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2024 AMC 12B Problema 11

Intenta el Problema 11 del 2024 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

11.

Sea xn=sin⁡2(n∘).x_n = \sin^2(n^\circ). ¿Cuál es la media de x1,x_1, x2,x_2, x3,x_3, …,\ldots, x90x_{90}?

Let xn=sin⁡2(n∘).x_n = \sin^2(n^\circ). What is the mean of x1,x_1, x2,x_2, x3,x_3, …,\ldots, x90?x_{90}?

1145\dfrac{11}{45}

2245\dfrac{22}{45}

89180\dfrac{89}{180}

12\dfrac{1}{2}

91180\dfrac{91}{180}

Respuesta: E
Conceptos:identidad trigonométricamediasimetría
Nivel de dificultad: 1610
Pista pequeña:

Usa sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2} para reescribir la suma.

Use sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2} to rewrite the sum

Pista grande:

Los términos coseno cos⁡2∘,cos⁡4∘,…,cos⁡180∘\cos 2^\circ, \cos 4^\circ, \ldots, \cos 180^\circ se cancelan por pares mediante cos⁡(180∘−θ)=−cos⁡θ,\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta, dejando solo cos⁡180∘=−1\cos 180^\circ = -1.

The cosine terms cos⁡2∘,cos⁡4∘,…,cos⁡180∘\cos 2^\circ, \cos 4^\circ, \ldots, \cos 180^\circ cancel in pairs via cos⁡(180∘−θ)=−cos⁡θ,\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta, leaving only cos⁡180∘=−1\cos 180^\circ = -1

Solución:

Usando sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2,\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}, ∑n=190sin⁡2(n∘)=902−12∑n=190cos⁡(2n∘). \begin{aligned} \sum_{n=1}^{90} \sin^2(n^\circ) &= \frac{90}{2} \\ &\quad {}- \frac12 \sum_{n=1}^{90}\cos(2n^\circ). \end{aligned} En la suma de cosenos, los términos para nn y 90−n90 - n cumplen cos⁡(2n∘)+cos⁡(180∘−2n∘)=0,\cos(2n^\circ) + \cos(180^\circ - 2n^\circ) = 0, y cos⁡90∘=0,\cos 90^\circ = 0, así que todo se cancela excepto cos⁡180∘=−1.\cos 180^\circ = -1.

Por lo tanto la suma es 45−12(−1)=45.5,45 - \tfrac12(-1) = 45.5, y la media es 45.590=91180.\dfrac{45.5}{90} = \dfrac{91}{180}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Using sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2,\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}, ∑n=190sin⁡2(n∘)=902−12∑n=190cos⁡(2n∘). \begin{aligned} \sum_{n=1}^{90} \sin^2(n^\circ) &= \frac{90}{2} \\ &\quad {}- \frac12 \sum_{n=1}^{90}\cos(2n^\circ). \end{aligned} In the cosine sum, the terms for nn and 90−n90 - n satisfy cos⁡(2n∘)+cos⁡(180∘−2n∘)=0,\cos(2n^\circ) + \cos(180^\circ - 2n^\circ) = 0, and cos⁡90∘=0,\cos 90^\circ = 0, so everything cancels except cos⁡180∘=−1.\cos 180^\circ = -1.

Hence the sum is 45−12(−1)=45.5,45 - \tfrac12(-1) = 45.5, and the mean is 45.590=91180.\dfrac{45.5}{90} = \dfrac{91}{180}.

Thus, the correct answer is E.

Problema 10#10
Examen completo
Problema 12#12

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