Soluciones del 2024 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de $9901\cdot101-99\cdot10101$ ?

What is the value of $9901\cdot101-99\cdot10101?$

$2$

$20$

$21$

$200$

$2020$

Conceptos:operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 870

Solución:

Directamente, $9901\cdot101=990100$ $+9901=1000001$ y $99\cdot10101=1010100$ $-10101=999999.$ Su diferencia es $1000001-999999=2.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Directly, $9901\cdot101=990100$ $+9901=1000001$ and $99\cdot10101=1010100$ $-10101=999999.$ Their difference is $1000001-999999=2.$ Thus, the correct answer is A.

2.

Un modelo para estimar el tiempo que tomará subir hasta la cima de una montaña por un sendero tiene la forma $T=aL+bG,$ donde $a$ y $b$ son constantes, $T$ es el tiempo en minutos, $L$ es la longitud del sendero en millas, y $G$ es el desnivel de altitud en pies. El modelo estima que tomará $69$ minutos subir hasta la cima si un sendero mide $1.5$ millas de largo y asciende $800$ pies, así como si un sendero mide $1.2$ millas de largo y asciende $1100$ pies.

¿Cuántos minutos estima el modelo que tomará subir hasta la cima si el sendero mide $4.2$ millas de largo y asciende $4000$ pies?

A model used to estimate the time it will take to hike to the top of a mountain on a trail is of the form $T=aL+bG,$ where $a$ and $b$ are constants, $T$ is the time in minutes, $L$ is the length of the trail in miles, and $G$ is the altitude gain in feet. The model estimates that it will take $69$ minutes to hike to the top if a trail is $1.5$ miles long and ascends $800$ feet, as well as if a trail is $1.2$ miles long and ascends $1100$ feet.

How many minutes does the model estimate it will take to hike to the top if the trail is $4.2$ miles long and ascends $4000$ feet?

$240$

$246$

$252$

$258$

$264$

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 990

Solución:

De $1.5a+800b=1.2a+1100b$ obtenemos $0.3a=300b,$ así que $a=1000b.$ Entonces $69=1.5a+800b$ $=1500b+800b=2300b,$ lo que da $b=0.03$ y $a=30.$ Para $L=4.2,\ G=4000,$ $T=30(4.2)$ $+0.03(4000)$ $=126+120=246.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

From $1.5a+800b=1.2a+1100b$ we get $0.3a=300b,$ so $a=1000b.$ Then $69=1.5a+800b$ $=1500b+800b=2300b,$ giving $b=0.03$ and $a=30.$ For $L=4.2,\ G=4000,$ $T=30(4.2)$ $+0.03(4000)$ $=126+120=246.$ Thus, the correct answer is B.

3.

El número $2024$ se escribe como la suma de números de dos dígitos, no necesariamente distintos. ¿Cuál es la menor cantidad de números de dos dígitos necesarios para escribir esta suma?

The number $2024$ is written as the sum of not necessarily distinct two-digit numbers. What is the least number of two-digit numbers needed to write this sum?

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

Conceptos:optimización acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1100

Solución:

Cada número es a lo sumo $99,$ así que $k$ números suman a lo sumo $99k.$ Como $99\cdot20=1980\lt2024,$ se requieren al menos $21$ números. Con $21,$ podemos usar veinte $99$ y un $44$ : $20\cdot99+44=1980+44$ $=2024.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each number is at most $99,$ so $k$ numbers sum to at most $99k.$ Since $99\cdot20=1980\lt2024,$ at least $21$ numbers are required. With $21,$ we can use twenty $99$ s and one $44$ : $20\cdot99+44=1980+44$ $=2024.$ Thus, the correct answer is B.

4.

¿Cuál es el menor valor de $n$ tal que $n!$ es múltiplo de $2024$ ?

What is the least value of $n$ such that $n!$ is a multiple of $2024?$

$11$

$21$

$22$

$23$

$253$

Conceptos:factorización en primos factorial

Nivel de dificultad: 1180

Solución:

Factorizando, $2024=2^3\cdot11\cdot23.$ El factorial $n!$ contiene el primo $23$ solo cuando $n\ge23.$ En $n=23,$ el producto $23!$ ya incluye $23,\ 11,$ y muchos factores de $2,$ así que $23!$ es múltiplo de $2024.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factoring, $2024=2^3\cdot11\cdot23.$ The factorial $n!$ contains the prime $23$ only when $n\ge23.$ At $n=23,$ the product $23!$ already includes $23,\ 11,$ and plenty of factors of $2,$ so $23!$ is a multiple of $2024.$ Thus, the correct answer is D.

5.

Un conjunto de datos que contiene $20$ números, algunos de los cuales son $6,$ tiene media $45.$ Cuando se eliminan todos los $6$ , el conjunto de datos tiene media $66.$ ¿Cuántos $6$ había en el conjunto de datos original?

A data set containing $20$ numbers, some of which are $6,$ has mean $45.$ When all the $6$ s are removed, the data set has mean $66.$ How many $6$ s were in the original data set?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:media ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1230

Solución:

El conjunto completo suma $20\cdot45=900.$ Eliminar $k$ seises deja $20-k$ números que suman $900-6k,$ con media $66,$ así que $900-6k=66(20-k)$ $=1320-66k.$ Entonces $60k=420,$ lo que da $k=7.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The full set sums to $20\cdot45=900.$ Removing $k$ sixes leaves $20-k$ numbers summing to $900-6k,$ with mean $66,$ so $900-6k=66(20-k)$ $=1320-66k.$ Then $60k=420,$ giving $k=7.$ Thus, the correct answer is D.

6.

El producto de tres enteros es $60.$ ¿Cuál es la menor suma positiva posible de los tres enteros?

The product of three integers is $60.$ What is the least possible positive sum of the three integers?

$2$

$3$

$5$

$6$

$13$

Conceptos:factor optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

Para mantener el producto positivo usamos dos enteros negativos $-p,-q$ y uno positivo $r,$ con $pqr=60$ y suma $r-p-q.$ Probar $(p,q,r)=(1,6,10)$ da producto $60$ y suma $10-1-6=3.$ Revisar las otras factorizaciones muestra que no se puede obtener ninguna suma positiva menor que $3$ (por ejemplo, las ternas de solo positivos dan al menos $3+4+5=12$ ). Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

To keep the product positive we use two negative integers $-p,-q$ and one positive $r,$ with $pqr=60$ and sum $r-p-q.$ Trying $(p,q,r)=(1,6,10)$ gives product $60$ and sum $10-1-6=3.$ Checking the other factorizations shows no positive sum smaller than $3$ is attainable (for example all-positive triples give at least $3+4+5=12$ ). Thus, the correct answer is B.

7.

En $\triangle ABC,$ $\angle ABC=90^\circ$ y $BA=BC=\sqrt2.$ Los puntos $P_1,P_2,\ldots,P_{2024}$ están sobre la hipotenusa $AC$ de modo que $AP_1=P_1P_2$ $=P_2P_3$ $=\cdots$ $=P_{2023}P_{2024}$ $=P_{2024}C.$

¿Cuál es la longitud de la siguiente suma vectorial? $\begin{aligned} &\vec{BP_1}+\vec{BP_2}+\vec{BP_3} \\ &\quad {}+\cdots+\vec{BP_{2024}}? \end{aligned}$

In $\triangle ABC,$ $\angle ABC=90^\circ$ and $BA=BC=\sqrt2.$ Points $P_1,P_2,\ldots,P_{2024}$ lie on hypotenuse $AC$ so that $AP_1=P_1P_2$ $=P_2P_3$ $=\cdots$ $=P_{2023}P_{2024}$ $=P_{2024}C.$

What is the length of the vector sum $\begin{aligned} &\vec{BP_1}+\vec{BP_2}+\vec{BP_3} \\ &\quad {}+\cdots+\vec{BP_{2024}}? \end{aligned}$

$1011$

$1012$

$2023$

$2024$

$2025$

Conceptos:vector mediana (geometría)simetría

Nivel de dificultad: 1430

Solución:

Los puntos $P_k$ son simétricos respecto al punto medio $M$ de $AC,$ así que emparejar $P_k$ con su reflejo da $\vec{BP_k}+\vec{BP_{2025-k}}=2\,\vec{BM}.$ Por lo tanto la suma completa es $2024\,\vec{BM}.$ En un triángulo rectángulo la mediana a la hipotenusa tiene longitud igual a la mitad de la hipotenusa; aquí $AC=2,$ así que $BM=1.$ La longitud de la suma es $2024\cdot1=2024.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The points $P_k$ are symmetric about the midpoint $M$ of $AC,$ so pairing $P_k$ with its mirror gives $\vec{BP_k}+\vec{BP_{2025-k}}=2\,\vec{BM}.$ Hence the whole sum is $2024\,\vec{BM}.$ In a right triangle the median to the hypotenuse has length half the hypotenuse; here $AC=2,$ so $BM=1.$ The length of the sum is $2024\cdot1=2024.$ Thus, the correct answer is D.

8.

¿Cuántos ángulos $\theta$ con $0\le\theta\le2\pi$ satisfacen $\log(\sin(3\theta))+\log(\cos(2\theta))=0$ ?

How many angles $\theta$ with $0\le\theta\le2\pi$ satisfy $\log(\sin(3\theta))+\log(\cos(2\theta))=0?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:logaritmo trigonometría acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

La ecuación significa $\sin(3\theta)\cos(2\theta)=1$ con ambos factores positivos (para que los logaritmos estén definidos). Como $\sin(3\theta)\le1$ y $\cos(2\theta)\le1,$ su producto es $1$ solo si $\sin(3\theta)=1$ y $\cos(2\theta)=1$ simultáneamente. Pero $\cos(2\theta)=1$ obliga a $\theta\in\{0,\pi,2\pi\},$ donde $\sin(3\theta)=0\ne1.$ Ningún ángulo funciona. Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The equation means $\sin(3\theta)\cos(2\theta)=1$ with both factors positive (for the logs to be defined). Since $\sin(3\theta)\le1$ and $\cos(2\theta)\le1,$ their product is $1$ only if $\sin(3\theta)=1$ and $\cos(2\theta)=1$ simultaneously. But $\cos(2\theta)=1$ forces $\theta\in\{0,\pi,2\pi\},$ where $\sin(3\theta)=0\ne1.$ No angle works. Thus, the correct answer is A.

9.

Sea $M$ el mayor entero tal que tanto $M+1213$ como $M+3773$ sean cuadrados perfectos. ¿Cuál es la cifra de las unidades de $M$ ?

Let $M$ be the greatest integer such that both $M+1213$ and $M+3773$ are perfect squares. What is the units digit of $M?$

$1$

$2$

$3$

$6$

$8$

Conceptos:diferencia de cuadrados cuadrado perfecto optimización

Nivel de dificultad: 1510

Solución:

Escribimos $M+1213=a^2$ y $M+3773=b^2,$ así que $b^2-a^2=2560,$ es decir $(b-a)(b+a)=2560.$ Ambos factores tienen la misma paridad, por lo que ambos son pares. Para maximizar $a$ (y por tanto $M$ ), minimizamos $b-a:$ tomamos $b-a=2,\ b+a=1280,$ así que $a=639.$ Entonces $M=639^2-1213$ $=408321-1213$ $=407108,$ cuya cifra de las unidades es $8.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write $M+1213=a^2$ and $M+3773=b^2,$ so $b^2-a^2=2560,$ i.e. $(b-a)(b+a)=2560.$ Both factors have the same parity, hence both even. To maximize $a$ (and thus $M$ ), minimize $b-a:$ take $b-a=2,\ b+a=1280,$ so $a=639.$ Then $M=639^2-1213$ $=408321-1213$ $=407108,$ whose units digit is $8.$ Thus, the correct answer is E.

10.

Sea $\alpha$ la medida en radianes del ángulo más pequeño de un triángulo rectángulo $3\text{-}4\text{-}5$ . Sea $\beta$ la medida en radianes del ángulo más pequeño de un triángulo rectángulo $7\text{-}24\text{-}25$ . En términos de $\alpha,$ ¿cuánto vale $\beta$ ?

Let $\alpha$ be the radian measure of the smallest angle in a $3\text{-}4\text{-}5$ right triangle. Let $\beta$ be the radian measure of the smallest angle in a $7\text{-}24\text{-}25$ right triangle. In terms of $\alpha,$ what is $\beta?$

$\dfrac{\alpha}{3}$

$\alpha-\dfrac{\pi}{8}$

$\dfrac{\pi}{2}-2\alpha$

$\dfrac{\alpha}{2}$

$\pi-4\alpha$

Conceptos:identidad trigonométrica triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 1570

Solución:

El ángulo más pequeño del triángulo $3\text{-}4\text{-}5$ tiene $\tan\alpha=\tfrac34.$ Entonces $\begin{aligned} &\tan2\alpha=\frac{2\cdot\frac34}{1-\frac{9}{16}} \\ &=\frac{3/2}{7/16}=\frac{24}{7}. \end{aligned}$ El ángulo más pequeño del triángulo $7\text{-}24\text{-}25$ tiene $\tan\beta=\tfrac{7}{24}=\cot2\alpha$ $=\tan\!\left(\tfrac{\pi}{2}-2\alpha\right).$ De ahí $\beta=\tfrac{\pi}{2}-2\alpha.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The smallest angle of the $3\text{-}4\text{-}5$ triangle has $\tan\alpha=\tfrac34.$ Then $\begin{aligned} &\tan2\alpha=\frac{2\cdot\frac34}{1-\frac{9}{16}} \\ &=\frac{3/2}{7/16}=\frac{24}{7}. \end{aligned}$ The smallest angle of the $7\text{-}24\text{-}25$ triangle has $\tan\beta=\tfrac{7}{24}=\cot2\alpha$ $=\tan\!\left(\tfrac{\pi}{2}-2\alpha\right).$ Hence $\beta=\tfrac{\pi}{2}-2\alpha.$ Thus, the correct answer is C.

11.

Hay exactamente $K$ enteros positivos $b$ con $5\le b\le2024$ tales que el entero $2024_b$ en base $b$ es divisible por $16$ (donde $16$ está en base diez). ¿Cuál es la suma de las cifras de $K$ ?

There are exactly $K$ positive integers $b$ with $5\le b\le2024$ such that the base- $b$ integer $2024_b$ is divisible by $16$ (where $16$ is in base ten). What is the sum of the digits of $K?$

$16$

$17$

$18$

$20$

$21$

Conceptos:base numérica aritmética modular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Aquí $2024_b=2b^3+2b+4$ $=2(b^3+b+2),$ así que $16\mid2024_b$ exactamente cuando $8\mid b^3+b+2.$ Revisando los residuos $\bmod 8,$ $b^3+b+2\equiv0$ precisamente para $b\equiv3,6,7\pmod8.$

Contando los $b$ en $[5,2024]:$ el residuo $3$ da $11,\ldots,2019$ ( $252$ valores), el residuo $6$ da $6,\ldots,2022$ ( $253$ valores), y el residuo $7$ da $7,\ldots,2023$ ( $253$ valores). Así que $K=252+253+253=758,$ y su suma de cifras es $7+5+8=20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Here $2024_b=2b^3+2b+4$ $=2(b^3+b+2),$ so $16\mid2024_b$ exactly when $8\mid b^3+b+2.$ Checking residues $\bmod 8,$ $b^3+b+2\equiv0$ precisely for $b\equiv3,6,7\pmod8.$

Counting $b$ in $[5,2024]:$ residue $3$ gives $11,\ldots,2019$ ( $252$ values), residue $6$ gives $6,\ldots,2022$ ( $253$ values), and residue $7$ gives $7,\ldots,2023$ ( $253$ values). So $K=252+253+253=758,$ and its digit sum is $7+5+8=20.$

Thus, the correct answer is D.

12.

Los primeros tres términos de una progresión geométrica son los enteros $a,\ 720,$ y $b,$ donde $a\lt720\lt b.$ ¿Cuál es la suma de las cifras del menor valor posible de $b$ ?

The first three terms of a geometric sequence are the integers $a,\ 720,$ and $b,$ where $a\lt720\lt b.$ What is the sum of the digits of the least possible value of $b?$

$9$

$12$

$16$

$18$

$21$

Conceptos:sucesión geométrica factor optimización

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Como los términos son geométricos, $720^2=ab,$ así que $ab=518400=2^8\cdot3^4\cdot5^2.$ Como $b=518400/a,$ minimizar $b$ significa maximizar el divisor $a$ sujeto a $a\lt720.$ El mayor divisor de ese tipo es $a=675=3^3\cdot5^2,$ lo que da $b=518400/675=768.$ Su suma de cifras es $7+6+8=21.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since the terms are geometric, $720^2=ab,$ so $ab=518400=2^8\cdot3^4\cdot5^2.$ Because $b=518400/a,$ minimizing $b$ means maximizing the divisor $a$ subject to $a\lt720.$ The largest such divisor is $a=675=3^3\cdot5^2,$ giving $b=518400/675=768.$ Its digit sum is $7+6+8=21.$ Thus, the correct answer is E.

13.

La gráfica de $y=e^{x+1}+e^{-x}-2$ tiene un eje de simetría. ¿Cuál es la reflexión del punto $\left(-1,\tfrac12\right)$ respecto a este eje?

The graph of $y=e^{x+1}+e^{-x}-2$ has an axis of symmetry. What is the reflection of the point $\left(-1,\tfrac12\right)$ over this axis?

$\left(-1,-\tfrac32\right)$

$(-1,0)$

$\left(-1,\tfrac12\right)$

$\left(0,\tfrac12\right)$

$\left(3,\tfrac12\right)$

Conceptos:función simetría

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

La curva $y=e^{x+1}+e^{-x}-2$ es simétrica respecto a la recta vertical que pasa por su mínimo. Igualar la derivada $e^{x+1}-e^{-x}=0$ da $x+1=-x,$ así que $x=-\tfrac12.$ Al reflejar $\left(-1,\tfrac12\right)$ respecto a $x=-\tfrac12$ se conserva la coordenada $y$ y $x=-1$ va a $x=0.$ La imagen es $\left(0,\tfrac12\right).$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The curve $y=e^{x+1}+e^{-x}-2$ is symmetric about the vertical line through its minimum. Setting the derivative $e^{x+1}-e^{-x}=0$ gives $x+1=-x,$ so $x=-\tfrac12.$ Reflecting $\left(-1,\tfrac12\right)$ across $x=-\tfrac12$ keeps the $y$ -coordinate and sends $x=-1$ to $x=0.$ The image is $\left(0,\tfrac12\right).$ Thus, the correct answer is D.

14.

Los números, en orden, de cada fila y los números, en orden, de cada columna de un arreglo $5\times5$ de enteros forman una progresión aritmética de longitud $5.$ Los números en las posiciones $(5,5),\ (2,4),\ (4,3),$ y $(3,1)$ son $0,\ 48,\ 16,$ y $12,$ respectivamente. ¿Qué número está en la posición $(1,2)$ ?

$\begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}$

The numbers, in order, of each row and the numbers, in order, of each column of a $5\times5$ array of integers form an arithmetic progression of length $5.$ The numbers in positions $(5,5),\ (2,4),\ (4,3),$ and $(3,1)$ are $0,\ 48,\ 16,$ and $12,$ respectively. What number is in position $(1,2)?$

$\begin{bmatrix} \cdot & ? & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & 48 & \cdot \\ 12 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & 16 & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \end{bmatrix}$

$19$

$24$

$29$

$34$

$39$

Conceptos:sucesión aritmética sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1750

Solución:

Una cuadrícula cuyas filas y columnas son todas aritméticas tiene entradas de la forma bilineal $a(i,j)=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij.$ Los cuatro datos dan $\alpha+5\beta+5\gamma+25\delta=0,$ $\alpha+2\beta+4\gamma+8\delta=48,$ $\alpha+4\beta+3\gamma+12\delta=16,$ $\alpha+3\beta+\gamma+3\delta=12.$

Al resolver se obtiene $\delta=-5,\ \beta=5,\$ $\gamma=22,\ \alpha=-10.$ Entonces $a(1,2)=\alpha+\beta+2\gamma+2\delta$ $=-10+5+44-10$ $=29.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A grid whose rows and columns are all arithmetic has entries of the bilinear form $a(i,j)=\alpha+\beta i+\gamma j+\delta ij.$ The four givens yield $\alpha+5\beta+5\gamma+25\delta=0,$ $\alpha+2\beta+4\gamma+8\delta=48,$ $\alpha+4\beta+3\gamma+12\delta=16,$ $\alpha+3\beta+\gamma+3\delta=12.$

Solving gives $\delta=-5,\ \beta=5,\$ $\gamma=22,\ \alpha=-10.$ Then $a(1,2)=\alpha+\beta+2\gamma+2\delta$ $=-10+5+44-10$ $=29.$

Thus, the correct answer is C.

15.

Las raíces de $x^3+2x^2-x+3$ son $p$ , $q$ , y $r$ . Halla el valor de la siguiente expresión: $(p^2+4)(q^2+4)(r^2+4)?$

The roots of $x^3+2x^2-x+3$ are $p$ , $q$ , and $r$ . What is the value of $(p^2+4)(q^2+4)(r^2+4)?$

$64$

$75$

$100$

$125$

$144$

Conceptos:número complejo polinomio

Nivel de dificultad: 1710

Solución:

Como $P(x)=(x-p)(x-q)(x-r),$ agrupar $p^2+4=(p-2i)(p+2i)$ sobre todas las raíces da $\prod(p^2+4)=P(2i)\,P(-2i).$ Calculamos $P(2i)=-8i-8-2i+3$ $=-5-10i$ y $P(-2i)=8i-8+2i+3$ $=-5+10i.$ Su producto es $(-5)^2+10^2=25+100=125.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $P(x)=(x-p)(x-q)(x-r),$ grouping $p^2+4=(p-2i)(p+2i)$ over all roots gives $\prod(p^2+4)=P(2i)\,P(-2i).$ Compute $P(2i)=-8i-8-2i+3$ $=-5-10i$ and $P(-2i)=8i-8+2i+3$ $=-5+10i.$ Their product is $(-5)^2+10^2=25+100=125.$ Thus, the correct answer is D.

16.

Un conjunto de $12$ fichas, de las cuales $3$ son rojas, $2$ blancas, $1$ azul y $6$ negras, se reparte al azar entre $3$ jugadores, $4$ fichas por jugador. La probabilidad de que algún jugador reciba todas las fichas rojas, otro reciba todas las blancas, y el jugador restante reciba la ficha azul se puede escribir como $\dfrac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m+n$ ?

A set of $12$ tokens — $3$ red, $2$ white, $1$ blue, and $6$ black — is to be distributed at random to $3$ game players, $4$ tokens per player. The probability that some player gets all the red tokens, another gets all the white tokens, and the remaining player gets the blue token can be written as $\dfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$387$

$388$

$389$

$390$

$391$

Conceptos:probabilidad básica permutaciones de multiconjuntos

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

Tratamos todas las fichas como distintas; el número total de maneras de repartir $4$ a cada jugador es $\binom{12}{4,4,4}=34650.$ Para el evento favorable, elegimos qué jugador recibe las rojas, las blancas y la azul de $3!=6$ maneras. El jugador rojo necesita $1$ ficha más, el blanco $2$ más, y el azul $3$ más, todas negras; las $6$ fichas negras se reparten como $1,2,3$ de $\tfrac{6!}{1!\,2!\,3!}=60$ maneras. Así que la probabilidad es $\dfrac{6\cdot60}{34650}=\dfrac{360}{34650}=\dfrac{4}{385}.$ Entonces $m+n=4+385=389.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Treat all tokens as distinct; the total number of ways to deal $4$ to each player is $\binom{12}{4,4,4}=34650.$ For the favorable event, choose which player gets the reds, whites, and blue in $3!=6$ ways. The red player needs $1$ more token, the white player $2$ more, and the blue player $3$ more, all black; the $6$ black tokens split as $1,2,3$ in $\tfrac{6!}{1!\,2!\,3!}=60$ ways. So the probability is $\dfrac{6\cdot60}{34650}=\dfrac{360}{34650}=\dfrac{4}{385}.$ Then $m+n=4+385=389.$ Thus, the correct answer is C.

17.

Los enteros $a,\ b,$ y $c$ satisfacen $ab+c=100,$ $bc+a=87,$ y $ca+b=60.$ ¿Cuánto vale $ab+bc+ca$ ?

Integers $a,\ b,$ and $c$ satisfy $ab+c=100,$ $bc+a=87,$ and $ca+b=60.$ What is $ab+bc+ca?$

$212$

$247$

$258$

$276$

$284$

Conceptos:sistema de ecuaciones factorización análisis por casos

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Restar por pares da $(a-c)(b-1)=13,\$ $(a-b)(c-1)=-27,$ y $(b-c)(a-1)=40.$ Como $13$ es primo, solo surgen unos pocos casos; probándolos se obtiene $a=-9,\ b=-12,\ c=-8,$ que satisfacen las tres ecuaciones originales. Entonces $ab+bc+ca=108+96+72$ $=276.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Subtracting pairs gives $(a-c)(b-1)=13,\$ $(a-b)(c-1)=-27,$ and $(b-c)(a-1)=40.$ Because $13$ is prime, only a few cases arise; testing them yields $a=-9,\ b=-12,\ c=-8,$ which satisfy all three original equations. Then $ab+bc+ca=108+96+72$ $=276.$ Thus, the correct answer is D.

18.

Sobre una tarjeta rectangular con lados de longitud $1$ y $2+\sqrt3,$ se coloca una tarjeta idéntica de modo que dos de sus diagonales coincidan, como se muestra ( $AC,$ en este caso).

Two congruent rectangular cards sharing the diagonal AC, with the second card rotated.

Continúa el proceso, agregando una tercera tarjeta a la segunda, y así sucesivamente, alineando diagonales sucesivas tras rotar en sentido horario. En total, ¿cuántas tarjetas deben usarse hasta que un vértice de una nueva tarjeta caiga exactamente sobre el vértice etiquetado $B$ en la figura?

On top of a rectangular card with sides of length $1$ and $2+\sqrt3,$ an identical card is placed so that two of their diagonals line up, as shown ( $AC,$ in this case).

Two congruent rectangular cards sharing the diagonal AC, with the second card rotated.

Continue the process, adding a third card to the second, and so on, lining up successive diagonals after rotating clockwise. In total, how many cards must be used until a vertex of a new card lands exactly on the vertex labeled $B$ in the figure?

$6$

$8$

$10$

$12$

Ningún vértice nuevo caerá sobre $B.$

No new vertex will land on $B.$

Conceptos:transformación trigonometría

Nivel de dificultad: 2010

Solución:

La diagonal de la tarjeta forma un ángulo $\theta$ con el lado largo donde $\tan\theta=\dfrac{1}{2+\sqrt3}$ $=2-\sqrt3=\tan15^\circ,$ así que $\theta=15^\circ.$ Todas las tarjetas comparten diagonales que son cuerdas iguales (diámetros) de una misma circunferencia, y cada tarjeta recién agregada es la anterior girada $15^\circ$ en sentido horario alrededor del centro común. Un vértice nuevo coincide por primera vez con $B$ cuando la rotación acumulada alcanza $90^\circ,$ es decir, tras $90^\circ/15^\circ=6$ tarjetas. Como $15^\circ$ divide exactamente a $90^\circ,$ sí hay un vértice que cae sobre $B.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The diagonal of the card makes an angle $\theta$ with the long side where $\tan\theta=\dfrac{1}{2+\sqrt3}$ $=2-\sqrt3=\tan15^\circ,$ so $\theta=15^\circ.$ All the cards share diagonals that are equal chords (diameters) of one common circle, and each newly added card is the previous one turned $15^\circ$ clockwise about the common center. A fresh vertex first coincides with $B$ once the accumulated rotation reaches $90^\circ,$ i.e. after $90^\circ/15^\circ=6$ cards. Since $15^\circ$ divides $90^\circ$ evenly, a vertex does land on $B.$ Thus, the correct answer is A.

19.

El cuadrilátero cíclico $ABCD$ tiene lados $BC=CD=3$ y $DA=5$ con $\angle CDA=120^\circ.$ ¿Cuál es la longitud de la diagonal más corta de $ABCD$ ?

Cyclic quadrilateral $ABCD$ has lengths $BC=CD=3$ and $DA=5$ with $\angle CDA=120^\circ.$ What is the length of the shorter diagonal of $ABCD?$

$\dfrac{31}{7}$

$\dfrac{33}{7}$

$5$

$\dfrac{39}{7}$

$\dfrac{41}{7}$

Conceptos:cuadrilátero cíclico ley de los cosenos Teorema de Ptolomeo

Nivel de dificultad: 1930

Solución:

En $\triangle ACD,$ la ley de cosenos da $AC^2=9+25-2(15)\cos120^\circ$ $=34+15=49,$ así que $AC=7.$

Como $ABCD$ es cíclico, $\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$ En $\triangle ABC$ con $BC=3$ y $AC=7,$ la ley de cosenos da $49=AB^2+9-3AB,$ así que $AB=8.$ Por Ptolomeo, $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$ $=8\cdot3+3\cdot5=39,$ de donde $BD=\tfrac{39}{7}.$ Esto es más corto que $AC=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

In $\triangle ACD,$ the law of cosines gives $AC^2=9+25-2(15)\cos120^\circ$ $=34+15=49,$ so $AC=7.$

Since $ABCD$ is cyclic, $\angle ABC=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$ In $\triangle ABC$ with $BC=3$ and $AC=7,$ the law of cosines gives $49=AB^2+9-3AB,$ so $AB=8.$ By Ptolemy, $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$ $=8\cdot3+3\cdot5=39,$ hence $BD=\tfrac{39}{7}.$ This is shorter than $AC=7.$

Thus, the correct answer is D.

20.

Los puntos $P$ y $Q$ se eligen de manera uniforme e independiente al azar sobre los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC},$ respectivamente, del triángulo equilátero $\triangle ABC.$ ¿Cuál de los siguientes intervalos contiene la probabilidad de que el área de $\triangle APQ$ sea menor que la mitad del área de $\triangle ABC$ ?

Points $P$ and $Q$ are chosen uniformly and independently at random on sides $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively, of equilateral triangle $\triangle ABC.$ Which of the following intervals contains the probability that the area of $\triangle APQ$ is less than half the area of $\triangle ABC?$

$\left[\tfrac38,\tfrac12\right]$

$\left(\tfrac12,\tfrac23\right]$

$\left(\tfrac23,\tfrac34\right]$

$\left(\tfrac34,\tfrac78\right]$

$\left(\tfrac78,1\right]$

Conceptos:probabilidad geométrica razón de áreas

Nivel de dificultad: 2100

Solución:

Con $x=\tfrac{AP}{AB}$ y $y=\tfrac{AQ}{AC}$ uniformes en $[0,1],$ la razón de áreas $\tfrac{[APQ]}{[ABC]}=xy.$ El evento complementario $xy\ge\tfrac12$ requiere $x\ge\tfrac12$ y $y\in[\tfrac{1}{2x},1],$ con probabilidad $\begin{aligned} &\int_{1/2}^{1}\left(1-\frac{1}{2x}\right)dx \\ &=\frac12-\frac{\ln2}{2}\approx0.153. \end{aligned}$ Por lo tanto $P(xy\lt\tfrac12)\approx1-0.153=0.847,$ que está en $\left(\tfrac34,\tfrac78\right].$ Así que la respuesta correcta es D.

With $x=\tfrac{AP}{AB}$ and $y=\tfrac{AQ}{AC}$ uniform on $[0,1],$ the area ratio $\tfrac{[APQ]}{[ABC]}=xy.$ The complementary event $xy\ge\tfrac12$ requires $x\ge\tfrac12$ and $y\in[\tfrac{1}{2x},1],$ with probability $\begin{aligned} &\int_{1/2}^{1}\left(1-\frac{1}{2x}\right)dx \\ &=\frac12-\frac{\ln2}{2}\approx0.153. \end{aligned}$ Therefore $P(xy\lt\tfrac12)\approx1-0.153=0.847,$ which lies in $\left(\tfrac34,\tfrac78\right].$ Thus, the correct answer is D.

21.

Supongamos que $a_1=2$ y la sucesión $(a_n)$ satisface la relación de recurrencia $\frac{a_n-1}{n-1}=\frac{a_{n-1}+1}{(n-1)+1}$ para todo $n\ge2.$ Halla el mayor entero menor o igual que $\sum_{n=1}^{100}a_n^2?$

Suppose that $a_1=2$ and the sequence $(a_n)$ satisfies the recurrence relation $\frac{a_n-1}{n-1}=\frac{a_{n-1}+1}{(n-1)+1}$ for all $n\ge2.$ What is the greatest integer less than or equal to $\sum_{n=1}^{100}a_n^2?$

$338{,}550$

$338{,}551$

$338{,}552$

$338{,}553$

$338{,}554$

Conceptos:recursión suma de los primeros n cuadrados acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2130

Solución:

La recurrencia se reordena como $a_n=1+\tfrac{n-1}{n}(a_{n-1}+1).$ Calcular los primeros términos $2,\tfrac52,\tfrac{10}3,\tfrac{17}4,\ldots$ revela $a_n=n+\tfrac1n,$ lo cual se verifica. Entonces $a_n^2=n^2+2+\tfrac1{n^2},$ así que $\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{100}a_n^2 \\ &=\sum_{n=1}^{100}n^2+200 \\ &\quad {}+\sum_{n=1}^{100}\frac1{n^2} \\ &=338350+200+S, \end{aligned}$ donde $1\lt S\lt2.$ Por lo tanto la suma está entre $338550$ y $338552,$ y su parte entera es $338551.$ Así que la respuesta correcta es B.

The recurrence rearranges to $a_n=1+\tfrac{n-1}{n}(a_{n-1}+1).$ Computing early terms $2,\tfrac52,\tfrac{10}3,\tfrac{17}4,\ldots$ reveals $a_n=n+\tfrac1n,$ which checks out. Then $a_n^2=n^2+2+\tfrac1{n^2},$ so $\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{100}a_n^2 \\ &=\sum_{n=1}^{100}n^2+200 \\ &\quad {}+\sum_{n=1}^{100}\frac1{n^2} \\ &=338350+200+S, \end{aligned}$ where $1\lt S\lt2.$ Hence the sum is between $338550$ and $338552,$ and its floor is $338551.$ Thus, the correct answer is B.

22.

La figura de abajo muestra una cuadrícula de puntos de $8$ celdas de ancho y $3$ celdas de alto formada por cuadrados de $1''\times1''$ . Carl coloca palillos de $1$ pulgada a lo largo de algunos de los lados de los cuadrados para crear un lazo cerrado que no se cruza a sí mismo. Los números en las celdas indican cuántos lados de ese cuadrado deben quedar cubiertos por palillos, y se permite cualquier cantidad de palillos donde no hay número escrito. ¿De cuántas maneras puede Carl colocar los palillos?

A dotted grid 8 cells wide and 3 cells tall, with a 1 written in each cell of the middle row.

The figure below shows a dotted grid $8$ cells wide and $3$ cells tall consisting of $1''\times1''$ squares. Carl places $1$ -inch toothpicks along some of the sides of the squares to create a closed loop that does not intersect itself. The numbers in the cells indicate the number of sides of that square that are to be covered by toothpicks, and any number of toothpicks are allowed if no number is written. In how many ways can Carl place the toothpicks?

A dotted grid 8 cells wide and 3 cells tall, with a 1 written in each cell of the middle row.

$130$

$144$

$146$

$162$

$196$

Conceptos:teoría de grafos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2370

Solución:

Los palillos forman una sola curva cerrada simple. La condición obliga a que cada una de las ocho celdas de la fila central tenga exactamente uno de sus cuatro lados usado, lo que limita severamente cómo el lazo atraviesa la cuadrícula: para cada celda central el lazo debe aportar una arista (un lado superior, inferior, izquierdo o derecho), y las elecciones consecutivas deben unirse en una única curva cerrada que no se autointerseca.

Trabajando de izquierda a derecha y siguiendo cómo las porciones superior e inferior del lazo entran y salen de cada columna (equivalentemente, un conteo por matriz de transferencia o por casos sobre las $8$ columnas) se enumeran todos los lazos admisibles. Al llevar a cabo este análisis por casos se obtienen $146$ configuraciones válidas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The toothpicks form a single simple closed curve. The constraint forces each of the eight middle-row cells to have exactly one of its four sides used, which severely limits how the loop threads through the grid: for each middle cell the loop must contribute one edge (a top, bottom, left, or right side), and consecutive choices must join up into one non-self-intersecting closed curve.

Working left to right and tracking how the loop's upper and lower portions enter and leave each column (equivalently, a transfer-matrix/casework count over the $8$ columns) enumerates all admissible loops. Carrying out this casework gives $146$ valid configurations.

Thus, the correct answer is C.

23.

Halla el valor de la siguiente expresión: $\begin{aligned} &\tan^2\frac{\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{3\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{5\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{3\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{7\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{5\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{7\pi}{16}? \end{aligned}$

What is the value of $\begin{aligned} &\tan^2\frac{\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{3\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{5\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{3\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{7\pi}{16} \\ &\quad {}+\tan^2\frac{5\pi}{16}\cdot\tan^2\frac{7\pi}{16}? \end{aligned}$

$28$

$68$

$70$

$72$

$84$

Conceptos:identidad trigonométrica factorización

Nivel de dificultad: 2370

Solución:

Con $a=\tan^2\tfrac{\pi}{16},\$ $b=\tan^2\tfrac{3\pi}{16},\$ $c=\tan^2\tfrac{5\pi}{16},\$ $d=\tan^2\tfrac{7\pi}{16},$ la expresión es $ab+ac+bd+cd$ $=(a+d)(b+c).$

Como $\tfrac{7\pi}{16}=\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{16},$ tenemos $d=\cot^2\tfrac{\pi}{16},$ así que $a+d=\tan^2\tfrac{\pi}{16}+\cot^2\tfrac{\pi}{16}$ $=\tfrac{4}{\sin^2(\pi/8)}-2$ $=14+8\sqrt2.$ De igual modo $b+c=\tfrac{4}{\sin^2(3\pi/8)}-2$ $=14-8\sqrt2.$ Su producto es $14^2-(8\sqrt2)^2=196-128=68.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

With $a=\tan^2\tfrac{\pi}{16},\$ $b=\tan^2\tfrac{3\pi}{16},\$ $c=\tan^2\tfrac{5\pi}{16},\$ $d=\tan^2\tfrac{7\pi}{16},$ the expression is $ab+ac+bd+cd$ $=(a+d)(b+c).$

Since $\tfrac{7\pi}{16}=\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{16},$ we have $d=\cot^2\tfrac{\pi}{16},$ so $a+d=\tan^2\tfrac{\pi}{16}+\cot^2\tfrac{\pi}{16}$ $=\tfrac{4}{\sin^2(\pi/8)}-2$ $=14+8\sqrt2.$ Likewise $b+c=\tfrac{4}{\sin^2(3\pi/8)}-2$ $=14-8\sqrt2.$ Their product is $14^2-(8\sqrt2)^2=196-128=68.$

Thus, the correct answer is B.

24.

Un disfenoide es un tetraedro cuyas caras triangulares son congruentes entre sí. ¿Cuál es el área total de superficie mínima de un disfenoide cuyas caras son triángulos escalenos con lados de longitud entera?

A disphenoid is a tetrahedron whose triangular faces are congruent to one another. What is the least total surface area of a disphenoid whose faces are scalene triangles with integer side lengths?

$\sqrt3$

$3\sqrt{15}$

$15$

$15\sqrt7$

$24\sqrt6$

Conceptos:Geometría 3D Fórmula de Herón

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

Un disfenoide existe (como el tetraedro formado por los centros de las caras de una caja) exactamente cuando el triángulo común de las caras es acutángulo, y su área total de superficie es $4$ veces el área de una cara. Queremos el triángulo escaleno acutángulo de lados enteros con menor área. Los candidatos $(2,3,4)$ y $(3,5,6)$ son obtusángulos, y $(3,4,5)$ es rectángulo (lo que da una figura plana degenerada), pero $(4,5,6)$ es acutángulo ya que $4^2+5^2\gt6^2.$ Por Herón con $s=\tfrac{15}2,$ su área es $\sqrt{\tfrac{15}2\cdot\tfrac72\cdot\tfrac52\cdot\tfrac32}=\tfrac{15\sqrt7}{4}.$ El área total de superficie es $4\cdot\tfrac{15\sqrt7}{4}=15\sqrt7.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A disphenoid exists (as the tetrahedron formed by the face-plane midpoints of a box) exactly when the common face triangle is acute, and its total surface area is $4$ times one face's area. We want the smallest-area acute scalene integer triangle. The candidates $(2,3,4)$ and $(3,5,6)$ are obtuse, and $(3,4,5)$ is right (giving a degenerate flat figure), but $(4,5,6)$ is acute since $4^2+5^2\gt6^2.$ By Heron with $s=\tfrac{15}2,$ its area is $\sqrt{\tfrac{15}2\cdot\tfrac72\cdot\tfrac52\cdot\tfrac32}=\tfrac{15\sqrt7}{4}.$ The total surface area is $4\cdot\tfrac{15\sqrt7}{4}=15\sqrt7.$ Thus, the correct answer is D.

25.

Una gráfica es simétrica respecto a una recta si la gráfica permanece sin cambios tras reflejarse en esa recta. ¿Para cuántas cuádruplas de enteros $(a,b,c,d),$ donde $|a|,|b|,|c|,|d|\le5$ y $c$ y $d$ no son ambos $0,$ la gráfica de $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ es simétrica respecto a la recta $y=x$ ?

A graph is symmetric about a line if the graph remains unchanged after reflection in that line. For how many quadruples of integers $(a,b,c,d),$ where $|a|,|b|,|c|,|d|\le5$ and $c$ and $d$ are not both $0,$ is the graph of $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ symmetric about the line $y=x?$

$1282$

$1292$

$1310$

$1320$

$1330$

Conceptos:función análisis por casos

Nivel de dificultad: 2720

Solución:

Reflejar la gráfica de $y=f(x)$ sobre $y=x$ produce la gráfica de su inversa, así que la gráfica es simétrica respecto a $y=x$ exactamente cuando $f$ es igual a su propia inversa. Para $f(x)=\tfrac{ax+b}{cx+d}$ esto ocurre de dos maneras: cuando $a+d=0$ con $ad-bc\ne0$ (una involución genuina, incluyendo las rectas de pendiente $-1$ cuando $c=0$ ), o cuando $f$ es la identidad $y=x$ ( $b=c=0,\ a=d\ne0$ ).

Para $a+d=0,$ hacemos $d=-a;$ el determinante $-a^2-bc$ debe ser distinto de cero, así que necesitamos $a^2+bc\ne0,$ junto con $(c,d)\ne(0,0).$ Contar $(a,b,c)$ con cada uno en $[-5,5]$ da $1282$ cuádruplas. El caso de la identidad añade $10$ más ( $a=d\in\{\pm1,\ldots,\pm5\}$ ). El total es $1282+10=1292.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Reflecting the graph of $y=f(x)$ over $y=x$ produces the graph of its inverse, so the graph is symmetric about $y=x$ exactly when $f$ equals its own inverse. For $f(x)=\tfrac{ax+b}{cx+d}$ this happens in two ways: when $a+d=0$ with $ad-bc\ne0$ (a genuine involution, including the slope $-1$ lines when $c=0$ ), or when $f$ is the identity $y=x$ ( $b=c=0,\ a=d\ne0$ ).

For $a+d=0,$ set $d=-a;$ the determinant $-a^2-bc$ must be nonzero, so we need $a^2+bc\ne0,$ together with $(c,d)\ne(0,0).$ Counting $(a,b,c)$ with each in $[-5,5]$ gives $1282$ quadruples. The identity case adds $10$ more ( $a=d\in\{\pm1,\ldots,\pm5\}$ ). The total is $1282+10=1292.$

Thus, the correct answer is B.