Question

La solución de la ecuación $7^{x+7}=8^x$ puede expresarse en la forma $x=\log_b 7^7.$ ¿Cuánto vale $b$ ?

The solution of the equation $7^{x+7}=8^x$ can be expressed in the form $x=\log_b 7^7.$ What is $b?$

$\dfrac{7}{15}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{8}{7}$

$\dfrac{15}{8}$

$\dfrac{15}{7}$

$x=\log_b 7^7$ significa que $b^x=7^7$ .

$x=\log_b 7^7$ means $b^x=7^7$

Multiplica para combinar las bases: $(7b)^x=7^x\cdot b^x=7^{x+7}$ .

Multiply to combine the bases: $(7b)^x=7^x\cdot b^x=7^{x+7}$

Como $x=\log_b 7^7,$ tenemos $b^x=7^7.$

Entonces $\begin{aligned} (7b)^x=7^x\cdot b^x &= 7^x\cdot7^7 \\ &= 7^{x+7}=8^x. \end{aligned}$

Como $x\gt0,$ se sigue que $7b=8,$ así que $b=\dfrac{8}{7}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since $x=\log_b 7^7,$ we have $b^x=7^7.$

Then $\begin{aligned} (7b)^x=7^x\cdot b^x &= 7^x\cdot7^7 \\ &= 7^{x+7}=8^x. \end{aligned}$

Because $x\gt0,$ it follows that $7b=8,$ so $b=\dfrac{8}{7}.$

Thus, C is the correct answer.