Soluciones del 2025 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Las instrucciones de una bolsa de $350$ gramos de granos de café dicen que preparar correctamente una taza grande de café de filtro requiere $20$ gramos de granos de café. ¿Cuál es la mayor cantidad de tazas grandes de café bien preparadas que se pueden hacer con los granos de esa bolsa?

The instructions on a $350$ -gram bag of coffee beans say that proper brewing of a large mug of pour-over coffee requires $20$ grams of coffee beans. What is the greatest number of properly brewed large mugs of coffee that can be made from the coffee beans in that bag?

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Conceptos:funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Divide el total de gramos entre los gramos necesarios por taza.

Divide the total grams by the grams needed per mug

Pista grande:

Solo cuentan las tazas completas, así que redondea $\dfrac{350}{20}$ hacia abajo.

Only whole mugs count, so round $\dfrac{350}{20}$ down

Solución:

Cada taza usa $20$ gramos, y $\dfrac{350}{20} = 17.5.$ Solo se pueden preparar tazas completas, así que la mayor cantidad es $17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each mug uses $20$ grams, and $\dfrac{350}{20} = 17.5.$ Only complete mugs can be brewed, so the greatest number is $17.$

Thus, the correct answer is B.

2.

Jerry escribió el dígito de las unidades de cada uno de los primeros $2025$ cuadrados positivos: $1,$ $4,$ $9,$ $6,$ $5,$ $6,$ $\ldots.$ ¿Cuál es la suma de todos los números que Jerry escribió?

Jerry wrote down the ones digit of each of the first $2025$ positive squares: $1,$ $4,$ $9,$ $6,$ $5,$ $6,$ $\ldots.$ What is the sum of all the numbers Jerry wrote down?

$9025$

$9070$

$9090$

$9115$

$9160$

Conceptos:dígito de las unidades reconocimiento de patrones sumatoria

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

El dígito de las unidades de $n^2$ depende solo del dígito de las unidades de $n,$ por lo que la lista se repite cada $10$ términos.

The ones digit of $n^2$ depends only on the ones digit of $n,$ so the list repeats every $10$ terms

Pista grande:

Suma un bloque completo de $10,$ multiplica por el número de bloques y luego añade los términos sobrantes.

Sum one full block of $10,$ multiply by the number of blocks, then add the leftover terms

Solución:

Los dígitos de las unidades de $1^2, 2^2, \ldots, 10^2$ son $1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0,$ que suman $45.$ Los $2025$ términos contienen $202$ bloques completos ( $2020$ términos) más $5$ adicionales con dígitos $1, 4, 9, 6, 5$ que suman $25.$ El total es $202 \cdot 45 + 25 = 9090 + 25$ $= 9115.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The ones digits of $1^2, 2^2, \ldots, 10^2$ are $1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0,$ which sum to $45.$ The $2025$ terms contain $202$ full blocks ( $2020$ terms) plus $5$ more with digits $1, 4, 9, 6, 5$ summing to $25.$ The total is $202 \cdot 45 + 25 = 9090 + 25$ $= 9115.$

Thus, the correct answer is D.

3.

¿Cuál es el valor de $i(i-1)(i-2)(i-3),$ donde $i = \sqrt{-1}$ ?

What is the value of $i(i-1)(i-2)(i-3),$ where $i = \sqrt{-1}?$

$6 - 5i$

$-10i$

$10i$

$-10$

$10$

Conceptos:número complejo

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Multiplica por pares: primero $i(i-1)$ y $(i-2)(i-3)$ .

Multiply in pairs: $i(i-1)$ and $(i-2)(i-3)$

Pista grande:

Usa $i^2 = -1$ para reducir cada producto antes de multiplicar los dos resultados.

Use $i^2 = -1$ to reduce each product before multiplying the two results

Solución:

$i(i-1) = i^2 - i = -1 - i,$ y $(i-2)(i-3) = i^2 - 5i + 6$ $= 5 - 5i.$ Entonces $\begin{gathered} (-1-i)(5-5i) = -5 \\ {}+ 5i - 5i \\ {}+ 5i^2 \\ = -5 - 5 = -10. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

$i(i-1) = i^2 - i = -1 - i,$ and $(i-2)(i-3) = i^2 - 5i + 6$ $= 5 - 5i.$ Then $\begin{gathered} (-1-i)(5-5i) = -5 \\ {}+ 5i - 5i \\ {}+ 5i^2 \\ = -5 - 5 = -10. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

4.

El valor del número de dos dígitos $\underline{a}\,\underline{b}$ en base siete es igual al valor del número de dos dígitos $\underline{b}\,\underline{a}$ en base nueve. ¿Cuánto vale $a + b$ ?

The value of the two-digit number $\underline{a}\,\underline{b}$ in base seven equals the value of the two-digit number $\underline{b}\,\underline{a}$ in base nine. What is $a + b?$

$7$

$9$

$10$

$11$

$14$

Conceptos:base numérica ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Escribe cada número según su base: $\underline{a}\,\underline{b}$ es $7a + b$ y $\underline{b}\,\underline{a}$ es $9b + a$ .

Write each number in terms of its base: $\underline{a}\,\underline{b}$ is $7a + b$ and $\underline{b}\,\underline{a}$ is $9b + a$

Pista grande:

Iguala $7a + b = 9b + a$ y simplifica hasta obtener una razón entre $a$ y $b$ .

Set $7a + b = 9b + a$ and simplify to a ratio between $a$ and $b$

Solución:

Al imponer $7a + b = 9b + a$ , obtenemos $6a = 8b,$ así que $3a = 4b.$ Por tanto, $a=4t$ y $b=3t.$ Como ambos son dígitos en base siete y $a\ne0,$ solo funciona $t=1$ . Así, $a=4, b=3,$ y en efecto $43_7 = 31 = 34_9.$ Por tanto, $a+b=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Setting $7a + b = 9b + a$ gives $6a = 8b,$ so $3a = 4b.$ Thus $a=4t$ and $b=3t.$ Because both are base-seven digits and $a\ne0,$ only $t=1$ works. Hence $a=4, b=3,$ and indeed $43_7 = 31 = 34_9.$ Therefore $a+b=7.$

Thus, the correct answer is A.

5.

Los enteros positivos $x$ y $y$ satisfacen la ecuación $57x + 22y = 400.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $x + y$ ?

Positive integers $x$ and $y$ satisfy the equation $57x + 22y = 400.$ What is the least possible value of $x + y?$

$10$

$11$

$13$

$14$

$15$

Conceptos:Ecuación diofántica aritmética modular

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Reduce $57x + 22y = 400$ módulo $22$ para determinar $x$ .

Reduce $57x + 22y = 400$ modulo $22$ to pin down $x$

Pista grande:

Como $x$ es positivo y $57x \lt 400,$ solo son posibles unos pocos valores de $x$ .

Since $x$ is positive and $57x \lt 400,$ only a few values of $x$ are possible

Solución:

Módulo $22,$ la ecuación da $13x \equiv 4,$ así que $x \equiv 2 \pmod{22}.$ Con $57x \lt 400,$ la única opción es $x = 2,$ lo que da $22y = 286,$ por lo que $y = 13.$ Entonces $x + y = 15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Modulo $22,$ the equation gives $13x \equiv 4,$ so $x \equiv 2 \pmod{22}.$ With $57x \lt 400,$ the only option is $x = 2,$ which gives $22y = 286,$ so $y = 13.$ Then $x + y = 15.$

Thus, the correct answer is E.

6.

Emmy le dice a Max: “Hoy encargué $36$ sudaderas del club de matemáticas.” Max pregunta: “¿Cuánto costó cada camiseta?” Emmy responde: “Te doy una pista. El costo total fue $\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A},$ donde $A$ y $B$ son dígitos y $A \neq 0.$ ” Tras una pausa, Max dice: “Fue un buen precio.” ¿Cuánto vale $A + B$ ?

Emmy says to Max, “I ordered $36$ math club sweatshirts today.” Max asks, “How much did each shirt cost?” Emmy responds, “I’ll give you a hint. The total cost was $\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A},$ where $A$ and $B$ are digits and $A \neq 0.$ ” After a pause, Max says, “That was a good price.” What is $A + B?$

$7$

$8$

$11$

$14$

$15$

Conceptos:valor posicional divisibilidad aritmética modular

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

En centavos, el total es $10001A + 1110B,$ y debe ser divisible entre $36$ .

In cents the total is $10001A + 1110B,$ and it must be divisible by $36$

Pista grande:

Reduce módulo $36$ para obtener $7A + 6B \equiv 0,$ y luego prueba dígitos con $A \neq 0$ .

Reduce modulo $36$ to get $7A + 6B \equiv 0,$ then test digits with $A \neq 0$

Solución:

El total en centavos es $10000A + 1110B + A$ $= 10001A + 1110B,$ que debe ser múltiplo de $36.$ Como $10001 \equiv 29$ y $1110 \equiv 30 \pmod{36},$ la condición es $29A + 30B \equiv 0,$ es decir, $7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}.$ Al reducir de nuevo módulo $6$ , obtenemos $A\equiv0\pmod6,$ así que el único dígito no nulo posible es $A=6.$ Entonces $42+6B$ es divisible entre $36$ solo para el dígito $B=5.$ En efecto, $\$655.56 = 36 \times \$18.21,$ de modo que $A+B=11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The total in cents is $10000A + 1110B + A$ $= 10001A + 1110B,$ which must be a multiple of $36.$ Since $10001 \equiv 29$ and $1110 \equiv 30 \pmod{36},$ the condition is $29A + 30B \equiv 0,$ i.e. $7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}.$ Reducing once more modulo $6$ gives $A\equiv0\pmod6,$ so the only possible nonzero digit is $A=6.$ Then $42+6B$ is divisible by $36$ only for the digit $B=5.$ Indeed $\$655.56 = 36 \times \$18.21,$ so $A+B=11.$

Thus, the correct answer is C.

7.

¿Cuál es el valor de la siguiente suma?

$\sum_{n=2}^{255} \frac{\log_2\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{(\log_2 n)(\log_2(n+1))}?$

What is the value of

$\sum_{n=2}^{255} \frac{\log_2\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{(\log_2 n)(\log_2(n+1))}?$

$\dfrac{3}{4}$

$1 - \dfrac{1}{\log_2 255}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{15}{16}$

$1$

Conceptos:telescópica logaritmo

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Escribe $\log_2\!\left(1 + \frac{1}{n}\right)$ $= \log_2(n+1) - \log_2 n$ .

Write $\log_2\!\left(1 + \frac{1}{n}\right)$ $= \log_2(n+1) - \log_2 n$

Pista grande:

Con $a_n = \log_2 n,$ cada término se convierte en $\dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}$ .

With $a_n = \log_2 n,$ each term becomes $\dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}$

Solución:

Sea $a_n = \log_2 n.$ El numerador es igual a $a_{n+1} - a_n,$ así que cada término es $\dfrac{a_{n+1} - a_n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}.$ Al telescopiar desde $n = 2$ hasta $255$ queda $\dfrac{1}{\log_2 2} - \dfrac{1}{\log_2 256} = 1 - \dfrac{1}{8}$ $= \dfrac{7}{8}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $a_n = \log_2 n.$ The numerator equals $a_{n+1} - a_n,$ so each term is $\dfrac{a_{n+1} - a_n}{a_n a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} - \dfrac{1}{a_{n+1}}.$ Telescoping from $n = 2$ to $255$ leaves $\dfrac{1}{\log_2 2} - \dfrac{1}{\log_2 256} = 1 - \dfrac{1}{8}$ $= \dfrac{7}{8}.$

Thus, the correct answer is C.

8.

Existen enteros $a$ y $b$ tales que el polinomio $x^3 - 5x^2 + ax + b$ tiene a $4 + \sqrt{5}$ como raíz. ¿Cuánto vale $a + b$ ?

There are integers $a$ and $b$ such that the polynomial $x^3 - 5x^2 + ax + b$ has $4 + \sqrt{5}$ as a root. What is $a + b?$

$13$

$17$

$20$

$30$

$68$

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio radical

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Los coeficientes enteros obligan a que el conjugado $4 - \sqrt{5}$ también sea raíz.

Integer coefficients force the conjugate $4 - \sqrt{5}$ to be a root as well

Pista grande:

Las tres raíces suman $5,$ así que halla la tercera raíz y luego desarrolla para leer $a$ y $b$ .

The three roots sum to $5,$ so find the third root, then expand to read off $a$ and $b$

Solución:

El conjugado $4 - \sqrt{5}$ también es raíz, y estos dos son las raíces de $x^2 - 8x + 11.$ La tercera raíz $r$ satisface $8 + r = 5,$ así que $r = -3.$ Entonces $(x^2 - 8x + 11)(x + 3)$ $= x^3 - 5x^2 - 13x + 33,$ lo que da $a = -13$ y $b = 33,$ por lo que $a + b = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The conjugate $4 - \sqrt{5}$ is also a root, and these two are the roots of $x^2 - 8x + 11.$ The third root $r$ satisfies $8 + r = 5,$ so $r = -3.$ Then $(x^2 - 8x + 11)(x + 3)$ $= x^3 - 5x^2 - 13x + 33,$ giving $a = -13$ and $b = 33,$ so $a + b = 20.$

Thus, the correct answer is C.

9.

¿Cuál es el dígito de las decenas de $6^{6^6}$ ?

What is the tens digit of $6^{6^6}?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Conceptos:exponenciación modular dígitos

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

El dígito de las decenas está determinado por $6^{6^6} \bmod 100$ .

The tens digit is determined by $6^{6^6} \bmod 100$

Pista grande:

Para $n \ge 2,$ $6^n \bmod 100$ tiene ciclo de periodo $5;$ reduce el exponente $6^6$ módulo $5$ .

For $n \ge 2,$ $6^n \bmod 100$ cycles with period $5;$ reduce the exponent $6^6$ modulo $5$

Solución:

Aquí $6^6 = 46656.$ Para $n \ge 2,$ los dos últimos dígitos de $6^n$ se repiten con periodo $5$ recorriendo $36, 16, 96, 76, 56.$ Como $46656 \equiv 1 \pmod 5,$ $6^{46656}$ termina en $56,$ así que el dígito de las decenas es $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Here $6^6 = 46656.$ For $n \ge 2,$ the last two digits of $6^n$ cycle with period $5$ through $36, 16, 96, 76, 56.$ Since $46656 \equiv 1 \pmod 5,$ $6^{46656}$ ends in $56,$ so the tens digit is $5.$

Thus, the correct answer is C.

10.

La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo $30\text{-}60\text{-}90$ queda dividida en dos segmentos de longitudes $x \lt y$ por la mediana al lado más corto del triángulo. ¿Cuál es la razón $\dfrac{x}{x+y}$ ?

The altitude to the hypotenuse of a $30\text{-}60\text{-}90$ right triangle is divided into two segments of lengths $x \lt y$ by the median to the shortest side of the triangle. What is the ratio $\dfrac{x}{x+y}?$

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{5}{11}$

$\dfrac{4\sqrt{3}}{15}$

Conceptos:triángulo rectángulo especial geometría analítica mediana (geometría)

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Coloca el ángulo recto en el origen con los catetos sobre los ejes y asigna coordenadas a cada punto.

Place the right angle at the origin with the legs along the axes and coordinatize every point

Pista grande:

Halla dónde la mediana al lado más corto corta la altura sobre la hipotenusa y luego divide la altura en ese punto.

Find where the median to the shortest side crosses the altitude to the hypotenuse, then split the altitude at that point

Solución:

Toma $C = (0,0),$ $A = (\sqrt{3}, 0),$ $B = (0, 1),$ de modo que $AB$ es la hipotenusa y $BC$ es el lado más corto. La altura desde $C$ corta a $AB$ en $H = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{4}, \tfrac{3}{4}\right).$ La mediana desde $A$ hasta el punto medio del lado más corto $M = \left(0, \tfrac{1}{2}\right)$ cruza la altura en $P = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{7}, \tfrac{3}{7}\right).$ Esto divide la altura en $CP = \tfrac{2\sqrt{3}}{7} = \tfrac{4\sqrt{3}}{14}$ , $PH = \tfrac{3\sqrt{3}}{14},$ así que $x = \tfrac{3\sqrt{3}}{14}$ , $\dfrac{x}{x+y} = \dfrac{3}{7}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Take $C = (0,0),$ $A = (\sqrt{3}, 0),$ $B = (0, 1),$ so $AB$ is the hypotenuse and $BC$ is the shortest side. The altitude from $C$ meets $AB$ at $H = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{4}, \tfrac{3}{4}\right).$ The median from $A$ to $M = \left(0, \tfrac{1}{2}\right)$ crosses the altitude at $P = \left(\tfrac{\sqrt{3}}{7}, \tfrac{3}{7}\right).$ This splits the altitude into $CP = \tfrac{2\sqrt{3}}{7} = \tfrac{4\sqrt{3}}{14}$ and $PH = \tfrac{3\sqrt{3}}{14},$ so $x = \tfrac{3\sqrt{3}}{14}$ and $\dfrac{x}{x+y} = \dfrac{3}{7}.$

Thus, the correct answer is A.

11.

Nueve atletas, no habiendo dos de la misma estatura, se presentan a las pruebas del equipo de baloncesto. Uno por uno, sacan al azar una muñequera, sin reemplazo, de una bolsa que contiene $3$ muñequeras azules, $3$ rojas y $3$ verdes. Se dividen en un grupo azul, un grupo rojo y un grupo verde. Al miembro más alto de cada grupo se le nombra capitán del grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que los capitanes de grupo sean los tres atletas más altos?

Nine athletes, no two of whom are the same height, try out for the basketball team. One at a time, they draw a wristband at random, without replacement, from a bag containing $3$ blue bands, $3$ red bands, and $3$ green bands. They are divided into a blue group, a red group, and a green group. The tallest member of each group is named the group captain. What is the probability that the group captains are the three tallest athletes?

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{9}{28}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

Conceptos:probabilidad básica simetría

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Los capitanes son los tres más altos exactamente cuando los tres más altos caen en tres grupos diferentes.

The captains are the three tallest exactly when the three tallest land in three different groups

Pista grande:

Coloca a los tres más altos uno por uno; cada uno debe evitar los grupos ya usados, cuyas plazas reducen el conjunto disponible.

Place the tallest three one at a time; each must avoid the groups already used, whose slots shrink the pool

Solución:

Cada grupo tiene $3$ plazas. Los tres atletas más altos son los capitanes precisamente cuando caen en tres grupos diferentes. Al colocarlos uno por uno en las $9$ plazas, el segundo debe evitar el grupo del primero ( $6$ de las $8$ plazas restantes) y el tercero debe evitar ambos grupos usados ( $3$ de las $7$ plazas restantes). La probabilidad es $\dfrac{6}{8} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{28}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each group has $3$ slots. The three tallest athletes are the captains precisely when they fall into three different groups. Placing them one at a time into the $9$ slots, the second must avoid the first’s group ( $6$ of the remaining $8$ slots) and the third must avoid both used groups ( $3$ of the remaining $7$ slots). The probability is $\dfrac{6}{8} \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{28}.$

Thus, the correct answer is C.

12.

Abajo se muestra el limpiaparabrisas del lado del conductor de un autobús grande.

El brazo $\overline{AB}$ pivota de un lado a otro alrededor del punto $A,$ barriendo un arco de $60^\circ,$ simétrico respecto a la recta vertical que pasa por $A.$ La escobilla $\overline{CD}$ está unida a $B$ por su punto medio y permanece vertical mientras el brazo se mueve. El brazo mide $3$ pies de largo, y la escobilla mide $3.5$ pies de alto. ¿Cuál es el área del parabrisas limpiada por el limpiaparabrisas, en pies cuadrados, redondeada a la centésima más cercana? (Supón que el parabrisas es una superficie plana vertical.)

The windshield wiper on the driver’s side of a large bus is depicted below.

Arm $\overline{AB}$ pivots back and forth around point $A,$ sweeping out an arc of $60^\circ,$ symmetric about the vertical line through $A.$ The wiper blade $\overline{CD}$ is attached to $B$ at its midpoint and stays vertical as the arm moves. The arm is $3$ feet long, and the wiper blade is $3.5$ feet tall. What is the area of the windshield cleaned by the wiper, in square feet, to the nearest hundredth? (Assume that the windshield is a flat vertical surface.)

$9.68$

$10.14$

$10.50$

$11.32$

$12.00$

Conceptos:área arco

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Al girar el brazo, $B$ traza un arco de radio $3;$ la escobilla es siempre un segmento vertical de altura $3.5$ centrado en $B$ .

As the arm turns, $B$ traces an arc of radius $3;$ the blade is always a vertical segment of height $3.5$ centered at $B$

Pista grande:

Cada recta vertical corta la región limpiada en un segmento de altura constante $3.5,$ así que el área es esa altura por el ancho horizontal barrido.

Each vertical line meets the cleaned region in a segment of constant height $3.5,$ so the area is that height times the horizontal width swept

Solución:

Pon $A$ en el origen. Entonces $B = (3\sin\theta, 3\cos\theta)$ para $\theta \in [-30^\circ, 30^\circ],$ así que la coordenada horizontal de $B$ recorre $[-1.5, 1.5],$ un ancho de $3.$ En cada posición horizontal pasa exactamente una escobilla vertical de altura $3.5$ así que por el principio de Cavalieri el área limpiada es $3.5 \times 3 = 10.5$ pies cuadrados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Put $A$ at the origin. Then $B = (3\sin\theta, 3\cos\theta)$ for $\theta \in [-30^\circ, 30^\circ],$ so the horizontal coordinate of $B$ ranges over $[-1.5, 1.5],$ a width of $3.$ At each horizontal position exactly one vertical blade of height $3.5$ passes through, so by Cavalieri’s principle the cleaned area is $3.5 \times 3 = 10.5$ square feet.

Thus, the correct answer is C.

13.

Un círculo se ha dividido en $6$ sectores de distintos tamaños. Luego $2$ de los sectores se pintan de rojo, $2$ de verde y $2$ de azul, de modo que dos sectores vecinos nunca se pintan del mismo color. Abajo se muestra una de esas coloraciones.

¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

A circle has been divided into $6$ sectors of different sizes. Then $2$ of the sectors are painted red, $2$ painted green, and $2$ painted blue so that no two neighboring sectors are painted the same color. One such coloring is shown below.

How many different colorings are possible?

$12$

$16$

$18$

$24$

$28$

Conceptos:teoría de grafos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Como los sectores del mismo color no pueden tocarse, los dos sectores de cada color forman un par no adyacente.

Because same-colored sectors cannot touch, the two sectors of each color form a non-adjacent pair

Pista grande:

Cuenta las maneras de dividir los $6$ sectores en tres pares no adyacentes y luego asigna los tres colores a los pares.

Count the ways to split the $6$ sectors into three non-adjacent pairs, then assign the three colors to the pairs

Solución:

Los dos sectores de cada color deben formar un par no adyacente, así que una coloración es una forma de dividir los $6$ sectores dispuestos en ciclo en tres pares no adyacentes junto con una asignación de los tres colores. Los pares no adyacentes son las aristas del complemento del $6$ -ciclo, el prisma triangular, que tiene $4$ emparejamientos perfectos. Asignar los tres colores de $3!$ maneras da $4 \times 6 = 24$ coloraciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The two sectors of each color must be a non-adjacent pair, so a coloring is a way to split the $6$ cyclic sectors into three non-adjacent pairs together with an assignment of the three colors. The non-adjacent pairs are the edges of the complement of the $6$ -cycle, the triangular prism, which has $4$ perfect matchings. Assigning the three colors in $3!$ ways gives $4 \times 6 = 24$ colorings.

Thus, the correct answer is D.

14.

Considera una sucesión decreciente de $n$ enteros positivos $x_1 \gt x_2 \gt \cdots \gt x_n$ que satisface las dos condiciones siguientes:

• El promedio (media aritmética) de los primeros $3$ términos de la sucesión es $2025.$

• Para todo $4 \le k \le n,$ el promedio de los primeros $k$ términos de la sucesión es $1$ menos que el promedio de los primeros $k-1$ términos de la sucesión.

¿Cuál es el mayor valor posible de $n$ ?

Consider a decreasing sequence of $n$ positive integers $x_1 \gt x_2 \gt \cdots \gt x_n$ that satisfies the following two conditions:

• The average (arithmetic mean) of the first $3$ terms in the sequence is $2025.$

• For all $4 \le k \le n,$ the average of the first $k$ terms in the sequence is $1$ less than the average of the first $k-1$ terms in the sequence.

What is the greatest possible value of $n?$

$1013$

$1014$

$1016$

$2016$

$2025$

Conceptos:media sucesión aritmética acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Sea $A_k$ el promedio de los primeros $k$ términos; la segunda condición da $A_k = 2028 - k$ para $k \ge 3$ .

Let $A_k$ be the average of the first $k$ terms; the second condition gives $A_k = 2028 - k$ for $k \ge 3$

Pista grande:

A partir de $S_k = k A_k$ recupera $x_k = 2029 - 2k$ para $k \ge 4,$ y luego exige que cada término se mantenga positivo.

From $S_k = k A_k$ recover $x_k = 2029 - 2k$ for $k \ge 4,$ then require every term to stay positive

Solución:

El promedio de los primeros $k$ términos es $A_k = 2028 - k$ para $k \ge 3,$ así que la suma parcial es $S_k = k(2028 - k).$ Para $k \ge 4,$ $x_k = S_k - S_{k-1} = 2029 - 2k,$ que es positivo exactamente cuando $k \le 1014.$ Un inicio válido como $x_1, x_2, x_3 = 2030, 2023, 2022$ mantiene toda la sucesión estrictamente decreciente, así que el mayor $n$ posible es $1014.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The average of the first $k$ terms is $A_k = 2028 - k$ for $k \ge 3,$ so the partial sum is $S_k = k(2028 - k).$ For $k \ge 4,$ $x_k = S_k - S_{k-1} = 2029 - 2k,$ which is positive exactly when $k \le 1014.$ A valid start such as $x_1, x_2, x_3 = 2030, 2023, 2022$ keeps the whole sequence strictly decreasing, so the greatest possible $n$ is $1014.$

Thus, the correct answer is B.

15.

Un recipiente tiene una base cuadrada de $1 \times 1$ , una abertura cuadrada superior de $3 \times 3$ y cuatro caras trapezoidales congruentes, como se muestra. Empezando con el recipiente vacío, una manguera que suministra agua a ritmo constante tarda $35$ minutos en llenar el recipiente hasta la línea media de los trapecios.

¿Cuántos minutos más tardará en llenar el resto del recipiente?

A container has a $1 \times 1$ square bottom, a $3 \times 3$ open square top, and four congruent trapezoidal sides, as shown. Starting when the container is empty, a hose that runs water at a constant rate takes $35$ minutes to fill the container up to the midline of the trapezoids.

How many more minutes will it take to fill the remainder of the container?

$70$

$85$

$90$

$95$

$105$

Conceptos:volumen semejanza razón y proporción

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

A la fracción de altura $t$ la sección transversal es un cuadrado de lado $1 + 2t,$ así que su área es $(1 + 2t)^2$

At height fraction $t$ the cross-section is a square of side $1 + 2t,$ so its area is $(1 + 2t)^2$

Pista grande:

Compara el volumen hasta la línea media ( $t = \tfrac{1}{2}$ ) con el volumen total; el tiempo de llenado es proporcional al volumen.

Compare the volume up to the midline ( $t = \tfrac{1}{2}$ ) with the total volume; fill time is proportional to volume

Solución:

A la fracción de altura $t$ la sección cuadrada tiene lado $1 + 2t,$ así que el volumen llenado hasta la altura $t$ es $\int_0^t (1 + 2u)^2\,du.$ Hasta la línea media $\left(t = \tfrac{1}{2}\right)$ esto es $\tfrac{7}{6},$ y el volumen total es $\tfrac{13}{3}.$ El volumen restante es $\tfrac{13}{3} - \tfrac{7}{6} = \tfrac{19}{6},$ que es $\tfrac{19}{7}$ veces la primera parte, así que el resto tarda $35 \cdot \tfrac{19}{7} = 95$ minutos más.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

At height fraction $t$ the square cross-section has side $1 + 2t,$ so the volume filled up to height $t$ is $\int_0^t (1 + 2u)^2\,du.$ Up to the midline $\left(t = \tfrac{1}{2}\right)$ this is $\tfrac{7}{6},$ and the full volume is $\tfrac{13}{3}.$ The remaining volume is $\tfrac{13}{3} - \tfrac{7}{6} = \tfrac{19}{6},$ which is $\tfrac{19}{7}$ times the first part. So the remainder takes $35 \cdot \tfrac{19}{7} = 95$ more minutes.

Thus, the correct answer is D.

16.

Un reloj analógico empieza a medianoche y funciona durante $2025$ minutos antes de detenerse. Cuando el reloj se detiene, ¿cuál es la tangente del ángulo agudo entre la manecilla de las horas y la manecilla de los minutos?

An analog clock starts at midnight and runs for $2025$ minutes before stopping. What is the tangent of the acute angle between the hour hand and the minute hand when the clock stops?

$0$

$\sqrt{2} - 1$

$2 - \sqrt{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$3 - \sqrt{2}$

Conceptos:reloj identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Reduce $2025$ minutos módulo $12$ horas para hallar hacia dónde apuntan las manecillas.

Reduce $2025$ minutes modulo $12$ hours to find where the hands point

Pista grande:

Halla el ángulo de cada manecilla, toma la diferencia aguda y luego evalúa $\tan 22.5^\circ$ .

Find each hand’s angle, take the acute difference, then evaluate $\tan 22.5^\circ$

Solución:

$2025$ minutos son $33$ horas $45$ minutos, que módulo $12$ horas equivale a $9{:}45.$ La manecilla de los minutos apunta a $270^\circ$ y la de las horas a $9.75 \times 30^\circ = 292.5^\circ,$ así que el ángulo agudo entre ellas es $22.5^\circ.$ Usando el valor del ángulo mitad, $\tan 22.5^\circ = \sqrt{2} - 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

$2025$ minutes is $33$ hours $45$ minutes, which modulo $12$ hours reads $9{:}45.$ The minute hand points at $270^\circ$ and the hour hand at $9.75 \times 30^\circ = 292.5^\circ,$ so the acute angle between them is $22.5^\circ.$ Using the half-angle value, $\tan 22.5^\circ = \sqrt{2} - 1.$

Thus, the correct answer is B.

17.

Cada uno de los $9$ cuadrados de una cuadrícula $3 \times 3$ se va a colorear de rojo, azul o amarillo de manera que cada cuadrado rojo comparta un lado con al menos un cuadrado azul, cada cuadrado azul comparta un lado con al menos un cuadrado amarillo, y cada cuadrado amarillo comparta un lado con al menos un cuadrado rojo. Las coloraciones que se pueden obtener una de otra mediante rotaciones y/o reflexiones se consideran iguales. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

Each of the $9$ squares in a $3 \times 3$ grid is to be colored red, blue, or yellow in such a way that each red square shares an edge with at least one blue square, each blue square shares an edge with at least one yellow square, and each yellow square shares an edge with at least one red square. Colorings that can be obtained from one another by rotations and/or reflections are to be considered the same. How many different colorings are possible?

$3$

$9$

$12$

$18$

$27$

Conceptos:Lema de Burnside análisis por casos

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Todos los colores deben aparecer, y las condiciones cíclicas rojo $\to$ azul $\to$ amarillo $\to$ rojo restringen fuertemente la disposición.

Every color must appear, and the cyclic conditions red $\to$ blue $\to$ yellow $\to$ red tightly constrain the layout

Pista grande:

Cuenta todas las coloraciones válidas de la cuadrícula fija (etiquetada) y luego reduce por las $8$ rotaciones y reflexiones usando el lema de Burnside.

Count all valid colorings of the fixed (labeled) grid, then reduce by the $8$ rotations and reflections using Burnside’s lemma

Solución:

Primero contamos las coloraciones de la cuadrícula con posiciones etiquetadas. Al comprobar sucesivamente las $27$ filas posibles y rechazar una fila en cuanto una casilla cuyos vecinos ya se conocen carece del color siguiente requerido, se obtiene el siguiente conteo completo según las cantidades de casillas rojas, azules y amarillas: $\begin{array}{c|c} (\#R,\#B,\#Y)&\text{coloraciones válidas}\\ \hline (2,4,3)&16\\ (3,2,4)&16\\ (3,3,3)&36\\ (4,3,2)&16 \end{array}$ Así, la identidad fija $16+16+36+16=84$ coloraciones.

Para las otras simetrías, los números de coloraciones fijas son $0$ para cada rotación no trivial, $6$ para cada reflexión respecto a un eje horizontal o vertical y $0$ para cada reflexión diagonal. (Para una reflexión axial, una comprobación directa de las tres filas palindrómicas da las $6$ posibilidades). Por tanto, el lema de Burnside da $\frac{84+2\cdot6}{8}=12.$

Así, la respuesta correcta es C.

First count colorings of the grid with its positions labeled. Checking the $27$ possible rows in succession and rejecting a row as soon as a square whose neighbors are now known lacks its required next color gives the following complete count by the numbers of red, blue, and yellow squares: $\begin{array}{c|c} (\#R,\#B,\#Y)&\text{valid colorings}\\ \hline (2,4,3)&16\\ (3,2,4)&16\\ (3,3,3)&36\\ (4,3,2)&16 \end{array}$ Thus the identity symmetry fixes $16+16+36+16=84$ colorings.

For the other symmetries, the fixed-coloring counts are $0$ for each nontrivial rotation, $6$ for each reflection across a horizontal or vertical axis, and $0$ for each diagonal reflection. (For an axis reflection, a direct check of the three palindromic rows gives the $6$ possibilities.) Therefore Burnside’s lemma gives $\frac{84+2\cdot6}{8}=12.$

Thus, the correct answer is C.

18.

Awnik juega repetidamente un juego que tiene una probabilidad de ganar de $\dfrac{1}{3}.$ Los resultados de los juegos son independientes. ¿Cuál es el valor esperado del número de juegos que jugará hasta que haya ganado y perdido al menos una vez cada uno?

Awnik repeatedly plays a game that has a probability of winning of $\dfrac{1}{3}.$ The outcomes of the games are independent. What is the expected value of the number of games he will play until he has both won and lost at least once?

$\dfrac{5}{2}$

$3$

$\dfrac{16}{5}$

$\dfrac{7}{2}$

$\dfrac{15}{4}$

Conceptos:valor esperado distribución geométrica

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Después del primer juego ya tienes un resultado; luego solo esperas el resultado contrario.

After the first game you already have one outcome; you then wait only for the opposite outcome

Pista grande:

El número esperado de juegos para obtener un resultado de probabilidad $p$ es $\dfrac{1}{p};$ condiciona según si el primer juego es victoria o derrota.

The expected number of games to get an outcome of probability $p$ is $\dfrac{1}{p};$ condition on whether the first game is a win or a loss

Solución:

El primer juego produce un resultado. Si fue una victoria (probabilidad $\tfrac{1}{3}$ ), la espera esperada de una derrota es $\tfrac{1}{\frac{2}{3}} = \tfrac{3}{2};$ si fue una derrota (probabilidad $\tfrac{2}{3}$ ), la espera esperada de una victoria es $\tfrac{1}{\frac{1}{3}} = 3.$ Así que el total esperado es $1 + \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{2} + \tfrac{2}{3}\cdot 3 = 1 + \tfrac{1}{2} + 2$ $= \tfrac{7}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first game produces one outcome. If it was a win (probability $\tfrac{1}{3}$ ), the expected wait for a loss is $\tfrac{1}{\frac{2}{3}} = \tfrac{3}{2};$ if it was a loss (probability $\tfrac{2}{3}$ ), the expected wait for a win is $\tfrac{1}{\frac{1}{3}} = 3.$ So the expected total is $1 + \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{2} + \tfrac{2}{3}\cdot 3 = 1 + \tfrac{1}{2} + 2$ $= \tfrac{7}{2}.$

Thus, the correct answer is D.

19.

Una cuadrícula rectangular de cuadrados tiene $141$ filas y $91$ columnas. Cada cuadrado tiene espacio para dos números. Horace y Vera llenan cada uno la cuadrícula colocando los números del $1$ al $141 \times 91 = 12{,}831$ en los cuadrados. Horace la llena horizontalmente: coloca del $1$ al $91$ en orden de izquierda a derecha en la fila $1,$ coloca del $92$ al $182$ en la fila $2$ en orden de izquierda a derecha, y continúa de forma similar hasta la fila $141.$ Vera la llena verticalmente: coloca del $1$ al $141$ en orden de arriba abajo en la columna $1,$ luego del $142$ al $282$ en la columna $2$ en orden de arriba abajo, y continúa de forma similar hasta la columna $91.$ ¿Cuántos cuadrados reciben dos copias del mismo número?

A rectangular grid of squares has $141$ rows and $91$ columns. Each square has room for two numbers. Horace and Vera each fill in the grid by putting the numbers from $1$ through $141 \times 91 = 12{,}831$ into the squares. Horace fills the grid horizontally: he puts $1$ through $91$ in order from left to right into row $1,$ puts $92$ through $182$ into row $2$ in order from left to right, and continues similarly through row $141.$ Vera fills the grid vertically: she puts $1$ through $141$ in order from top to bottom into column $1,$ then $142$ through $282$ into column $2$ in order from top to bottom, and continues similarly through column $91.$ How many squares get two copies of the same number?

$7$

$10$

$11$

$12$

$19$

Conceptos:Ecuación diofántica aritmética modular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Escribe el número de Horace y el número de Vera del cuadrado en la fila $r,$ columna $c$ como fórmulas en $r$ y $c$

Write the Horace-number and the Vera-number of the square in row $r,$ column $c$ as formulas in $r$ and $c$

Pista grande:

Igualarlos da $9r = 14c - 5;$ halla qué valores de $c$ hacen que $r$ sea un entero en el rango

Setting them equal gives $9r = 14c - 5;$ find which $c$ make $r$ an integer in range

Solución:

En la fila $r,$ columna $c,$ Horace escribe $(r-1)\cdot 91 + c$ y Vera escribe $(c-1)\cdot 141 + r.$ Igualarlos da $90r - 140c = -50,$ es decir $9r = 14c - 5.$ Esto requiere $c \equiv 1 \pmod 9,$ así que $c = 1, 10, 19, \ldots, 91$ , esto es $11$ valores, y cada uno da un $r$ válido entre $1$ y $141.$ Así que $11$ cuadrados coinciden.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In row $r,$ column $c,$ Horace writes $(r-1)\cdot 91 + c$ and Vera writes $(c-1)\cdot 141 + r.$ Setting these equal gives $90r - 140c = -50,$ i.e. $9r = 14c - 5.$ This requires $c \equiv 1 \pmod 9,$ so $c = 1, 10, 19, \ldots, 91$ — that is $11$ values, and each yields a valid $r$ between $1$ and $141.$ So $11$ squares match.

Thus, the correct answer is C.

20.

Una rana salta a lo largo de la recta numérica según las siguientes reglas.

• Empieza en $0.$

• Si está en $0,$ entonces se mueve a $1$ con probabilidad $\dfrac{1}{2}$ y desaparece con probabilidad $\dfrac{1}{2}.$

• Para $n = 1,$ $2,$ o $3,$ si está en $n,$ entonces se mueve a $n+1$ con probabilidad $\dfrac{1}{4},$ se mueve a $n-1$ con probabilidad $\dfrac{1}{4},$ y desaparece con probabilidad $\dfrac{1}{2}.$

¿Cuál es la probabilidad de que la rana llegue a $4$ ?

A frog hops along the number line according to the following rules.

• It starts at $0.$

• If it is at $0,$ then it moves to $1$ with probability $\dfrac{1}{2}$ and it disappears with probability $\dfrac{1}{2}.$

• For $n = 1,$ $2,$ or $3,$ if it is at $n,$ then it moves to $n+1$ with probability $\dfrac{1}{4},$ it moves to $n-1$ with probability $\dfrac{1}{4},$ and it disappears with probability $\dfrac{1}{2}.$

What is the probability that the frog reaches $4?$

$\dfrac{1}{101}$

$\dfrac{1}{100}$

$\dfrac{1}{99}$

$\dfrac{1}{98}$

$\dfrac{1}{97}$

Conceptos:camino aleatorio probabilidad recursiva sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Sea $f(n)$ la probabilidad de llegar finalmente a $4$ partiendo de $n;$ escribe una ecuación de primer paso en cada estado

Let $f(n)$ be the probability of eventually reaching $4$ starting from $n;$ write a first-step equation at each state

Pista grande:

Resuelve el sistema lineal con $f(4) = 1$ y valor $0$ cada vez que la rana desaparece.

Solve the linear system with $f(4) = 1$ and value $0$ whenever the frog disappears

Solución:

Sea $f(n)$ la probabilidad de llegar a $4$ desde $n.$ Entonces $f(0) = \tfrac{1}{2} f(1),$ y para $n = 1, 2, 3,$ $f(n) = \tfrac{1}{4} f(n+1) + \tfrac{1}{4} f(n-1),$ con $f(4) = 1.$ Resolviendo hacia arriba se obtiene $f(2) = \tfrac{7}{2} f(1)$ y $f(3) = 13 f(1);$ luego $4 \cdot 13 f(1) = 1 + \tfrac{7}{2} f(1)$ da $f(1) = \tfrac{2}{97},$ así que $f(0) = \tfrac{1}{97}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $f(n)$ be the probability of reaching $4$ from $n.$ Then $f(0) = \tfrac{1}{2} f(1),$ and for $n = 1, 2, 3,$ $f(n) = \tfrac{1}{4} f(n+1) + \tfrac{1}{4} f(n-1),$ with $f(4) = 1.$ Solving upward gives $f(2) = \tfrac{7}{2} f(1)$ and $f(3) = 13 f(1);$ then $4 \cdot 13 f(1) = 1 + \tfrac{7}{2} f(1)$ yields $f(1) = \tfrac{2}{97},$ so $f(0) = \tfrac{1}{97}.$

Thus, the correct answer is E.

21.

Dos triángulos no congruentes tienen la misma área. Cada triángulo tiene lados de longitud $8$ y $9,$ y el tercer lado de cada triángulo tiene longitud entera. ¿Cuál es la suma de las longitudes de los terceros lados?

Two non-congruent triangles have the same area. Each triangle has sides of length $8$ and $9,$ and the third side of each triangle has integer length. What is the sum of the lengths of the third sides?

$20$

$22$

$24$

$26$

$28$

Conceptos:ley de los cosenos área del triángulo desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Con lados $8$ y $9$ y ángulo incluido $\theta,$ el área es $36\sin\theta,$ así que áreas iguales provienen de $\theta$ y $180^\circ - \theta$ .

With sides $8$ and $9$ and included angle $\theta,$ the area is $36\sin\theta,$ so equal areas come from $\theta$ and $180^\circ - \theta$

Pista grande:

Por la ley de cosenos, los terceros lados satisfacen $t^2 = 145 \mp 144\cos\theta,$ así que $t_1^2 + t_2^2 = 290$

By the law of cosines the third sides satisfy $t^2 = 145 \mp 144\cos\theta,$ so $t_1^2 + t_2^2 = 290$

Solución:

El área con ángulo incluido $\theta$ es $36\sin\theta,$ así que dos triángulos de igual área usan los ángulos $\theta$ y $180^\circ - \theta,$ cuyos cosenos son $\pm\cos\theta.$ Por la ley de los cosenos, los terceros lados satisfacen $t^2 = 145 \mp 144\cos\theta,$ y por ello $t_1^2 + t_2^2 = 290.$ Como $290\equiv2\pmod8,$ ambos lados enteros deben ser impares. Al comprobar los cuadrados impares en el intervalo dado por la desigualdad triangular $1\lt t\lt17$ , solo queda $11^2+13^2=121+169=290.$ Por lo tanto, la suma es $24.$

Así, la respuesta correcta es C.

The area with included angle $\theta$ is $36\sin\theta,$ so two triangles of equal area use angles $\theta$ and $180^\circ - \theta,$ with cosines $\pm\cos\theta.$ By the law of cosines the third sides satisfy $t^2 = 145 \mp 144\cos\theta,$ hence $t_1^2 + t_2^2 = 290.$ Since $290\equiv2\pmod8,$ both integer sides must be odd. Checking the odd squares in the triangle-inequality range $1\lt t\lt17$ leaves only $11^2+13^2=121+169=290.$ Therefore the sum is $24.$

Thus, the correct answer is C.

22.

¿Cuál es la mayor área posible del triángulo del plano complejo cuyos vértices son $2z,$ $(1+i)z$ y $(1-i)z,$ donde el número complejo $z$ satisface $|4z - 2| = 1$ ?

What is the greatest possible area of the triangle in the complex plane with vertices $2z,$ $(1+i)z,$ and $(1-i)z,$ where $z$ is a complex number satisfying $|4z - 2| = 1?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{3}{4}$

$1$

Conceptos:número complejo área del triángulo optimización

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Estos vértices se obtienen multiplicando los puntos fijos $2, 1+i, 1-i,$ todos por $z$ , así que el triángulo se escala por el factor $|z|$ .

The vertices are $z$ times the fixed points $2, 1+i, 1-i,$ so the triangle is that fixed triangle scaled by $|z|$

Pista grande:

El área es igual al área del triángulo fijo por $|z|^2$ ; la condición $|4z - 2| = 1$ representa una circunferencia, así que hay que maximizar $|z|$ sobre ella.

Its area is $|z|^2$ times a fixed area; the condition $|4z - 2| = 1$ is a circle, so maximize $|z|$ on it

Solución:

Los vértices son $z \cdot 2,$ $z(1+i),$ $z(1-i),$ así que el triángulo es el triángulo fijo de vértices $2, 1+i, 1-i$ , cuya área es $1$ , escalado por el factor $|z|,$ de modo que su área es $|z|^2.$ La condición $|4z - 2| = 1$ equivale a $\left|z - \tfrac{1}{2}\right| = \tfrac{1}{4},$ así que $|z|$ es como máximo $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}.$ La mayor área es $\left(\tfrac{3}{4}\right)^2 = \tfrac{9}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The vertices are $z \cdot 2,$ $z(1+i),$ and $z(1-i),$ so the triangle is the fixed triangle with vertices $2, 1+i, 1-i$ — which has area $1$ — scaled by $|z|,$ giving area $|z|^2.$ The condition $|4z - 2| = 1$ is the circle $\left|z - \tfrac{1}{2}\right| = \tfrac{1}{4},$ on which $|z|$ is at most $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}.$ So the greatest area is $\left(\tfrac{3}{4}\right)^2 = \tfrac{9}{16}.$

Thus, the correct answer is C.

23.

Sea $S$ el conjunto de todos los enteros $z \gt 1$ tales que para todo par de enteros no negativos $(x, y)$ con $x \lt y \lt z,$ el residuo de dividir $2025x$ entre $z$ es menor que el residuo de dividir $2025y$ entre $z.$ ¿Cuál es la suma de los elementos de $S$ ?

Let $S$ be the set of all integers $z \gt 1$ such that for all pairs of nonnegative integers $(x, y)$ with $x \lt y \lt z,$ the remainder when $2025x$ is divided by $z$ is less than the remainder when $2025y$ is divided by $z.$ What is the sum of the elements of $S?$

$3041$

$3542$

$3750$

$4044$

$4319$

Conceptos:aritmética modular divisibilidad suma de factores

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

La condición dice que la función $k \mapsto 2025k \bmod z$ es estrictamente creciente en $0, 1, \ldots, z-1$ .

The condition says the map $k \mapsto 2025k \bmod z$ is strictly increasing on $0, 1, \ldots, z-1$

Pista grande:

Una reordenación creciente de $0, 1, \ldots, z-1$ que empieza en $0$ debe ser la identidad, lo que obliga a $2025 \equiv 1 \pmod z$ .

An increasing rearrangement of $0, 1, \ldots, z-1$ starting at $0$ must be the identity, forcing $2025 \equiv 1 \pmod z$

Solución:

La condición requiere que $k \mapsto 2025k \bmod z$ sea estrictamente creciente en $\{0, 1, \ldots, z-1\}.$ Una lista estrictamente creciente de $z$ valores distintos en $[0, z-1]$ debe ser $0, 1, \ldots, z-1,$ así que $2025 \equiv 1 \pmod z,$ es decir, $2024$ es divisible por $z.$ Como $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23,$ la suma de todos sus divisores es $(1+2+4+8)(1+11)(1+23)$ $= 15 \cdot 12 \cdot 24$ $= 4320.$ Excluyendo $z = 1$ queda $4319.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The condition requires $k \mapsto 2025k \bmod z$ to be strictly increasing on $\{0, 1, \ldots, z-1\}.$ A strictly increasing list of $z$ distinct values in $[0, z-1]$ must be $0, 1, \ldots, z-1,$ so $2025 \equiv 1 \pmod z,$ i.e. $2024$ is divisible by $z.$ Since $2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23,$ the sum of all its divisors is $(1+2+4+8)(1+11)(1+23)$ $= 15 \cdot 12 \cdot 24$ $= 4320.$ Excluding $z = 1$ leaves $4319.$

Thus, the correct answer is E.

24.

¿Cuántos números reales satisfacen la ecuación $\sin(20\pi x) = \log_{20}(x)$ ?

How many real numbers satisfy the equation $\sin(20\pi x) = \log_{20}(x)?$

$199$

$200$

$398$

$399$

$400$

Conceptos:trigonometría logaritmo conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Una solución necesita $-1 \le \log_{20} x \le 1,$ así que $x$ está en $\left[\tfrac{1}{20}, 20\right]$ .

A solution needs $-1 \le \log_{20} x \le 1,$ so $x$ lies in $\left[\tfrac{1}{20}, 20\right]$

Pista grande:

En cada semionda monótona de $\sin(20\pi x)$ el logaritmo, que sube lentamente, cruza una vez; cuenta con cuidado las ramas en ambos extremos.

On each monotonic half-wave of $\sin(20\pi x)$ the slowly rising log crosses once; count the branches carefully at both ends

Solución:

Como $|\sin(20\pi x)|\le1,$ toda solución está en $\left[\tfrac1{20},20\right].$ Para $x\lt1$ el logaritmo es negativo, así que solo pueden contribuir los $10$ lóbulos negativos del seno en $\left[\tfrac1{20},1\right].$ Cada uno tiene una intersección a cada lado de su mínimo; en el último lóbulo, la segunda intersección es el extremo $x=1.$ Esta parte aporta entonces $20$ soluciones.

Para $x\gt1,$ solo contribuyen los lóbulos positivos. Hay $190$ : uno en cada intervalo de $1+\tfrac{k}{10}$ a $1+\tfrac{k}{10}+\tfrac1{20}$ para $0\le k\le189.$ Cada uno después del primero tiene una intersección a cada lado de su máximo. El primero tiene solo una intersección nueva porque su extremo izquierdo es la solución ya contada $x=1.$ Así, $x\gt1$ aporta $1+2\cdot189=379$ soluciones más.

Para completar, la unicidad afirmada en cada medio lóbulo se obtiene derivando la diferencia de los dos lados. En un medio lóbulo positivo descendente, es estrictamente decreciente. En uno positivo ascendente, su derivada aumenta y luego disminuye una vez, así que la diferencia cruza de negativa a positiva una sola vez. Aplicar el mismo argumento a $-\sin(20\pi x)+\log_{20}x$ trata un lóbulo negativo. El total es $20+379=399.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $|\sin(20\pi x)|\le1,$ every solution lies in $\left[\tfrac1{20},20\right].$ For $x\lt1$ the logarithm is negative, so only the $10$ negative sine lobes in $\left[\tfrac1{20},1\right]$ can contribute. Each has one crossing on each side of its minimum; on the last lobe, the second crossing is the endpoint $x=1.$ Hence this part contributes $20$ solutions.

For $x\gt1,$ only positive lobes contribute. There are $190$ of them: one in each interval from $1+\tfrac{k}{10}$ to $1+\tfrac{k}{10}+\tfrac1{20}$ for $0\le k\le189.$ Every one after the first has one crossing on each side of its maximum. The first has only one new crossing because its left endpoint is the already-counted solution $x=1.$ Thus $x\gt1$ contributes $1+2\cdot189=379$ more solutions.

For completeness, the claimed uniqueness on each half-lobe follows by differentiating the difference of the two sides. On a falling positive half-lobe it is strictly decreasing. On a rising positive half-lobe its derivative increases and then decreases once, so the difference crosses from negative to positive only once. Applying the same argument to $-\sin(20\pi x)+\log_{20}x$ handles a negative lobe. The total is $20+379=399.$

Thus, the correct answer is D.

25.

Tres circunferencias concéntricas tienen radios $1,$ $2,$ $3.$ Un triángulo equilátero de lado $s$ tiene un vértice sobre cada circunferencia. ¿Cuánto vale $s^2$ ?

Three concentric circles have radii $1,$ $2,$ $3.$ An equilateral triangle with side length $s$ has one vertex on each circle. What is $s^2?$

$6$

$\dfrac{25}{4}$

$\dfrac{13}{2}$

$\dfrac{27}{4}$

$7$

Conceptos:triángulo equilátero transformación círculo

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Si un punto está a distancias $p, q, r$ de los vértices de un triángulo equilátero de lado $a,$ existe una relación simétrica entre $p^2, q^2, r^2, a^2$

For a point at distances $p, q, r$ from the vertices of an equilateral triangle of side $a,$ there is a symmetric relation among $p^2, q^2, r^2, a^2$

Pista grande:

Usa $3(p^4 + q^4 + r^4 + a^4)$ $= (p^2 + q^2 + r^2 + a^2)^2$ , y sustituye $p, q, r = 1, 2, 3$ .

Use $3(p^4 + q^4 + r^4 + a^4)$ $= (p^2 + q^2 + r^2 + a^2)^2$ with $p, q, r = 1, 2, 3$

Solución:

Para el centro común a distancias $1, 2, 3$ de los vértices de un triángulo equilátero de lado $s,$ se cumple la identidad $3(1 + 16 + 81 + s^4)$ $= (1 + 4 + 9 + s^2)^2$ . Esto se simplifica a $2s^4 - 28s^2 + 98 = 0,$ es decir $(s^2 - 7)^2 = 0,$ así que $s^2 = 7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For the common center at distances $1, 2, 3$ from the vertices of an equilateral triangle of side $s,$ the identity $3(1 + 16 + 81 + s^4)$ $= (1 + 4 + 9 + s^2)^2$ holds. This simplifies to $2s^4 - 28s^2 + 98 = 0,$ i.e. $(s^2 - 7)^2 = 0,$ so $s^2 = 7.$

Thus, the correct answer is E.