Question

¿De cuántas maneras se pueden dividir los números del $1$ al $14$ en $7$ parejas de modo que en cada pareja el número mayor sea al menos $2$ veces el menor?

What is the number of ways the numbers from $1$ to $14$ can be split into $7$ pairs such that for each pair, the greater number is at least $2$ times the smaller number?

$108$

$120$

$126$

$132$

$144$

Solución:

Cualquier número $8$ o mayor no puede ser un elemento menor (su doble supera $14$ ), así que $8$ – $14$ son todos elementos mayores y $1$ – $7$ son todos elementos menores.

Empareja cada menor $s$ con un mayor $g\ge2s.$ Procesando desde el más restrictivo: $s=7$ obliga a $g=14$ ( $1$ manera); luego $s=6$ tiene $\{12,13\}$ disponibles ( $2$ ); $s=5$ tiene $3;$ $s=4$ tiene $4;$ $s=3$ tiene $3;$ $s=2$ tiene $2;$ $s=1$ tiene $1.$

El número de emparejamientos es $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=144.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Any number $8$ or larger cannot be a smaller element (its double exceeds $14$ ), so $8$ – $14$ are all larger elements and $1$ – $7$ are all smaller elements.

Match each smaller $s$ to a larger $g\ge2s.$ Processing from the most restrictive: $s=7$ forces $g=14$ ( $1$ way); then $s=6$ has $\{12,13\}$ left ( $2$ ); $s=5$ has $3;$ $s=4$ has $4;$ $s=3$ has $3;$ $s=2$ has $2;$ $s=1$ has $1.$

The number of matchings is $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=144.$

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12A Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años