Question

Una lista de $2018$ enteros positivos tiene una moda única, que aparece exactamente $10$ veces. ¿Cuál es el menor número de valores distintos que pueden aparecer en la lista?

A list of $2018$ positive integers has a unique mode, which occurs exactly $10$ times. What is the least number of distinct values that can occur in the list?

$202$

$223$

$224$

$225$

$234$

Solución:

La moda usa $10$ de las entradas, dejando $2008.$ Como la moda es única, cualquier otro valor aparece a lo sumo $9$ veces, por lo que se necesitan al menos $\left\lceil\tfrac{2008}{9}\right\rceil=224$ valores distintos que no sean la moda.

Al añadir la moda se obtiene $224+1=225.$ Esto es alcanzable: usa $9$ copias de cada uno de $1$ hasta $223,$ diez copias de $224,$ y una copia de $225.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The mode uses $10$ of the entries, leaving $2008.$ Because the mode is unique, every other value appears at most $9$ times, so at least $\left\lceil\tfrac{2008}{9}\right\rceil=224$ distinct non-mode values are needed.

Adding the mode gives $224+1=225.$ This is achievable: use $9$ copies each of $1$ through $223,$ ten copies of $224,$ and one copy of $225.$

Thus, the correct answer is D.

2018 AMC 12B Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años