Soluciones del 2016 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de

$\frac{2a^{-1}+\frac{a^{-1}}{2}}{a}$

cuando $a=\tfrac12$ ?

What is the value of

$\frac{2a^{-1}+\frac{a^{-1}}{2}}{a}$

when $a=\tfrac12?$

$1$

$2$

$\dfrac52$

$10$

$20$

Conceptos:exponente orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

$a^{-1}=\frac{1}{a},$ así que $a^{-1}=2$ cuando $a=\tfrac12$ .

$a^{-1}=\frac{1}{a},$ so $a^{-1}=2$ when $a=\tfrac12$

Pista grande:

El numerador es $2a^{-1}+\tfrac12 a^{-1}=\tfrac52 a^{-1};$ luego se divide entre $a$ .

The numerator is $2a^{-1}+\tfrac12 a^{-1}=\tfrac52 a^{-1};$ then divide by $a$

Solución:

Con $a=\tfrac12,$ tenemos $a^{-1}=2.$ El numerador es $2\cdot2+\dfrac{2}{2}=4+1=5,$ y al dividir entre $a=\tfrac12$ se obtiene $\dfrac{5}{\frac{1}{2}}=10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

With $a=\tfrac12,$ we have $a^{-1}=2.$ The numerator is $2\cdot2+\dfrac{2}{2}=4+1=5,$ and dividing by $a=\tfrac12$ gives $\dfrac{5}{\frac{1}{2}}=10.$

Thus, the correct answer is D.

2.

La media armónica de dos números puede calcularse como el doble de su producto dividido entre su suma. ¿A qué entero se aproxima más la media armónica de $1$ y $2016$ ?

The harmonic mean of two numbers can be computed as twice their product divided by their sum. The harmonic mean of $1$ and $2016$ is closest to which integer?

$2$

$45$

$504$

$1008$

$2015$

Conceptos:media armónica fracción estimación

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

El doble del producto dividido entre la suma: $\dfrac{2\cdot1\cdot2016}{1+2016}$ .

Twice the product over the sum: $\dfrac{2\cdot1\cdot2016}{1+2016}$

Pista grande:

$\dfrac{4032}{2017}$ está apenas por debajo de un número entero; redondéalo.

$\dfrac{4032}{2017}$ is just a hair under a whole number; round it

Solución:

La media armónica es $\dfrac{2\cdot1\cdot2016}{1+2016}=\dfrac{4032}{2017}.$ Como $\dfrac{2016}{2017}$ está muy cerca de $1,$ este valor está justo por debajo de $2,$ así que el entero más cercano es $2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The harmonic mean is $\dfrac{2\cdot1\cdot2016}{1+2016}=\dfrac{4032}{2017}.$ Since $\dfrac{2016}{2017}$ is very close to $1,$ this is just under $2,$ so the closest integer is $2.$

Thus, the correct answer is A.

3.

Sea $x=-2016.$ ¿Cuál es el valor de

$\Big|\;\big|\,|x|-x\,\big|-|x|\;\Big|-x?$

Let $x=-2016.$ What is the value of

$\Big|\;\big|\,|x|-x\,\big|-|x|\;\Big|-x?$

$-2016$

$0$

$2016$

$4032$

$6048$

Conceptos:valor absoluto orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

$|x|=2016,$ y la parte más interna es $|x|-x=2016-(-2016)$ .

$|x|=2016,$ and the innermost part is $|x|-x=2016-(-2016)$

Pista grande:

Simplifica de dentro hacia afuera: $|x|-x=4032,$ luego $\big|4032\big|-|x|,$ después el valor absoluto exterior y, por último, $-x$ .

Simplify outward: $|x|-x=4032,$ then $\big|4032\big|-|x|,$ then the outer absolute value, and finally $-x$

Solución:

Como $x=-2016,$ $|x|=2016.$ La expresión más interna es $|x|-x=2016+2016=4032.$ Luego $\big|4032\big|-|x|=4032-2016$ $=2016,$ y el valor absoluto exterior deja $2016.$ Por último, al restar $x$ se obtiene $2016-(-2016)=4032.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $x=-2016,$ $|x|=2016.$ The innermost expression is $|x|-x=2016+2016=4032.$ Then $\big|4032\big|-|x|=4032-2016$ $=2016,$ and the outer absolute value leaves $2016.$ Finally subtracting $x$ gives $2016-(-2016)=4032.$

Thus, the correct answer is D.

4.

La razón entre las medidas de dos ángulos agudos es $5:4,$ y el complemento de uno de estos dos ángulos es el doble del complemento del otro. ¿Cuál es la suma de las medidas, en grados, de los dos ángulos?

The ratio of the measures of two acute angles is $5:4,$ and the complement of one of these two angles is twice as large as the complement of the other. What is the sum of the degree measures of the two angles?

$75$

$90$

$135$

$150$

$270$

Conceptos:razón y proporción sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Sean los ángulos $\alpha\lt\beta$ con $\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac54$ .

Let the angles be $\alpha\lt\beta$ with $\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac54$

Pista grande:

Los complementos son $90-\alpha$ y $90-\beta;$ plantea $90-\alpha=2(90-\beta)$ .

The complements are $90-\alpha$ and $90-\beta;$ set $90-\alpha=2(90-\beta)$

Solución:

Sean los ángulos $\alpha\lt\beta$ con $\beta=\tfrac54\alpha.$ El complemento mayor corresponde al ángulo menor, así que $90-\alpha=2(90-\beta)=180-\tfrac52\alpha.$ Esto da $\tfrac32\alpha=90,$ por lo que $\alpha=60^\circ$ y $\beta=75^\circ.$ La suma es $135^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the angles be $\alpha\lt\beta$ with $\beta=\tfrac54\alpha.$ The larger complement belongs to the smaller angle, so $90-\alpha=2(90-\beta)=180-\tfrac52\alpha.$ This gives $\tfrac32\alpha=90,$ so $\alpha=60^\circ$ and $\beta=75^\circ.$ The sum is $135^\circ.$

Thus, the correct answer is C.

5.

La Guerra de $1812$ comenzó con una declaración de guerra el jueves $18$ de junio de $1812.$ El tratado de paz que puso fin a la guerra se firmó $919$ días después, el $24$ de diciembre de $1814.$ ¿En qué día de la semana se firmó el tratado?

The War of $1812$ started with a declaration of war on Thursday, June $18,$ $1812.$ The peace treaty to end the war was signed $919$ days later, on December $24,$ $1814.$ On what day of the week was the treaty signed?

viernes

Friday

sábado

Saturday

domingo

Sunday

lunes

Monday

martes

Tuesday

Conceptos:aritmética modular fecha y hora

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Los días de la semana se repiten cada $7$ días, así que reduce $919$ módulo $7$ .

Days of the week repeat every $7$ days, so reduce $919$ modulo $7$

Pista grande:

$919=7\cdot131+2,$ así que cuenta $2$ días hacia adelante desde el jueves.

$919=7\cdot131+2,$ so count $2$ days forward from Thursday

Solución:

Como $919=7\cdot131+2,$ el tratado se firmó $131$ semanas completas más $2$ días después del jueves.

Dos días después del jueves es sábado. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $919=7\cdot131+2,$ the treaty was signed $131$ full weeks plus $2$ days after Thursday. Two days beyond Thursday is Saturday.

Thus, the correct answer is B.

6.

Los tres vértices del $\triangle ABC$ están sobre la parábola definida por $y=x^2,$ con $A$ en el origen y $\overline{BC}$ paralelo al eje $x$ . El área del triángulo es $64.$ ¿Cuál es la longitud de $BC$ ?

All three vertices of $\triangle ABC$ lie on the parabola defined by $y=x^2,$ with $A$ at the origin and $\overline{BC}$ parallel to the $x$ -axis. The area of the triangle is $64.$ What is the length of $BC?$

$4$

$6$

$8$

$10$

$16$

Conceptos:parábola área del triángulo geometría analítica

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Sea un vértice superior $(x,x^2);$ por simetría, el otro es $(-x,x^2)$ .

Let a top vertex be $(x,x^2);$ by symmetry the other is $(-x,x^2)$

Pista grande:

La base es $BC=2x$ y la altura es $x^2,$ así que $\tfrac12(2x)(x^2)=64$ .

The base is $BC=2x$ and the height is $x^2,$ so $\tfrac12(2x)(x^2)=64$

Solución:

Sea el vértice del primer cuadrante $(x,x^2).$ Por simetría, la base es $BC=2x$ y la altura es $x^2,$ así que $\tfrac12\cdot2x\cdot x^2=x^3=64.$ Por lo tanto, $x=4$ y $BC=2x=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the vertex in the first quadrant be $(x,x^2).$ By symmetry the base is $BC=2x$ and the height is $x^2,$ so $\tfrac12\cdot2x\cdot x^2=x^3=64.$ Thus $x=4$ and $BC=2x=8.$

Thus, the correct answer is C.

7.

Josh escribe los números $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $99,$ $100.$ Tacha $1,$ salta el siguiente número $(2),$ tacha $3,$ y sigue saltando y tachando el siguiente número hasta el final de su lista. Luego vuelve al principio de su lista, tacha el primer número que queda $(2),$ salta el siguiente número $(4),$ tacha $6,$ salta $8,$ tacha $10,$ y así sucesivamente hasta el final. Josh continúa de esta manera hasta que solo queda un número. ¿Cuál es ese número?

Josh writes the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $99,$ $100.$ He marks out $1,$ skips the next number $(2),$ marks out $3,$ and continues skipping and marking out the next number to the end of his list. Then he goes back to the start of his list, marks out the first remaining number $(2),$ skips the next number $(4),$ marks out $6,$ skips $8,$ marks out $10,$ and so on to the end. Josh continues in this manner until only one number remains. What is that number?

$13$

$32$

$56$

$64$

$96$

Conceptos:potencia de 2 reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Después de la primera pasada solo quedan los múltiplos de $2$ ; después de la siguiente, solo los múltiplos de $4$ .

After the first pass only the multiples of $2$ remain; after the next, only the multiples of $4$

Pista grande:

Cada pasada conserva los múltiplos de la siguiente potencia de $2;$ halla la mayor potencia de $2$ que sea a lo sumo $100$ .

Each pass keeps the multiples of the next power of $2;$ find the highest power of $2$ that is at most $100$

Solución:

La primera pasada elimina los números impares y deja los múltiplos de $2.$ La segunda pasada elimina $2,6,10,\ldots,$ dejando los múltiplos de $4.$ En general, después de la $n$ -ésima pasada solo quedan los múltiplos de $2^n$ . El número que sobrevive es la mayor potencia de $2$ que no excede $100,$ que es $2^6=64.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first pass removes the odd numbers, leaving the multiples of $2.$ The second pass removes $2,6,10,\ldots,$ leaving the multiples of $4.$ In general, after the $n$ th pass only the multiples of $2^n$ remain. The surviving number is the highest power of $2$ not exceeding $100,$ which is $2^6=64.$

Thus, the correct answer is D.

8.

Una lámina delgada de madera de densidad uniforme con forma de triángulo equilátero de lado $3$ pulgadas pesa $12$ onzas. Una segunda lámina del mismo tipo de madera, con el mismo grosor y también con forma de triángulo equilátero, tiene lado $5$ pulgadas. ¿Cuál de las siguientes opciones se aproxima más al peso, en onzas, de la segunda lámina?

A thin piece of wood of uniform density in the shape of an equilateral triangle with side length $3$ inches weighs $12$ ounces. A second piece of the same type of wood, with the same thickness, also in the shape of an equilateral triangle, has side length $5$ inches. Which of the following is closest to the weight, in ounces, of the second piece?

$14.0$

$16.0$

$20.0$

$33.3$

$55.6$

Conceptos:escalamiento de potencias de longitud, área y volumen razón y proporción

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

El peso es proporcional al área, que escala con el cuadrado de la longitud del lado.

The weight is proportional to the area, which scales with the square of the side length

Pista grande:

Multiplica $12$ por $\left(\dfrac53\right)^2$ .

Multiply $12$ by $\left(\dfrac53\right)^2$

Solución:

El peso es proporcional al área, y el área escala con el cuadrado de la longitud del lado. El segundo lado es $\tfrac53$ veces el primero, así que su peso es $12\cdot\left(\dfrac53\right)^2=\dfrac{100}{3}\approx33.3$ onzas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Weight is proportional to area, and area scales with the square of the side length. The second side is $\tfrac53$ times the first, so its weight is $12\cdot\left(\dfrac53\right)^2=\dfrac{100}{3}\approx33.3$ ounces.

Thus, the correct answer is D.

9.

Carl decidió cercar su jardín rectangular. Compró $20$ postes de cerca, colocó uno en cada una de las cuatro esquinas y distribuyó el resto uniformemente a lo largo de los bordes del jardín, dejando exactamente $4$ yardas entre postes vecinos. El lado más largo de su jardín, incluidas las esquinas, tiene el doble de postes que el lado más corto, incluidas las esquinas. ¿Cuál es el área, en yardas cuadradas, del jardín de Carl?

Carl decided to fence in his rectangular garden. He bought $20$ fence posts, placed one on each of the four corners, and spaced out the rest evenly along the edges of the garden, leaving exactly $4$ yards between neighboring posts. The longer side of his garden, including the corners, has twice as many posts as the shorter side, including the corners. What is the area, in square yards, of Carl’s garden?

$256$

$336$

$384$

$448$

$512$

Conceptos:conteo de postes sistema de ecuaciones rectángulo perímetro

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Supón que el lado más corto tiene $x$ postes y el más largo $2x$ postes; los cuatro postes de las esquinas se comparten.

Let the shorter side have $x$ posts and the longer side $2x$ posts; the four corner posts are shared

Pista grande:

Total de postes $2x+2(2x)-4=20;$ un lado con $k$ postes abarca $(k-1)\cdot4$ yardas.

Total posts $2x+2(2x)-4=20;$ a side with $k$ posts spans $(k-1)\cdot4$ yards

Solución:

Supón que el lado más corto tiene $x$ postes, así que el más largo tiene $2x.$ Contando todos los postes y restando las cuatro esquinas contadas dos veces, $2x+2(2x)-4=20,$ lo que da $x=4.$ El lado más corto tiene $4$ postes, es decir $(4-1)\cdot4=12$ yardas, y el más largo tiene $8$ postes, es decir $(8-1)\cdot4=28$ yardas. El área es $12\cdot28=336.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the shorter side have $x$ posts, so the longer side has $2x.$ Counting all posts and subtracting the four corners counted twice, $2x+2(2x)-4=20,$ giving $x=4.$ The shorter side has $4$ posts, or $(4-1)\cdot4=12$ yards, and the longer side has $8$ posts, or $(8-1)\cdot4=28$ yards. The area is $12\cdot28=336.$

Thus, the correct answer is B.

10.

Un cuadrilátero tiene vértices $P(a,b),$ $Q(b,a),$ $R(-a,-b),$ y $S(-b,-a),$ donde $a$ y $b$ son enteros con $a\gt b\gt0.$ El área de $PQRS$ es $16.$ ¿Cuánto vale $a+b$ ?

A quadrilateral has vertices $P(a,b),$ $Q(b,a),$ $R(-a,-b),$ and $S(-b,-a),$ where $a$ and $b$ are integers with $a\gt b\gt0.$ The area of $PQRS$ is $16.$ What is $a+b?$

$4$

$5$

$6$

$12$

$13$

Conceptos:geometría analítica rectángulo diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Revisa las pendientes: $\overline{PQ}$ y $\overline{RS}$ tienen pendiente $-1,$ mientras que $\overline{QR}$ y $\overline{PS}$ tienen pendiente $1,$ así que $PQRS$ es un rectángulo.

Check the slopes: $\overline{PQ}$ and $\overline{RS}$ have slope $-1,$ while $\overline{QR}$ and $\overline{PS}$ have slope $1,$ so $PQRS$ is a rectangle

Pista grande:

Sus lados son $(a-b)\sqrt2$ y $(a+b)\sqrt2,$ así que el área es $2(a^2-b^2)=16$ .

Its sides are $(a-b)\sqrt2$ and $(a+b)\sqrt2,$ so the area is $2(a^2-b^2)=16$

Solución:

Los lados $\overline{PQ}$ y $\overline{RS}$ tienen pendiente $-1,$ y $\overline{QR}$ y $\overline{PS}$ tienen pendiente $1,$ así que $PQRS$ es un rectángulo con lados $(a-b)\sqrt2$ y $(a+b)\sqrt2.$ Su área es $2(a-b)(a+b)=2(a^2-b^2)$ $=16,$ así que $a^2-b^2=8.$ Los únicos cuadrados perfectos que difieren en $8$ son $9$ y $1,$ lo que da $a=3,$ $b=1,$ y $a+b=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sides $\overline{PQ}$ and $\overline{RS}$ have slope $-1,$ and $\overline{QR}$ and $\overline{PS}$ have slope $1,$ so $PQRS$ is a rectangle with sides $(a-b)\sqrt2$ and $(a+b)\sqrt2.$ Its area is $2(a-b)(a+b)=2(a^2-b^2)$ $=16,$ so $a^2-b^2=8.$ The only perfect squares differing by $8$ are $9$ and $1,$ giving $a=3,$ $b=1,$ and $a+b=4.$

Thus, the correct answer is A.

11.

¿Cuántos cuadrados cuyos lados son paralelos a los ejes y cuyos vértices tienen coordenadas enteras están contenidos por completo en la región limitada por la recta $y=\pi x,$ la recta $y=-0.1,$ y la recta $x=5.1$ ?

How many squares whose sides are parallel to the axes and whose vertices have coordinates that are integers lie entirely within the region bounded by the line $y=\pi x,$ the line $y=-0.1,$ and the line $x=5.1?$

$30$

$41$

$45$

$50$

$57$

Conceptos:conteo de figuras en diagramas punto reticular análisis por casos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

La región está debajo de $y=\pi x;$ observa que $3\lt\pi\lt4,$ $6\lt2\pi\lt7,$ y $9\lt3\pi\lt10$ .

The region sits below $y=\pi x;$ note $3\lt\pi\lt4,$ $6\lt2\pi\lt7,$ and $9\lt3\pi\lt10$

Pista grande:

En cada franja vertical $k\le x\le k+1,$ cuenta los cuadrados $1\times1,$ $2\times2,$ y $3\times3$ que caben debajo de la recta, y luego súmalos.

In each vertical strip $k\le x\le k+1,$ count the $1\times1,$ $2\times2,$ and $3\times3$ squares that fit below the line, then add them up

Solución:

Un cuadrado cuyo borde izquierdo es $x=k$ debe caber bajo el punto más bajo de $y=\pi x$ a lo largo de su anchura, que es $y=\pi k.$ Para lado $1,$ los posibles bordes izquierdos $k=1,2,3,4$ aportan $3+6+9+12=30$ cuadrados. Para lado $2,$ los bordes $k=1,2,3$ aportan $2+5+8=15,$ y para lado $3,$ los bordes $k=1,2$ aportan $1+4=5.$ Un cuadrado de lado al menos $4$ no cabe, así que el total es $30+15+5=50.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A square whose left edge is $x=k$ must fit below the lowest point of $y=\pi x$ over its width, namely $y=\pi k.$ For side length $1,$ the possible left edges $k=1,2,3,4$ contribute $3+6+9+12=30$ squares. For side length $2,$ the left edges $k=1,2,3$ contribute $2+5+8=15,$ and for side length $3,$ the left edges $k=1,2$ contribute $1+4=5.$ A square of side at least $4$ cannot fit, so the total is $30+15+5=50.$

Thus, the correct answer is D.

12.

Todos los números $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9$ se escriben en un arreglo de casillas $3\times3$ , uno en cada casilla, de modo que si dos números son consecutivos entonces ocupan casillas que comparten un lado. Los números de las cuatro esquinas suman $18.$ ¿Qué número está en el centro?

All the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9$ are written in a $3\times3$ array of squares, one number in each square, in such a way that if two numbers are consecutive then they occupy squares that share an edge. The numbers in the four corners add up to $18.$ What number is in the center?

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:paridad deducción lógica

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Colorea la cuadrícula como un tablero de ajedrez; los números consecutivos deben quedar en colores opuestos, así que se alternan.

Color the grid like a checkerboard; consecutive numbers must lie on opposite colors, so they alternate

Pista grande:

Las cinco casillas del mismo color (las cuatro esquinas más el centro) deben contener los cinco números impares, que suman $25$ .

The five same-colored cells (four corners plus center) must hold the five odd numbers, which sum to $25$

Solución:

Colorea la cuadrícula como un tablero de ajedrez de modo que las cuatro esquinas y el centro compartan un color. Como los números consecutivos ocupan casillas adyacentes (de color opuesto), los números alternan su paridad a lo largo de la cadena, así que las cinco casillas del mismo color contienen los cinco números impares $1,3,5,7,9,$ que suman $25.$ Las cuatro esquinas suman $18,$ así que el centro es $25-18=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Color the grid like a checkerboard so the four corners and the center share one color. Since consecutive numbers occupy adjacent (opposite colored) squares, the numbers alternate parity along the chain, so the five same-colored cells contain the five odd numbers $1,3,5,7,9,$ which sum to $25.$ The four corners add to $18,$ so the center is $25-18=7.$

Thus, the correct answer is C.

13.

Alice y Bob viven a $10$ millas de distancia. Un día, Alice mira hacia el norte desde su casa y ve un avión. Al mismo tiempo, Bob mira hacia el oeste desde su casa y ve el mismo avión. El ángulo de elevación del avión es $30^\circ$ desde la posición de Alice y $60^\circ$ desde la posición de Bob. ¿Cuál de las siguientes opciones se aproxima más a la altura del avión, en millas?

Alice and Bob live $10$ miles apart. One day Alice looks due north from her house and sees an airplane. At the same time Bob looks due west from his house and sees the same airplane. The angle of elevation of the airplane is $30^\circ$ from Alice’s position and $60^\circ$ from Bob’s position. Which of the following is closest to the airplane’s altitude, in miles?

$3.5$

$4$

$4.5$

$5$

$5.5$

Conceptos:triángulo rectángulo especial Teorema de Pitágoras Geometría 3D

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Supón que el avión está sobre el punto $D$ del suelo a una altura $h.$ Los triángulos $ACD$ y $BCD$ son triángulos rectángulos $30$ - $60$ - $90$ .

Let the plane be above point $D$ on the ground at height $h.$ Triangles $ACD$ and $BCD$ are $30$ - $60$ - $90$ right triangles

Pista grande:

$AD=\sqrt3\,h$ y $BD=\dfrac{h}{\sqrt3};$ entonces $AD^2+BD^2=10^2$ .

$AD=\sqrt3\,h$ and $BD=\dfrac{h}{\sqrt3};$ then $AD^2+BD^2=10^2$

Solución:

Supón que el avión está en $C,$ directamente sobre el punto $D$ del suelo, a una altura $h.$ Los triángulos $ACD$ y $BCD$ son triángulos rectángulos $30$ - $60$ - $90$ , así que $AD=\sqrt3\,h$ y $BD=\dfrac{h}{\sqrt3}.$ Como Alice mira al norte y Bob mira al oeste, $\angle ADB=90^\circ,$ así que $AD^2+BD^2=AB^2=100.$ Entonces $3h^2+\dfrac{h^2}{3}=\dfrac{10h^2}{3}=100,$ lo que da $h=\sqrt{30}\approx5.48,$ el más cercano a $5.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the airplane be at $C,$ directly above point $D$ on the ground at altitude $h.$ Triangles $ACD$ and $BCD$ are $30$ - $60$ - $90$ right triangles, so $AD=\sqrt3\,h$ and $BD=\dfrac{h}{\sqrt3}.$ Since Alice looks north and Bob looks west, $\angle ADB=90^\circ,$ so $AD^2+BD^2=AB^2=100.$ Then $3h^2+\dfrac{h^2}{3}=\dfrac{10h^2}{3}=100,$ giving $h=\sqrt{30}\approx5.48,$ closest to $5.5.$

Thus, the correct answer is E.

14.

La suma de una serie geométrica infinita es un número positivo $S,$ y el segundo término de la serie es $1.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $S$ ?

The sum of an infinite geometric series is a positive number $S,$ and the second term in the series is $1.$ What is the smallest possible value of $S?$

$\dfrac{1+\sqrt5}{2}$

$2$

$\sqrt5$

$3$

$4$

Conceptos:sucesión geométrica cuadrática optimización

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Con razón $r$ y segundo término $1,$ el primer término es $\frac{1}{r},$ así que $S=\dfrac{\frac{1}{r}}{1-r}=\dfrac{1}{r-r^2}$ .

With ratio $r$ and second term $1,$ the first term is $\frac{1}{r},$ so $S=\dfrac{\frac{1}{r}}{1-r}=\dfrac{1}{r-r^2}$

Pista grande:

$S$ es mínimo cuando $r-r^2$ es máximo; maximiza la parábola $r-r^2$ que abre hacia abajo.

$S$ is smallest when $r-r^2$ is largest; maximize the downward parabola $r-r^2$

Solución:

Sea $r$ la razón común. Como el segundo término es $1,$ el primero es $\dfrac1r,$ así que $S=\dfrac{\frac{1}{r}}{1-r}=\dfrac{1}{r-r^2}.$ La convergencia exige $|r|\lt1,$ y $S\gt0$ obliga entonces a $0\lt r\lt1.$ Por tanto, $S$ es mínimo cuando $r-r^2$ es máximo. La parábola $r-r^2$ alcanza su máximo en $r=\tfrac12,$ donde vale $\tfrac14,$ así que el menor valor de $S$ es $\dfrac{1}{\frac{1}{4}}=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $r$ be the common ratio. Since the second term is $1,$ the first term is $\dfrac1r,$ so $S=\dfrac{\frac{1}{r}}{1-r}=\dfrac{1}{r-r^2}.$ Convergence requires $|r|\lt1,$ and $S\gt0$ then forces $0\lt r\lt1.$ Therefore $S$ is smallest when $r-r^2$ is largest. The parabola $r-r^2$ peaks at $r=\tfrac12,$ where it equals $\tfrac14,$ so the smallest value of $S$ is $\dfrac{1}{\frac{1}{4}}=4.$

Thus, the correct answer is E.

15.

Todos los números $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7$ se asignan a las seis caras de un cubo, un número a cada cara. Para cada uno de los ocho vértices del cubo se calcula un producto de tres números, donde los tres números son los asignados a las tres caras que contienen ese vértice. ¿Cuál es el mayor valor posible de la suma de estos ocho productos?

All the numbers $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7$ are assigned to the six faces of a cube, one number to each face. For each of the eight vertices of the cube, a product of three numbers is computed, where the three numbers are the numbers assigned to the three faces that include that vertex. What is the greatest possible value of the sum of these eight products?

$312$

$343$

$625$

$729$

$1680$

Conceptos:factorización Desigualdad MA-MG

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Agrupa los tres pares de caras opuestas como $(a,b),(c,d),(e,f)$ .

Group the three pairs of opposite faces as $(a,b),(c,d),(e,f)$

Pista grande:

La suma de los ocho productos de los vértices se factoriza como $(a+b)(c+d)(e+f);$ con una suma total fija, un producto es máximo cuando los factores son iguales.

The sum of the eight vertex products factors as $(a+b)(c+d)(e+f);$ with a fixed total, a product is largest when the factors are equal

Solución:

Empareja las caras opuestas como $(a,b),(c,d),(e,f).$ Cada producto de vértice usa una cara de cada par, así que la suma de los ocho productos se factoriza como $(a+b)(c+d)(e+f).$ Los tres factores tienen suma total fija $2+3+4+5+6+7=27,$ y un producto con suma fija es máximo cuando los factores son iguales, con $9$ cada uno. Este equilibrio se logra con $(2,7),(3,6),(4,5),$ lo que da $9\cdot9\cdot9=729.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Pair the opposite faces as $(a,b),(c,d),(e,f).$ Each vertex product uses one face from each pair, so the sum of all eight products factors as $(a+b)(c+d)(e+f).$ The three factors have fixed total $2+3+4+5+6+7=27,$ and a product with fixed sum is largest when the factors are equal, at $9$ each. This balance is achievable with $(2,7),(3,6),(4,5),$ giving $9\cdot9\cdot9=729.$

Thus, the correct answer is D.

16.

¿De cuántas maneras se puede escribir $345$ como la suma de una sucesión creciente de dos o más enteros positivos consecutivos?

In how many ways can $345$ be written as the sum of an increasing sequence of two or more consecutive positive integers?

$1$

$3$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:sucesión aritmética conteo de factores análisis por casos

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Una serie de $k$ enteros consecutivos es igual a $k$ por su mediana, y $345=3\cdot5\cdot23$ .

A run of $k$ consecutive integers equals $k$ times its median, and $345=3\cdot5\cdot23$

Pista grande:

Para valores impares de $k,$ la mediana es un factor entero; para valores pares de $k,$ la mediana es un semientero. Cuenta ambos casos manteniendo todos los términos positivos.

For odd $k,$ the median is an integer factor; for even $k,$ the median is a half-integer. Count both while keeping all terms positive

Solución:

La suma de enteros consecutivos es igual a la cantidad de términos por la mediana. Para un número impar de términos, la mediana es un divisor entero de $345,$ lo que da series de $3$ (mediana $115$ ), $5$ (mediana $69$ ), $15$ (mediana $23$ ), y $23$ (mediana $15$ ) términos. Para un número par de términos, la mediana es un semientero; las posibilidades positivas tienen longitudes $2,6,10,$ con medianas respectivas $172.5,57.5,34.5.$ Series más largas basadas en divisores obligarían a que el primer término no fuera positivo. Esto da $4+3=7$ maneras.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A sum of consecutive integers equals the count times the median. For an odd number of terms, the median is an integer divisor of $345,$ giving runs of $3$ (median $115$ ), $5$ (median $69$ ), $15$ (median $23$ ), and $23$ (median $15$ ) terms. For an even number of terms the median is a half-integer. The positive possibilities have lengths $2,6,10,$ with respective medians $172.5,57.5,34.5.$ Longer divisor-based runs would force a nonpositive first term. This gives $4+3=7$ ways.

Thus, the correct answer is E.

17.

En el $\triangle ABC$ que se muestra en la figura, $AB=7,$ $BC=8,$ $CA=9,$ y $\overline{AH}$ es una altura. Los puntos $D$ y $E$ están sobre los lados $\overline{AC}$ y $\overline{AB},$ respectivamente, de modo que $\overline{BD}$ y $\overline{CE}$ son bisectrices, que cortan a $\overline{AH}$ en $Q$ y $P,$ respectivamente. ¿Cuánto vale $PQ$ ?

In $\triangle ABC$ shown in the figure, $AB=7,$ $BC=8,$ $CA=9,$ and $\overline{AH}$ is an altitude. Points $D$ and $E$ lie on sides $\overline{AC}$ and $\overline{AB},$ respectively, so that $\overline{BD}$ and $\overline{CE}$ are angle bisectors, intersecting $\overline{AH}$ at $Q$ and $P,$ respectively. What is $PQ?$

$1$

$\dfrac58\sqrt3$

$\dfrac45\sqrt2$

$\dfrac{8}{15}\sqrt5$

$\dfrac65$

Conceptos:teorema de la bisectriz altura Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Sea $BH=x.$ Entonces $AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2,$ lo que da $x=2$ y $AH=\sqrt{45}$ .

Let $BH=x.$ Then $AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2,$ which gives $x=2$ and $AH=\sqrt{45}$

Pista grande:

Por el teorema de la bisectriz, $\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96$ y $\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72;$ entonces $PQ=AQ-AP$ .

By the angle bisector theorem, $\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96$ and $\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72;$ then $PQ=AQ-AP$

Solución:

Sea $x=BH.$ Entonces $CH=8-x,$ y a partir de los dos triángulos rectángulos $AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2.$ Esto da $x=2$ y $AH=\sqrt{45}.$ Por el teorema de la bisectriz en $\triangle ACH,$ $\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96,$ así que $AP=\dfrac35 AH.$ De manera similar, en $\triangle ABH,$ $\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72,$ así que $AQ=\dfrac79 AH.$ Entonces $\begin{aligned} PQ &= AQ-AP \\ &= \left(\dfrac79-\dfrac35\right)AH \\ &= \dfrac{8}{45}\sqrt{45} \\ &= \dfrac{8}{15}\sqrt5. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $x=BH.$ Then $CH=8-x,$ and from the two right triangles $AH^2=7^2-x^2=9^2-(8-x)^2.$ This gives $x=2$ and $AH=\sqrt{45}.$ By the angle bisector theorem in $\triangle ACH,$ $\dfrac{AP}{PH}=\dfrac{CA}{CH}=\dfrac96,$ so $AP=\dfrac35 AH.$ Similarly in $\triangle ABH,$ $\dfrac{AQ}{QH}=\dfrac{BA}{BH}=\dfrac72,$ so $AQ=\dfrac79 AH.$ Then $\begin{aligned} PQ &= AQ-AP \\ &= \left(\dfrac79-\dfrac35\right)AH \\ &= \dfrac{8}{45}\sqrt{45} \\ &= \dfrac{8}{15}\sqrt5. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

18.

¿Cuál es el área de la región encerrada por la gráfica de la ecuación $x^2+y^2=|x|+|y|$ ?

What is the area of the region enclosed by the graph of the equation $x^2+y^2=|x|+|y|?$

$\pi+\sqrt2$

$\pi+2$

$\pi+2\sqrt2$

$2\pi+\sqrt2$

$2\pi+2\sqrt2$

Conceptos:completar el cuadrado simetría área del círculo

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

La gráfica es simétrica respecto a ambos ejes; en el primer cuadrante la ecuación es $x^2+y^2=x+y$ .

The graph is symmetric about both axes; in the first quadrant the equation is $x^2+y^2=x+y$

Pista grande:

Completa el cuadrado para obtener $\left(x-\tfrac12\right)^2+\left(y-\tfrac12\right)^2 =\tfrac12;$ en ese cuadrante la región es un triángulo rectángulo más un semicírculo.

Complete the square to $\left(x-\tfrac12\right)^2+\left(y-\tfrac12\right)^2 =\tfrac12;$ in that quadrant the region is a right triangle plus a semicircle

Solución:

Por simetría, considera el primer cuadrante, donde la ecuación es $x^2+y^2=x+y,$ o $\left(x-\tfrac12\right)^2+\left(y-\tfrac12\right)^2=\tfrac12.$ Esta es una circunferencia centrada en $\left(\tfrac12,\tfrac12\right)$ que pasa por $(1,0)$ y $(0,1);$ como el centro es el punto medio de esa cuerda, la región encerrada en el primer cuadrante es el triángulo rectángulo con catetos hacia $(1,0)$ y $(0,1)$ (área $\tfrac12$ ) más un semicírculo de radio $\dfrac{\sqrt2}{2}$ (área $\dfrac\pi4$ ). Multiplicando por $4$ para todos los cuadrantes se obtiene $4\left(\tfrac12+\tfrac\pi4\right)=\pi+2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By symmetry, consider the first quadrant, where the equation is $x^2+y^2=x+y,$ or $\left(x-\tfrac12\right)^2+\left(y-\tfrac12\right)^2=\tfrac12.$ This is a circle centered at $\left(\tfrac12,\tfrac12\right)$ passing through $(1,0)$ and $(0,1);$ since the center is the midpoint of that chord, the enclosed first-quadrant region is the right triangle with legs to $(1,0)$ and $(0,1)$ (area $\tfrac12$ ) plus a semicircle of radius $\dfrac{\sqrt2}{2}$ (area $\dfrac\pi4$ ). Multiplying by $4$ for all quadrants gives $4\left(\tfrac12+\tfrac\pi4\right)=\pi+2.$

Thus, the correct answer is B.

19.

Tom, Dick y Harry están jugando un juego. Comenzando al mismo tiempo, cada uno lanza repetidamente una moneda equilibrada hasta que sale su primera cara, momento en el que se detiene. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres lancen sus monedas el mismo número de veces?

Tom, Dick, and Harry are playing a game. Starting at the same time, each of them flips a fair coin repeatedly until he gets his first head, at which point he stops. What is the probability that all three flip their coins the same number of times?

$\dfrac18$

$\dfrac17$

$\dfrac16$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

Conceptos:distribución geométrica eventos independientes

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Un jugador obtiene su primera cara en el lanzamiento $n$ con probabilidad $\left(\tfrac12\right)^n$ .

A single player gets his first head on flip $n$ with probability $\left(\tfrac12\right)^n$

Pista grande:

Los tres se detienen en el lanzamiento $n$ con probabilidad $\left(\tfrac18\right)^n;$ suma esta serie geométrica para $n\ge1$ .

All three stop on flip $n$ with probability $\left(\tfrac18\right)^n;$ sum this geometric series over $n\ge1$

Solución:

La primera cara de un jugador sale en el lanzamiento $n$ con probabilidad $\left(\tfrac12\right)^n.$ Que los tres se detengan en el mismo lanzamiento $n$ tiene probabilidad $\left(\left(\tfrac12\right)^n\right)^3=\left(\tfrac18\right)^n.$ Sumando para $n\ge1,$ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\tfrac18\right)^n =\frac{\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{8}}=\frac17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

A player’s first head comes on flip $n$ with probability $\left(\tfrac12\right)^n.$ All three stopping on the same flip $n$ has probability $\left(\left(\tfrac12\right)^n\right)^3=\left(\tfrac18\right)^n.$ Summing over $n\ge1,$ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\tfrac18\right)^n =\frac{\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{8}}=\frac17.$

Thus, the correct answer is B.

20.

Un conjunto de equipos disputó un torneo de todos contra todos en el que cada equipo jugó exactamente una vez contra cada uno de los demás. Cada equipo ganó $10$ partidos y perdió $10$ partidos; no hubo empates. ¿Cuántos conjuntos de tres equipos $\{A,B,C\}$ había en los que $A$ venció a $B,$ $B$ venció a $C,$ y $C$ venció a $A$ ?

A set of teams held a round-robin tournament in which every team played every other team exactly once. Every team won $10$ games and lost $10$ games; there were no ties. How many sets of three teams $\{A,B,C\}$ were there in which $A$ beat $B,$ $B$ beat $C,$ and $C$ beat $A?$

$385$

$665$

$945$

$1140$

$1330$

Conceptos:teoría de grafos conteo complementario combinaciones

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Cada equipo juega contra $20$ rivales, así que hay $21$ equipos y $\binom{21}{3}=1330$ tríos en total.

Each team plays $20$ others, so there are $21$ teams and $\binom{21}{3}=1330$ triples in all

Pista grande:

Un trío no cíclico tiene exactamente un equipo que vence a los otros dos; cuéntalos y réstalos del total.

A non-cyclic triple has exactly one team that beats the other two; count those and subtract from the total

Solución:

Como cada equipo ganó $10$ y perdió $10,$ hay $21$ equipos y $\binom{21}{3}=1330$ tríos. Un trío no es cíclico exactamente cuando un equipo vence a los otros dos. Elegir ese equipo ( $21$ maneras) y $2$ de los $10$ equipos que venció da $21\cdot\binom{10}{2}=21\cdot45=945$ tríos no cíclicos. Por lo tanto, los tríos cíclicos son $1330-945=385.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since each team won $10$ and lost $10,$ there are $21$ teams and $\binom{21}{3}=1330$ triples. A triple is not cyclic exactly when one team beats both others. Choosing that team ( $21$ ways) and $2$ of the $10$ teams it beat gives $21\cdot\binom{10}{2}=21\cdot45=945$ non-cyclic triples. Thus the cyclic triples number $1330-945=385.$

Thus, the correct answer is A.

21.

Sea $ABCD$ un cuadrado unitario. Sea $Q_1$ el punto medio de $\overline{CD}.$ Para $i=1,$ $2,$ $\ldots,$ sea $P_i$ la intersección de $\overline{AQ_i}$ y $\overline{BD},$ y sea $Q_{i+1}$ el pie de la perpendicular desde $P_i$ hasta $\overline{CD}.$ ¿Cuánto vale

$\sum_{i=1}^{\infty}\text{Área de }\triangle DQ_iP_i?$

Let $ABCD$ be a unit square. Let $Q_1$ be the midpoint of $\overline{CD}.$ For $i=1,$ $2,$ $\ldots,$ let $P_i$ be the intersection of $\overline{AQ_i}$ and $\overline{BD},$ and let $Q_{i+1}$ be the foot of the perpendicular from $P_i$ to $\overline{CD}.$ What is

$\sum_{i=1}^{\infty}\text{Area of }\triangle DQ_iP_i?$

$\dfrac16$

$\dfrac14$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$1$

Conceptos:semejanza telescópica recursión

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Los triángulos semejantes dan la recursión $DQ_{i+1}=\dfrac{DQ_i}{1+DQ_i},$ y $DQ_1=\tfrac12$ lleva a $DQ_i=\dfrac{1}{i+1}$ .

Similar triangles give the recursion $DQ_{i+1}=\dfrac{DQ_i}{1+DQ_i},$ and $DQ_1=\tfrac12$ leads to $DQ_i=\dfrac{1}{i+1}$

Pista grande:

El área de $\triangle DQ_iP_i$ es $\tfrac12\cdot\dfrac{1}{i+1}$ $\cdot\dfrac{1}{i+2}$ $=\tfrac12\left(\dfrac{1}{i+1}-\dfrac{1}{i+2}\right);$ la suma es telescópica.

The area of $\triangle DQ_iP_i$ is $\tfrac12\cdot\dfrac{1}{i+1}$ $\cdot\dfrac{1}{i+2}$ $=\tfrac12\left(\dfrac{1}{i+1}-\dfrac{1}{i+2}\right);$ the sum telescopes

Solución:

Coloca $D=(0,0),$ $C=(1,0),$ $B=(1,1),$ $A=(0,1),$ y sea $q_i=DQ_i.$ Al intersecar la recta $AQ_i$ con $\overline{BD}$ (la recta $y=x$ ) se obtiene $P_i$ con ambas coordenadas $\dfrac{q_i}{1+q_i},$ así que $q_{i+1}=\dfrac{q_i}{1+q_i}.$ A partir de $q_1=\tfrac12$ esto da $q_i=\dfrac{1}{i+1}.$ La base de $\triangle DQ_iP_i$ es $DQ_i=\dfrac{1}{i+1}$ y su altura es la coordenada $y$ de $P_i,$ que es $q_{i+1}=\dfrac{1}{i+2}.$ Entonces $\begin{gathered} \text{Área de }\triangle DQ_iP_i=\tfrac12\cdot\dfrac{1}{i+1} \\ \quad{}\cdot\dfrac{1}{i+2} \\ {}=\tfrac12\left(\dfrac{1}{i+1}-\dfrac{1}{i+2}\right). \end{gathered}$ La suma telescópica da $\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place $D=(0,0),$ $C=(1,0),$ $B=(1,1),$ $A=(0,1),$ and let $q_i=DQ_i.$ Intersecting line $AQ_i$ with $\overline{BD}$ (the line $y=x$ ) gives $P_i$ with both coordinates $\dfrac{q_i}{1+q_i},$ so $q_{i+1}=\dfrac{q_i}{1+q_i}.$ From $q_1=\tfrac12$ this yields $q_i=\dfrac{1}{i+1}.$ The base of $\triangle DQ_iP_i$ is $DQ_i=\dfrac{1}{i+1}$ and its height is the $y$ -coordinate of $P_i,$ which is $q_{i+1}=\dfrac{1}{i+2}.$ Then $\begin{gathered} \text{Area of }\triangle DQ_iP_i=\tfrac12\cdot\dfrac{1}{i+1} \\ \quad{}\cdot\dfrac{1}{i+2} \\ {}=\tfrac12\left(\dfrac{1}{i+1}-\dfrac{1}{i+2}\right). \end{gathered}$ Summing telescopes to $\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14.$

Thus, the correct answer is B.

22.

Para cierto entero positivo $n$ menor que $1000,$ el equivalente decimal de $\dfrac1n$ es $0.\overline{abcdef},$ un decimal periódico de período $6,$ y el equivalente decimal de $\dfrac{1}{n+6}$ es $0.\overline{wxyz},$ un decimal periódico de período $4.$ ¿En qué intervalo se encuentra $n$ ?

For a certain positive integer $n$ less than $1000,$ the decimal equivalent of $\dfrac1n$ is $0.\overline{abcdef},$ a repeating decimal of period $6,$ and the decimal equivalent of $\dfrac{1}{n+6}$ is $0.\overline{wxyz},$ a repeating decimal of period $4.$ In which interval does $n$ lie?

$[1,200]$

$[201,400]$

$[401,600]$

$[601,800]$

$[801,999]$

Conceptos:decimal periódico orden multiplicativo divisibilidad

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Período $6$ significa que $10^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37$ es divisible por $n;$ período $4$ significa que $10^4-1=3^2\cdot11\cdot101$ es divisible por $n+6$ .

Period $6$ means $10^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37$ is divisible by $n;$ period $4$ means $10^4-1=3^2\cdot11\cdot101$ is divisible by $n+6$

Pista grande:

$n+6$ debe dividir a $10^4-1$ pero no a $10^2-1,$ lo que obliga a $n+6=101k;$ prueba cada $n=101k-6\lt1000$ para ver si $10^6-1$ es divisible por $n$ .

$n+6$ must divide $10^4-1$ but not $10^2-1,$ forcing $n+6=101k;$ test each $n=101k-6\lt1000$ to see whether $10^6-1$ is divisible by $n$

Solución:

El período $6$ exige que $10^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37$ sea divisible por $n.$ El período $4$ exige que $10^4-1=3^2\cdot11\cdot101$ sea divisible por $n+6,$ mientras que $10^2-1=3^2\cdot11$ no es divisible por $n+6$ (pues de otro modo el período sería $1$ o $2$ ). Por tanto, $n+6$ es múltiplo de $101.$ Como $n+6$ también divide a $3^2\cdot11\cdot101$ y es menor que $1006,$ las únicas posibilidades son $n+6=101,303,909,$ que dan $n=95,297,903.$ Solo $297=3^3\cdot11$ divide a $10^6-1,$ así que $n=297.$

Finalmente, $10^6\equiv1\pmod{297},$ mientras que $10^2\not\equiv1$ y $10^3\not\equiv1\pmod{297},$ de modo que su período es exactamente $6.$ Además, $303$ divide a $10^4-1$ pero no a $10^2-1,$ por lo que el período de $\frac{1}{303}$ es exactamente $4.$ Así, $n=297$ pertenece a $[201,400].$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Period $6$ requires $10^6-1=3^3\cdot7\cdot11\cdot13\cdot37$ to be divisible by $n.$ Period $4$ requires $10^4-1=3^2\cdot11\cdot101$ to be divisible by $n+6,$ while $10^2-1=3^2\cdot11$ is not divisible by $n+6$ (else the period would be $1$ or $2$ ). Hence $n+6$ is a multiple of $101.$ Since $n+6$ also divides $3^2\cdot11\cdot101$ and is less than $1006,$ the only possibilities are $n+6=101,303,909,$ giving $n=95,297,903.$ Only $297=3^3\cdot11$ divides $10^6-1,$ so $n=297.$

Finally, $10^6\equiv1\pmod{297},$ while $10^2\not\equiv1$ and $10^3\not\equiv1\pmod{297},$ so its period is exactly $6.$ Also $303$ divides $10^4-1$ but not $10^2-1,$ so the period of $\frac{1}{303}$ is exactly $4.$ Thus $n=297$ lies in $[201,400].$

Thus, the correct answer is B.

23.

¿Cuál es el volumen de la región del espacio tridimensional definida por las desigualdades $|x|+|y|+|z|\le1$ y $|x|+|y|+|z-1|\le1$ ?

What is the volume of the region in three-dimensional space defined by the inequalities $|x|+|y|+|z|\le1$ and $|x|+|y|+|z-1|\le1?$

$\dfrac16$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$1$

Conceptos:Geometría 3D volumen escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

El conjunto $|x|+|y|+|z|\le1$ es un octaedro regular con diagonales de longitud $2$ y volumen $\tfrac43$ .

The set $|x|+|y|+|z|\le1$ is a regular octahedron with diagonals of length $2$ and volume $\tfrac43$

Pista grande:

La segunda desigualdad es ese octaedro trasladado hacia arriba en $1;$ su intersección es un octaedro semejante con la mitad del tamaño lineal.

The second inequality is that octahedron translated up by $1;$ their overlap is a similar octahedron with half the linear size

Solución:

La región $|x|+|y|+|z|\le1$ es un octaedro regular con vértices en $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1),$ cuyo volumen es $2\cdot\tfrac13\cdot(\sqrt2)^2\cdot1=\tfrac43.$ La segunda región es el mismo octaedro desplazado hacia arriba en $1.$ Su intersección está limitada por otro octaedro regular con diagonales de longitud $1,$ la mitad de las dimensiones lineales del primero, así que su volumen es $\left(\tfrac12\right)^3\cdot\tfrac43=\tfrac16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The region $|x|+|y|+|z|\le1$ is a regular octahedron with vertices at $(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1),$ whose volume is $2\cdot\tfrac13\cdot(\sqrt2)^2\cdot1=\tfrac43.$ The second region is the same octahedron shifted up by $1.$ Their intersection is bounded by another regular octahedron with diagonals of length $1,$ half the linear dimensions of the first, so its volume is $\left(\tfrac12\right)^3\cdot\tfrac43=\tfrac16.$

Thus, the correct answer is A.

24.

Hay exactamente $77{,}000$ cuádruplas ordenadas $(a,b,c,d)$ tales que $\gcd(a,b,c,d)=77$ y $\text{lcm}(a,b,c,d)=n.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $n$ ?

There are exactly $77{,}000$ ordered quadruples $(a,b,c,d)$ such that $\gcd(a,b,c,d)=77$ and $\text{lcm}(a,b,c,d)=n.$ What is the smallest possible value of $n?$

$13{,}860$

$20{,}790$

$21{,}560$

$27{,}720$

$41{,}580$

Conceptos:máximo común divisor mínimo común múltiplo factorización en primos

Nivel de dificultad: 2550

Pista pequeña:

Divide todo entre $77.$ Con $m=\frac{n}{77},$ necesitas cuádruplas reducidas de mcd $1$ y mcm $m,$ analizadas primo por primo.

Divide everything by $77.$ With $m=\frac{n}{77},$ you need reduced quadruples of gcd $1$ and lcm $m,$ analyzed one prime at a time

Pista grande:

Para un primo con exponente máximo $M,$ la cantidad de cuádruplas de exponentes es $2(6M^2+1).$ Usa la factorización de $77000$ para determinar cuántos primos dividen a $m$ y qué valores puede tomar $M$

For a prime with maximum exponent $M,$ the count of exponent quadruples is $2(6M^2+1).$ Use the factorization of $77000$ to determine how many primes divide $m$ and which values of $M$ can occur

Solución:

Al escribir cada entrada como $77$ por un valor reducido, necesitamos $\gcd=1$ y $\text{lcm}=m=\frac{n}{77}.$ Para cada primo $p$ que divide a $m$ con exponente máximo $M,$ la cantidad de cuádruplas de exponentes válidas es $(M+1)^4-2M^4$ $+(M-1)^4$ $=2(6M^2+1).$ El producto sobre todos los primos debe ser $77{,}000=2^3\cdot5^3\cdot7\cdot11.$ Como $2(6M^2+1)$ vale $14,$ $50,$ y $110$ para $M=1,2,3,$ y $14\cdot50\cdot110=77{,}000,$ los exponentes $1,2,3$ dan una factorización candidata.

Cada primo aporta exactamente un factor $2,$ así que exactamente tres primos dividen a $m.$ Sus factores impares $6M^2+1$ deben dividir a $\frac{77{,}000}{2^3}=9625.$ Al revisar los divisores se obtiene $M=1,2,3,8,$ con factores impares $7,25,55,385.$ La opción $M=8$ deja solo $25$ como producto de los otros dos factores impares, pero cada uno es al menos $7,$ lo cual es imposible. Por tanto, los exponentes máximos son exactamente $1,2,3.$ Para minimizar $m=\frac{n}{77},$ asignamos el exponente mayor al primo menor: $m=2^3\cdot3^2\cdot5=360,$ así que $n=77\cdot360=27{,}720.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Writing each entry as $77$ times a reduced value, we need $\gcd=1$ and $\text{lcm}=m=\frac{n}{77}.$ For each prime $p$ dividing $m$ with maximum exponent $M,$ the number of valid exponent quadruples is $(M+1)^4-2M^4$ $+(M-1)^4$ $=2(6M^2+1).$ The total over all primes must equal $77{,}000=2^3\cdot5^3\cdot7\cdot11.$ Since $2(6M^2+1)$ equals $14,$ $50,$ and $110$ for $M=1,2,3,$ and $14\cdot50\cdot110=77{,}000,$ the exponents $1,2,3$ give one candidate factorization.

Every prime contributes exactly one factor of $2,$ so exactly three primes divide $m.$ Their odd factors $6M^2+1$ must divide $\frac{77{,}000}{2^3}=9625.$ Checking the divisors gives $M=1,2,3,8,$ with odd factors $7,25,55,385.$ The choice $M=8$ leaves only $25$ for the product of the other two odd factors, but each is at least $7,$ so this is impossible. Therefore the maximum exponents are exactly $1,2,3.$ To minimize $m=\frac{n}{77},$ assign the largest exponent to the smallest prime: $m=2^3\cdot3^2\cdot5=360,$ so $n=77\cdot360=27{,}720.$

Thus, the correct answer is D.

25.

La sucesión $(a_n)$ se define recursivamente por $a_0=1,$ $a_1=\sqrt[19]{2},$ y $a_n=a_{n-1}a_{n-2}^2$ para $n\ge2.$ ¿Cuál es el menor entero positivo $k$ tal que el producto $a_1a_2\cdots a_k$ es un entero?

The sequence $(a_n)$ is defined recursively by $a_0=1,$ $a_1=\sqrt[19]{2},$ and $a_n=a_{n-1}a_{n-2}^2$ for $n\ge2.$ What is the smallest positive integer $k$ such that the product $a_1a_2\cdots a_k$ is an integer?

$17$

$18$

$19$

$20$

$21$

Conceptos:recursión aritmética modular orden multiplicativo

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Escribe $a_n=2^{\frac{b_n}{19}}.$ Entonces $b_0=0,$ $b_1=1,$ y $b_n=b_{n-1}+2b_{n-2}$ .

Write $a_n=2^{\frac{b_n}{19}}.$ Then $b_0=0,$ $b_1=1,$ and $b_n=b_{n-1}+2b_{n-2}$

Pista grande:

El producto es un entero exactamente cuando $b_1+b_2+\cdots+b_k$ es divisible por $19;$ resuelve $b_n=\tfrac13(2^n-(-1)^n)$ y usa el orden de $2$ módulo $19$ .

The product is an integer exactly when $b_1+b_2+\cdots+b_k$ is divisible by $19;$ solve $b_n=\tfrac13(2^n-(-1)^n)$ and use the order of $2$ modulo $19$

Solución:

Escribamos $a_n=2^{\frac{b_n}{19}}.$ La recurrencia se convierte en $b_0=0,$ $b_1=1,$ $b_n=b_{n-1}+2b_{n-2},$ cuya solución es $b_n=\tfrac13\bigl(2^n-(-1)^n\bigr).$ El producto $a_1\cdots a_k$ es entero exactamente cuando $b_1+\cdots+b_k$ es divisible por $19.$ Al sumar la fórmula para $b_n$ , obtenemos $b_1+\cdots+b_k=\dfrac{2^{k+1}-1}{3}$ cuando $k$ es impar, y $b_1+\cdots+b_k=\dfrac{2^{k+1}-2}{3}$ cuando $k$ es par.

El orden de $2$ módulo $19$ es $18$ porque $2^9\equiv-1\pmod{19}$ y $2^6\not\equiv1\pmod{19}.$ Para $k$ impar, la divisibilidad exige que $k+1$ sea divisible por $18,$ lo que ocurre por primera vez en $k=17.$ Para $k$ par, exige que $k$ sea divisible por $18,$ lo que ocurre por primera vez en $k=18.$ Por tanto, el menor $k$ positivo es $17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write $a_n=2^{\frac{b_n}{19}}.$ The recursion becomes $b_0=0,$ $b_1=1,$ $b_n=b_{n-1}+2b_{n-2},$ solved by $b_n=\tfrac13\bigl(2^n-(-1)^n\bigr).$ The product $a_1\cdots a_k$ is an integer exactly when $b_1+\cdots+b_k$ is divisible by $19.$ Summing the formula for $b_n$ gives $b_1+\cdots+b_k=\dfrac{2^{k+1}-1}{3}$ when $k$ is odd, and $b_1+\cdots+b_k=\dfrac{2^{k+1}-2}{3}$ when $k$ is even.

The order of $2$ modulo $19$ is $18$ because $2^9\equiv-1\pmod{19}$ and $2^6\not\equiv1\pmod{19}.$ For odd $k,$ divisibility therefore requires $k+1$ to be divisible by $18,$ first occurring at $k=17.$ For even $k,$ it requires $k$ to be divisible by $18,$ first occurring at $k=18.$ Hence the smallest positive $k$ is $17.$

Thus, the correct answer is A.