Question

La figura de abajo muestra $13$ círculos de radio $1$ dentro de un círculo más grande. Todas las intersecciones ocurren en puntos de tangencia. ¿Cuál es el área de la región, sombreada en la figura, dentro del círculo más grande pero fuera de todos los círculos de radio $1$ ?

The figure below shows $13$ circles of radius $1$ within a larger circle. All the intersections occur at points of tangency. What is the area of the region, shaded in the figure, inside the larger circle but outside all the circles of radius $1?$

$4\pi\sqrt{3}$

$7\pi$

$\pi(3\sqrt{3} + 2)$

$10\pi(\sqrt{3} - 1)$

$\pi(\sqrt{3} + 6)$

Solución:

Coloca un círculo unitario en el centro, seis a su alrededor con centros a distancia $2$ (un hexágono), y seis más con centros a distancia $2\sqrt{3}$ en los huecos exteriores. Eso da $1 + 6 + 6 = 13$ círculos.

Los círculos más externos son tangentes al círculo grande, cuyo radio es por lo tanto $2\sqrt{3} + 1.$ Su área es $\pi(2\sqrt{3} + 1)^2 = \pi(13 + 4\sqrt{3}).$

Restando los $13$ círculos unitarios queda $\pi(13 + 4\sqrt{3}) - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Place a unit circle at the center, six around it with centers at distance $2$ (a hexagon), and six more with centers at distance $2\sqrt{3}$ in the outer gaps. That is $1 + 6 + 6 = 13$ circles.

The outermost circles are tangent to the big circle, whose radius is therefore $2\sqrt{3} + 1.$ Its area is $\pi(2\sqrt{3} + 1)^2 = \pi(13 + 4\sqrt{3}).$

Subtracting the $13$ unit circles leaves $\pi(13 + 4\sqrt{3}) - 13\pi = 4\pi\sqrt{3}.$

Thus, the correct answer is A.

2019 AMC 12A Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años