Question

En el diagrama adjunto, $BO$ biseca $\angle CBA,$ $CO$ biseca $\angle ACB,$ y $MN$ es paralela a $BC.$ Si $AB=12,$ $BC=24,$ y $AC=18,$ entonces el perímetro de $\triangle AMN$ es

In the adjoining diagram, $BO$ bisects $\angle CBA,$ $CO$ bisects $\angle ACB,$ and $MN$ is parallel to $BC.$ If $AB=12,$ $BC=24,$ and $AC=18,$ then the perimeter of $\triangle AMN$ is

$30$

$33$

$36$

$39$

$42$

Respuesta: A

Conceptos:semejanza circunferencia inscrita, incentro e inradio Fórmula de Herón perímetro

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Como $O$ es el incentro, su distancia a $BC$ es el inradio

Because $O$ is the incenter, its distance from $BC$ is the inradius

Pista grande:

Compara la altura de $\triangle AMN$ con la altura de $\triangle ABC$

Compare the altitude of $\triangle AMN$ with the altitude of $\triangle ABC$

Solución:

Los lados $12,$ $18,$ $24$ tienen semiperímetro $27$ y área $\sqrt{27\cdot15\cdot9\cdot3}=27\sqrt{15},$ así que el inradio es $r=\sqrt{15}.$ Tomando $BC$ como base, la altura es $h=\frac{2(27\sqrt{15})}{24}=\frac{9\sqrt{15}}{4}.$ Por tanto, la razón de semejanza de $\triangle ABC$ a $\triangle AMN$ es $1-\frac{r}{h}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.$ Su perímetro es $(\frac{5}{9})(12+18+24)=30.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sides $12,$ $18,$ $24$ have semiperimeter $27$ and area $\sqrt{27\cdot15\cdot9\cdot3}=27\sqrt{15},$ so the inradius is $r=\sqrt{15}.$ Taking $BC$ as base, the altitude is $h=\frac{2(27\sqrt{15})}{24}=\frac{9\sqrt{15}}{4}.$ Thus the similarity scale from $\triangle ABC$ to $\triangle AMN$ is $1-\frac{r}{h}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.$ Its perimeter is $(\frac{5}{9})(12+18+24)=30.$

Therefore, the correct answer is A.

1982 AMC 12 Problema 10

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años