Question

Si $P_1P_2P_3P_4P_5P_6$ es un hexágono regular cuya apotema (distancia del centro al punto medio de un lado) es $2,$ y $Q_i$ es el punto medio del lado $P_iP_{i+1}$ para $i=1,$ $2,$ $3,$ y $4,$ entonces el área del cuadrilátero $Q_1Q_2Q_3Q_4$ es

If $P_1P_2P_3P_4P_5P_6$ is a regular hexagon whose apothem (distance from the center to the midpoint of a side) is $2,$ and $Q_i$ is the midpoint of side $P_iP_{i+1}$ for $i=1,$ $2,$ $3,$ $4,$ then the area of quadrilateral $Q_1Q_2Q_3Q_4$ is

$6$

$2\sqrt6$

$\frac{8\sqrt3}{3}$

$3\sqrt3$

$4\sqrt3$

Respuesta: D

Conceptos:polígono regular triángulo equilátero descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Los puntos $Q_i$ están sobre un círculo cuyo radio es igual a la apotema

The points $Q_i$ lie on a circle of radius equal to the apothem

Pista grande:

Une el centro con los cuatro puntos medios consecutivos y descompón el cuadrilátero

Join the center to the four consecutive side midpoints and decompose the quadrilateral

Solución:

Sea $O$ el centro. Las apotemas consecutivas $OQ_i$ y $OQ_{i+1}$ tienen longitud $2$ y forman un ángulo de $60^\circ$ , por lo que cada $\triangle OQ_iQ_{i+1}$ es equilátero de lado $2.$ El cuadrilátero es la unión de tres de estos triángulos y, por tanto, tiene área $3\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=3\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $O$ be the center. Consecutive apothems $OQ_i$ and $OQ_{i+1}$ have length $2$ and form a $60^\circ$ angle, so each $\triangle OQ_iQ_{i+1}$ is equilateral of side $2.$ The quadrilateral is the union of three such triangles, and hence has area $3\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=3\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

1979 AMC 12 Problema 10

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años