Question

Un cuadrilátero tiene vértices $P(a,b),$ $Q(b,a),$ $R(-a,-b),$ y $S(-b,-a),$ donde $a$ y $b$ son enteros con $a\gt b\gt0.$ El área de $PQRS$ es $16.$ ¿Cuánto vale $a+b$ ?

A quadrilateral has vertices $P(a,b),$ $Q(b,a),$ $R(-a,-b),$ and $S(-b,-a),$ where $a$ and $b$ are integers with $a\gt b\gt0.$ The area of $PQRS$ is $16.$ What is $a+b?$

$4$

$5$

$6$

$12$

$13$

Respuesta: A

Conceptos:geometría analítica rectángulo diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Revisa las pendientes: $\overline{PQ}$ y $\overline{RS}$ tienen pendiente $-1,$ mientras que $\overline{QR}$ y $\overline{PS}$ tienen pendiente $1,$ así que $PQRS$ es un rectángulo.

Check the slopes: $\overline{PQ}$ and $\overline{RS}$ have slope $-1,$ while $\overline{QR}$ and $\overline{PS}$ have slope $1,$ so $PQRS$ is a rectangle

Pista grande:

Sus lados son $(a-b)\sqrt2$ y $(a+b)\sqrt2,$ así que el área es $2(a^2-b^2)=16$ .

Its sides are $(a-b)\sqrt2$ and $(a+b)\sqrt2,$ so the area is $2(a^2-b^2)=16$

Solución:

Los lados $\overline{PQ}$ y $\overline{RS}$ tienen pendiente $-1,$ y $\overline{QR}$ y $\overline{PS}$ tienen pendiente $1,$ así que $PQRS$ es un rectángulo con lados $(a-b)\sqrt2$ y $(a+b)\sqrt2.$ Su área es $2(a-b)(a+b)=2(a^2-b^2)$ $=16,$ así que $a^2-b^2=8.$ Los únicos cuadrados perfectos que difieren en $8$ son $9$ y $1,$ lo que da $a=3,$ $b=1,$ y $a+b=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sides $\overline{PQ}$ and $\overline{RS}$ have slope $-1,$ and $\overline{QR}$ and $\overline{PS}$ have slope $1,$ so $PQRS$ is a rectangle with sides $(a-b)\sqrt2$ and $(a+b)\sqrt2.$ Its area is $2(a-b)(a+b)=2(a^2-b^2)$ $=16,$ so $a^2-b^2=8.$ The only perfect squares differing by $8$ are $9$ and $1,$ giving $a=3,$ $b=1,$ and $a+b=4.$

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 12B Problema 10

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años