1986 AMC 12 Problema 10

Intenta el Problema 10 del 1986 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1986 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

10.

Las 120120 permutaciones de AHSME se ordenan alfabéticamente como si cada una fuera una palabra común de cinco letras. La última letra de la palabra número 8686 de esta lista es

The 120120 permutations of AHSME are arranged in dictionary order, as if each were an ordinary five-letter word. The last letter of the 8686th word in this list is

AA

HH

SS

MM

EE

Respuesta: E
Conceptos:permutationlexicographic ordercounting
Nivel de dificultad: 1590
Pista pequeña:

Agrupa las palabras en bloques de 4!4! según su primera letra

Group the words into blocks of 4!4! according to their first letter

Pista grande:

Dentro del bloque que empieza con M,M, agrupa por la segunda letra y enumera solo el pequeño bloque necesario

Within the MM-block, group by the second letter and then list only the needed small block

Solución:

Cada primera letra ocupa un bloque de 4!=244!=24 palabras. Las posiciones 7373 a 9696 empiezan con M,M, por lo que la palabra número 8686 es la número 1414 de ese bloque. Las primeras 66 empiezan con MA,MA, las siguientes 66 con ME,ME, y de la 1313 a la 1818 empiezan con MH.MH. Las dos primeras de estas son MHAESMHAES y MHASE.MHASE. Por tanto, la palabra número 8686 termina en E.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each first letter occupies a block of 4!=244!=24 words. Positions 7373 through 9696 begin with M,M, so the 8686th word is the 1414th word in that block. The first 66 begin with MA,MA, the next 66 with ME,ME, and the 1313th through 1818th begin with MH.MH. The first two of those are MHAESMHAES and MHASE.MHASE. Thus the 8686th word ends in E.

Therefore the correct answer is E.

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