Question

La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo $30\text{-}60\text{-}90$ queda dividida en dos segmentos de longitudes $x \lt y$ por la mediana al lado más corto del triángulo. ¿Cuál es la razón $\dfrac{x}{x+y}$ ?

The altitude to the hypotenuse of a $30\text{-}60\text{-}90$ right triangle is divided into two segments of lengths $x \lt y$ by the median to the shortest side of the triangle. What is the ratio $\dfrac{x}{x+y}?$

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{5}{11}$

$\dfrac{4\sqrt{3}}{15}$

Solución:

Toma $C = (0,0)$ , $A = (\sqrt{3}, 0)$ , $B = (0, 1)$ , de modo que $AB$ es la hipotenusa y $BC$ es el lado más corto. La altura desde $C$ corta a $AB$ en $H = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{4}, \tfrac{3}{4}\right)$ . La mediana desde $A$ hasta el punto medio del lado más corto $M = \left(0, \tfrac{1}{2}\right)$ cruza la altura en $P = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{7}, \tfrac{3}{7}\right)$ . Esto divide la altura en $CP = \tfrac{2\sqrt{3}}{7} = \tfrac{4\sqrt{3}}{14}$ , $PH = \tfrac{3\sqrt{3}}{14}$ , así que $x = \tfrac{3\sqrt{3}}{14}$ , $\dfrac{x}{x+y} = \dfrac{3}{7}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Take $C = (0,0),$ $A = (\sqrt{3}, 0),$ $B = (0, 1),$ so $AB$ is the hypotenuse and $BC$ is the shortest side. The altitude from $C$ meets $AB$ at $H = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{4}, \tfrac{3}{4}\right).$ The median from $A$ to $M = \left(0, \tfrac{1}{2}\right)$ crosses the altitude at $P = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{7}, \tfrac{3}{7}\right).$ This splits the altitude into $CP = \tfrac{2\sqrt{3}}{7} = \tfrac{4\sqrt{3}}{14}$ and $PH = \tfrac{3\sqrt{3}}{14},$ so $x = \tfrac{3\sqrt{3}}{14}$ and $\dfrac{x}{x+y} = \dfrac{3}{7}.$

Thus, the correct answer is A.

2025 AMC 12B Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años