Question

Si

$\begin{aligned} &\frac{a}{10^x-1}+\frac{b}{10^x+2}\\ &\qquad=\frac{2\cdot10^x+3} {(10^x-1)(10^x+2)} \end{aligned}$

es una identidad para valores racionales positivos de $x,$ entonces el valor de $a-b$ es:

If

$\begin{aligned} &\frac{a}{10^x-1}+\frac{b}{10^x+2}\\ &\qquad=\frac{2\cdot10^x+3} {(10^x-1)(10^x+2)} \end{aligned}$

is an identity for positive rational values of $x,$ then the value of $a-b$ is:

$\dfrac43$

$\dfrac53$

$2$

$\dfrac{11}{4}$

$3$

Respuesta: A

Conceptos:ecuación racional sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Multiplica por $(10^x-1)(10^x+2)$

Multiply by $(10^x-1)(10^x+2)$

Pista grande:

Compara el coeficiente de $10^x$ y el término constante

Compare the coefficient of $10^x$ and the constant term

Solución:

Al eliminar denominadores se obtiene $\begin{aligned} &a(10^x+2)+b(10^x-1)\\ &\qquad=2\cdot10^x+3. \end{aligned}$ Por lo tanto, $a+b=2$ y $2a-b=3.$ Al resolver se obtiene $a=\frac{5}{3},\ b=\frac{1}{3},$ de modo que $a-b=\frac{4}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Clearing denominators gives $\begin{aligned} &a(10^x+2)+b(10^x-1)\\ &\qquad=2\cdot10^x+3. \end{aligned}$ Therefore $a+b=2$ and $2a-b=3.$ Solving gives $a=\frac{5}{3},\ b=\frac{1}{3},$ so $a-b=\frac{4}{3}.$

Therefore, the correct answer is A.

1967 AMC 12 Problema 10

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años