Question

El rectángulo $ABCD$ tiene $AB=6$ y $BC=3.$ El punto $M$ se elige sobre el lado $AB$ de modo que $\angle AMD=\angle CMD.$ ¿Cuánto mide en grados el ángulo $\angle AMD$ ?

Rectangle $ABCD$ has $AB=6$ and $BC=3.$ Point $M$ is chosen on side $AB$ so that $\angle AMD=\angle CMD.$ What is the degree measure of $\angle AMD?$

$15$

$30$

$45$

$60$

$75$

Solución:

Como $AB\parallel CD,$ tenemos $\angle CDM=\angle AMD.$ Combinado con $\angle AMD=\angle CMD,$ esto da $\angle CDM=\angle CMD,$ así que $\triangle CMD$ es isósceles con $CM=CD=6.$

Entonces $\triangle MBC$ tiene un ángulo recto en $B$ con hipotenusa $CM=6$ y cateto $BC=3,$ así que es un triángulo $30$ - $60$ - $90^\circ$ con $\angle BMC=30^\circ.$

Finalmente, $\angle AMD+\angle CMD$ $+\angle BMC=180^\circ,$ así que $2\angle AMD+30^\circ=180^\circ,$ lo que da $\angle AMD=75^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Because $AB\parallel CD,$ we have $\angle CDM=\angle AMD.$ Combined with $\angle AMD=\angle CMD,$ this gives $\angle CDM=\angle CMD,$ so $\triangle CMD$ is isosceles with $CM=CD=6.$

Then $\triangle MBC$ is right-angled at $B$ with hypotenuse $CM=6$ and leg $BC=3,$ so it is a $30$ - $60$ - $90^\circ$ triangle with $\angle BMC=30^\circ.$

Finally, $\angle AMD+\angle CMD$ $+\angle BMC=180^\circ,$ so $2\angle AMD+30^\circ=180^\circ,$ giving $\angle AMD=75^\circ.$

Thus, the correct answer is E.

2011 AMC 12B Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años