Question

¿Para cuántos valores enteros de $x$ se puede formar un triángulo de área positiva con lados de longitud $\log_2 x,$ $\log_4 x,$ y $3$ ?

For how many integral values of $x$ can a triangle of positive area be formed having side lengths $\log_2 x,$ $\log_4 x,$ and $3?$

$57$

$59$

$61$

$62$

$63$

Solución:

Sea $t=\log_2 x.$ Entonces $\log_4 x=\dfrac{t}{2},$ y los lados son $t,\ \dfrac{t}{2},\ 3.$

Las desigualdades triangulares dan $t+\dfrac{t}{2}\gt3$ (así que $t\gt2$ ) y $\dfrac{t}{2}+3\gt t$ (así que $t\lt6$ ); la tercera desigualdad es automática.

Por lo tanto $2\lt\log_2 x\lt6,$ es decir $4\lt x\lt64.$ Los enteros $5,6,\ldots,63$ son en total $59.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $t=\log_2 x.$ Then $\log_4 x=\dfrac{t}{2},$ and the sides are $t,\ \dfrac{t}{2},\ 3.$

The triangle inequalities give $t+\dfrac{t}{2}\gt3$ (so $t\gt2$ ) and $\dfrac{t}{2}+3\gt t$ (so $t\lt6$ ); the third inequality is automatic.

Thus $2\lt\log_2 x\lt6,$ i.e. $4\lt x\lt64.$ The integers $5,6,\ldots,63$ number $59.$

Thus, B is the correct answer.

2019 AMC 12B Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años