Question

Las pantallas de televisión más antiguas tienen una relación de aspecto de $4:3.$ Es decir, la razón entre el ancho y la altura es $4:3.$ La relación de aspecto de muchas películas no es $4:3,$ por lo que a veces se muestran en una pantalla de televisión mediante el "formato de buzón", oscureciendo franjas de igual altura en la parte superior e inferior de la pantalla, como se muestra. Supongamos que una película tiene una relación de aspecto de $2:1$ y se muestra en una pantalla de televisión antigua con una diagonal de $27$ pulgadas. ¿Cuál es la altura, en pulgadas, de cada franja oscurecida?

Older television screens have an aspect ratio of $4:3.$ That is, the ratio of the width to the height is $4:3.$ The aspect ratio of many movies is not $4:3,$ so they are sometimes shown on a television screen by "letterboxing" — darkening strips of equal height at the top and bottom of the screen, as shown. Suppose a movie has an aspect ratio of $2:1$ and is shown on an older television screen with a $27$ -inch diagonal. What is the height, in inches, of each darkened strip?

$2$

$2.25$

$2.5$

$2.7$

$3$

Solución:

Como los lados y la diagonal están en razón $3:4:5,$ la altura es $\tfrac{3}{5} \cdot 27 = 16.2$ pulgadas y el ancho es $\tfrac{4}{5} \cdot 27 = 21.6$ pulgadas.

La película tiene relación de aspecto $2:1,$ así que su altura es $\tfrac{21.6}{2} = 10.8$ pulgadas.

Por lo tanto, cada franja oscurecida tiene altura $\dfrac{16.2 - 10.8}{2} = 2.7$ pulgadas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since the sides and diagonal are in ratio $3:4:5,$ the height is $\tfrac{3}{5} \cdot 27 = 16.2$ inches and the width is $\tfrac{4}{5} \cdot 27 = 21.6$ inches.

The movie has aspect ratio $2:1,$ so its height is $\tfrac{21.6}{2} = 10.8$ inches.

Each darkened strip therefore has height $\dfrac{16.2 - 10.8}{2} = 2.7$ inches.

Thus, D is the correct answer.

2008 AMC 12A Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años