Question

Las figuras $F_1,$ $F_2,$ $F_3,$ y $F_4$ que se muestran son las primeras de una sucesión de figuras. Para $n \ge 3,$ $F_n$ se construye a partir de $F_{n-1}$ rodeándola con un cuadrado y colocando en cada lado del nuevo cuadrado un rombo más de los que $F_{n-1}$ tenía en cada lado de su cuadrado exterior. Por ejemplo, la figura $F_3$ tiene $13$ rombos. ¿Cuántos rombos hay en la figura $F_{20}$ ?

The figures $F_1,$ $F_2,$ $F_3,$ and $F_4$ shown are the first in a sequence of figures. For $n \ge 3,$ $F_n$ is constructed from $F_{n-1}$ by surrounding it with a square and placing one more diamond on each side of the new square than $F_{n-1}$ had on each side of its outside square. For example, figure $F_3$ has $13$ diamonds. How many diamonds are there in figure $F_{20}?$

$401$

$485$

$585$

$626$

$761$

Solución:

El cuadrado exterior de $F_n$ tiene $4$ rombos más que el de $F_{n-1},$ y el cuadrado exterior de $F_2$ tiene $4,$ así que el cuadrado exterior de $F_n$ tiene $4(n - 1)$ rombos.

Sumando todos los anillos, $\begin{gathered} 1 + 4\big(1 + 2 + \cdots + (n - 1)\big) \\ = 1 + 4\cdot\frac{(n - 1)n}{2} \\ = 1 + 2(n - 1)n. \end{gathered}$

Para $n = 20,$ esto es $1 + 2\cdot 19\cdot 20 = 761.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The outside square of $F_n$ has $4$ more diamonds than that of $F_{n-1},$ and the outside square of $F_2$ has $4,$ so the outside square of $F_n$ has $4(n - 1)$ diamonds.

Adding all the rings, $\begin{gathered} 1 + 4\big(1 + 2 + \cdots + (n - 1)\big) \\ = 1 + 4\cdot\frac{(n - 1)n}{2} \\ = 1 + 2(n - 1)n. \end{gathered}$

For $n = 20,$ this is $1 + 2\cdot 19\cdot 20 = 761.$

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 12A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años