Question

El primer término de una sucesión es $2005.$ Cada término siguiente es la suma de los cubos de los dígitos del término anterior. ¿Cuál es el término $2005$ de la sucesión?

The first term of a sequence is $2005.$ Each succeeding term is the sum of the cubes of the digits of the previous term. What is the $2005$ th term of the sequence?

$29$

$55$

$85$

$133$

$250$

Respuesta: E

Conceptos:dígitos recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Calcula los primeros términos y busca un ciclo que se repite.

Compute the first several terms and look for a repeating cycle

Pista grande:

Cuando un valor se repite, los términos posteriores se repiten con el mismo periodo; usa el índice del término módulo ese periodo

Once a value repeats, the later terms repeat with the same period; use the term index modulo that period

Solución:

La sucesión comienza $2005, 133, 55, 250, 133, \ldots$ ya que $2^3 + 0^3 + 0^3 + 5^3 = 133,$ $1^3 + 3^3 + 3^3 = 55,$ $5^3 + 5^3 = 250,$ y $2^3 + 5^3 + 0^3 = 133.$

Después del término inicial $2005,$ los términos recorren cíclicamente $133, 55, 250$ con periodo $3.$

El término $n$ para $n \ge 2$ es la entrada $((n-2)\bmod 3)$ de $133, 55, 250.$ Como $2005 - 2 = 2003 \equiv 2 \pmod 3,$ el término $2005$ es $250.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The sequence begins $2005, 133, 55, 250, 133, \ldots$ since $2^3 + 0^3 + 0^3 + 5^3 = 133,$ $1^3 + 3^3 + 3^3 = 55,$ $5^3 + 5^3 = 250,$ and $2^3 + 5^3 + 0^3 = 133.$

After the initial $2005,$ the terms cycle through $133, 55, 250$ with period $3.$

Term $n$ for $n \ge 2$ is the $((n-2)\bmod 3)$ th entry of $133, 55, 250.$ Since $2005 - 2 = 2003 \equiv 2 \pmod 3,$ the $2005$ th term is $250.$

Thus, the correct answer is E.

2005 AMC 12B Problema 10

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años