

$58.5$

Respuesta: B

Conceptos:Teorema de Pitágoras área del triángulo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Usa el triángulo rectángulo $ABC$ para hallar la diagonal $AC$ .

Use right triangle $ABC$ to find diagonal $AC$

Pista grande:

Comprueba si $AC,$ $AD,$ $CD$ satisfacen $AC^2 + AD^2 = CD^2$ .

Check whether $AC,$ $AD,$ $CD$ satisfy $AC^2 + AD^2 = CD^2$

Solución:

Por el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo $ABC,$ $AC = \sqrt{3^2+4^2} = 5.$

Como $5^2 + 12^2 = 13^2,$ el recíproco del Teorema de Pitágoras muestra que $\angle DAC = 90^\circ,$ por lo que $\triangle DAC$ es rectángulo.

El área de $\triangle ABC$ es $\tfrac12\cdot3\cdot4 = 6$ y el área de $\triangle DAC$ es $\tfrac12\cdot5\cdot12 = 30.$ El cuadrilátero tiene área $6 + 30 = 36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By the Pythagorean Theorem in right triangle $ABC,$ $AC = \sqrt{3^2+4^2} = 5.$

Since $5^2 + 12^2 = 13^2,$ the converse of the Pythagorean Theorem shows $\angle DAC = 90^\circ,$ so $\triangle DAC$ is right.

The area of $\triangle ABC$ is $\tfrac12\cdot3\cdot4 = 6$ and the area of $\triangle DAC$ is $\tfrac12\cdot5\cdot12 = 30.$ The quadrilateral has area $6 + 30 = 36.$

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12B Problema 9

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años