Question

Sea $\begin{aligned} f(n) &= \left(\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\right)^n \\ &\quad {}+ \left(\dfrac{-1 - i\sqrt3}{2}\right)^n, \end{aligned}$ donde $i = \sqrt{-1}.$ ¿Cuánto vale $f(2022)$ ?

Let $\begin{aligned} f(n) &= \left(\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\right)^n \\ &\quad {}+ \left(\dfrac{-1 - i\sqrt3}{2}\right)^n, \end{aligned}$ where $i = \sqrt{-1}.$ What is $f(2022)?$

$-2$

$-1$

$0$

$\sqrt3$

$2$

Solución:

Las dos bases son las raíces cúbicas primitivas de la unidad, $\omega = e^{2\pi i/3}$ y su conjugada $\omega^2 = e^{-2\pi i/3}.$ Así, $f(n) = \omega^n + \omega^{-n} = 2\cos\dfrac{2\pi n}{3}.$

Como $2022$ es múltiplo de $3,$ $\omega^{2022} = 1,$ así que $f(2022) = 1 + 1 = 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two bases are the primitive cube roots of unity, $\omega = e^{2\pi i/3}$ and its conjugate $\omega^2 = e^{-2\pi i/3}.$ So $f(n) = \omega^n + \omega^{-n} = 2\cos\dfrac{2\pi n}{3}.$

Since $2022$ is a multiple of $3,$ $\omega^{2022} = 1,$ so $f(2022) = 1 + 1 = 2.$

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años