Question

Sea $x_n = \sin^2(n^\circ).$ ¿Cuál es la media de $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{90}$ ?

Let $x_n = \sin^2(n^\circ).$ What is the mean of $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{90}?$

$\dfrac{11}{45}$

$\dfrac{22}{45}$

$\dfrac{89}{180}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{91}{180}$

Solución:

Usando $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2},$ $\begin{aligned} \sum_{n=1}^{90} \sin^2(n^\circ) &= \frac{90}{2} \\ &\quad {}- \frac12 \sum_{n=1}^{90}\cos(2n^\circ). \end{aligned}$ En la suma de cosenos, los términos para $n$ y $90 - n$ cumplen $\cos(2n^\circ) + \cos(180^\circ - 2n^\circ) = 0,$ y $\cos 90^\circ = 0,$ así que todo se cancela excepto $\cos 180^\circ = -1.$

Por lo tanto la suma es $45 - \tfrac12(-1) = 45.5,$ y la media es $\dfrac{45.5}{90} = \dfrac{91}{180}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Using $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2},$ $\begin{aligned} \sum_{n=1}^{90} \sin^2(n^\circ) &= \frac{90}{2} \\ &\quad {}- \frac12 \sum_{n=1}^{90}\cos(2n^\circ). \end{aligned}$ In the cosine sum, the terms for $n$ and $90 - n$ satisfy $\cos(2n^\circ) + \cos(180^\circ - 2n^\circ) = 0,$ and $\cos 90^\circ = 0,$ so everything cancels except $\cos 180^\circ = -1.$

Hence the sum is $45 - \tfrac12(-1) = 45.5,$ and the mean is $\dfrac{45.5}{90} = \dfrac{91}{180}.$

Thus, the correct answer is E.

2024 AMC 12B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años