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1963 AMC 12 Problema 9

Intenta el Problema 9 del 1963 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1963 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

En el desarrollo de (a−1a)7\left(a-\dfrac1{\sqrt a}\right)^7, el coeficiente de a−12a^{-\frac{1}{2}} es:

In the expansion of (a−1a)7\left(a-\dfrac1{\sqrt a}\right)^7 the coefficient of a−12a^{-\frac{1}{2}} is:

−7-7

77

−21-21

2121

3535

Respuesta: C
Conceptos:teorema del binomioexponente
Nivel de dificultad: 1850
Pista pequeña:

El término que elige el segundo sumando rr veces tiene exponente 7−3r27-\frac{3r}{2}

The term choosing the second summand rr times has exponent 7−3r27-\frac{3r}{2}

Pista grande:

Iguala ese exponente a −12-\frac{1}{2} antes de hallar el coeficiente binomial y el signo

Set that exponent equal to −12-\frac{1}{2} before finding the binomial coefficient and sign

Solución:

El término que usa −a−12-a^{-\frac{1}{2}} exactamente rr veces tiene exponente 7−r−r2=7−3r2.7-r-\frac{r}{2}=7-\frac{3r}{2}. Al igualarlo a −12-\frac{1}{2} se obtiene r=5.r=5. Su coeficiente es (75)(−1)5=−21.\binom75(-1)^5=-21.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The term using −a−12-a^{-\frac{1}{2}} exactly rr times has exponent 7−r−r2=7−3r2.7-r-\frac{r}{2}=7-\frac{3r}{2}. Setting this to −12-\frac{1}{2} gives r=5.r=5. Its coefficient is (75)(−1)5=−21.\binom75(-1)^5=-21.

Therefore, the correct answer is C.

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