Soluciones del 2009 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

El vuelo de Kim despegó de Newark a las $10{:}34$ am y aterrizó en Miami a la $1{:}18$ pm. Ambas ciudades están en la misma zona horaria. Si su vuelo duró $h$ horas y $m$ minutos, con $0 \le m \lt 60,$ ¿cuánto vale $h + m$ ?

Kim’s flight took off from Newark at $10{:}34$ am and landed in Miami at $1{:}18$ pm. Both cities are in the same time zone. If her flight took $h$ hours and $m$ minutes, with $0 \le m \lt 60,$ what is $h + m?$

$46$

$47$

$50$

$53$

$54$

Conceptos:fecha y hora reloj

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Cuenta los minutos desde las $10{:}34$ am hasta las $11{:}00$ am, y luego continúa a partir de ahí.

Count the minutes from $10{:}34$ am up to $11{:}00$ am, then continue from there

Pista grande:

El vuelo dura $2$ horas y $26 + 18$ minutos.

The flight lasts $2$ hours and $26 + 18$ minutes

Solución:

De las $10{:}34$ am a las $11{:}00$ am hay $26$ minutos, de las $11{:}00$ am a la $1{:}00$ pm hay $2$ horas, y de la $1{:}00$ pm a la $1{:}18$ pm hay $18$ minutos.

Así que el vuelo duró $2$ horas y $26 + 18 = 44$ minutos. Por lo tanto $h = 2,$ $m = 44,$ y $h + m = 46.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From $10{:}34$ am to $11{:}00$ am is $26$ minutes, from $11{:}00$ am to $1{:}00$ pm is $2$ hours, and from $1{:}00$ pm to $1{:}18$ pm is $18$ minutes.

So the flight lasted $2$ hours and $26 + 18 = 44$ minutes. Thus $h = 2,$ $m = 44,$ and $h + m = 46.$

Thus, the correct answer is A.

2.

¿A cuál de los siguientes valores es igual $1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + 1}}?$

Which of the following is equal to $1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1 + 1}}?$

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$2$

$3$

Conceptos:fracción continua fracción

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Trabaja desde la fracción más interna hacia afuera.

Work outward from the innermost fraction

Pista grande:

Primero simplifica $1 + \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{3}{2},$ y luego toma su recíproco.

First simplify $1 + \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{3}{2},$ then take its reciprocal

Solución:

Empezando por dentro, $1 + 1 = 2,$ así que $1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.$ Luego $\dfrac{1}{\frac{3}{2}} = \dfrac{2}{3},$ y $1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Starting inside, $1 + 1 = 2,$ so $1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.$ Then $\dfrac{1}{\frac{3}{2}} = \dfrac{2}{3},$ and $1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

3.

¿Qué número está a un tercio del camino de $\dfrac{1}{4}$ a $\dfrac{3}{4}$ ?

What number is one third of the way from $\dfrac{1}{4}$ to $\dfrac{3}{4}?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{5}{12}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{7}{12}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:fracción razón y proporción

Nivel de dificultad: 1050

Pista pequeña:

La distancia de $\dfrac{1}{4}$ a $\dfrac{3}{4}$ es $\dfrac{1}{2}$ .

The distance from $\dfrac{1}{4}$ to $\dfrac{3}{4}$ is $\dfrac{1}{2}$

Pista grande:

Suma un tercio de esa distancia a $\dfrac{1}{4}$ .

Add one third of that distance to $\dfrac{1}{4}$

Solución:

El intervalo es $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}.$ Avanzar un tercio del camino suma $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}.$

Así que el número es $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The gap is $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}.$ One third of the way adds $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}.$

So the number is $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}.$

Thus, the correct answer is B.

4.

Se sacan cuatro monedas de una alcancía que contiene una colección de monedas de un centavo, de cinco centavos, de diez centavos y de veinticinco centavos. ¿Cuál de los siguientes no podría ser el valor total de las cuatro monedas, en centavos?

Four coins are picked out of a piggy bank that contains a collection of pennies, nickels, dimes, and quarters. Which of the following could not be the total value of the four coins, in cents?

$15$

$25$

$35$

$45$

$55$

Conceptos:dinero múltiplo análisis por casos

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Una selección que incluya al menos una moneda de un centavo no puede sumar un múltiplo de $5$ .

A selection that includes at least one penny cannot total a multiple of $5$

Pista grande:

Sin una moneda de un centavo, las cuatro monedas valen al menos $5$ centavos cada una.

Without a penny, all four coins are worth at least $5$ cents each

Solución:

Si las cuatro monedas incluyen una de un centavo, el total no es múltiplo de $5,$ así que no puede ser ninguno de los cinco valores listados, todos múltiplos de $5.$ Si no hay ninguna de un centavo, cada moneda vale al menos $5$ centavos, por lo que el total es al menos $20$ centavos. En cualquier caso, $15$ es imposible.

Los demás valores son alcanzables: $25 = 10 + 5 + 5 + 5,$ $35 = 10 + 10 + 10 + 5,$ $45 = 25 + 10 + 5 + 5,$ y $55 = 25 + 10 + 10 + 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the four coins include a penny, the total is not a multiple of $5,$ so it cannot equal any of the five listed multiples of $5.$ If there is no penny, every coin is worth at least $5$ cents, so the total is at least $20$ cents. Either way, $15$ is impossible.

The other amounts are attainable: $25 = 10 + 5 + 5 + 5,$ $35 = 10 + 10 + 10 + 5,$ $45 = 25 + 10 + 5 + 5,$ and $55 = 25 + 10 + 10 + 10.$

Thus, the correct answer is A.

5.

Una dimensión de un cubo se aumenta en $1,$ otra se disminuye en $1,$ y la tercera se deja sin cambios. El volumen del nuevo sólido rectangular es $5$ menos que el del cubo. ¿Cuál era el volumen del cubo?

One dimension of a cube is increased by $1,$ another is decreased by $1,$ and the third is left unchanged. The volume of the new rectangular solid is $5$ less than that of the cube. What was the volume of the cube?

$8$

$27$

$64$

$125$

$216$

Conceptos:volumen diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Sea $x$ la longitud del lado del cubo y escribe el nuevo volumen como un producto.

Let the cube have side length $x$ and write the new volume as a product

Pista grande:

El nuevo sólido tiene volumen $x(x+1)(x-1) = x^3 - x$ .

The new solid has volume $x(x+1)(x-1) = x^3 - x$

Solución:

El lado del cubo mide $x.$ El nuevo sólido tiene dimensiones $x + 1,$ $x - 1,$ y $x,$ así que su volumen es $x(x+1)(x-1) = x^3 - x.$

Igualando esto a $x^3 - 5$ se obtiene $x^3 - x = x^3 - 5,$ así que $x = 5.$

El volumen del cubo es $5^3 = 125.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the cube have side length $x.$ The new solid has dimensions $x + 1,$ $x - 1,$ and $x,$ so its volume is $x(x+1)(x-1) = x^3 - x.$

Setting this equal to $x^3 - 5$ gives $x^3 - x = x^3 - 5,$ so $x = 5.$

The cube’s volume is $5^3 = 125.$

Thus, the correct answer is D.

6.

Supón que $P = 2^m$ y $Q = 3^n.$ ¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a $12^{mn}$ para todo par de enteros $(m, n)$ ?

Suppose that $P = 2^m$ and $Q = 3^n.$ Which of the following is equal to $12^{mn}$ for every pair of integers $(m, n)?$

$P^2 Q$

$P^n Q^m$

$P^n Q^{2m}$

$P^{2m} Q^n$

$P^{2n} Q^m$

Conceptos:exponente sustitución

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Escribe $12 = 2^2 \cdot 3$ .

Write $12 = 2^2 \cdot 3$

Pista grande:

Entonces $12^{mn} = 2^{2mn} \cdot 3^{mn}$ $= (2^m)^{2n}(3^n)^m$ .

Then $12^{mn} = 2^{2mn} \cdot 3^{mn}$ $= (2^m)^{2n}(3^n)^m$

Solución:

Como $12 = 2^2 \cdot 3,$ $\begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n}(3^n)^m \\ &= P^{2n}Q^m. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $12 = 2^2 \cdot 3,$ $\begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n}(3^n)^m \\ &= P^{2n}Q^m. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

7.

Los primeros tres términos de una progresión aritmética son $2x - 3,$ $5x - 11,$ y $3x + 1$ respectivamente. El $n$ -ésimo término de la progresión es $2009.$ ¿Cuánto vale $n$ ?

The first three terms of an arithmetic sequence are $2x - 3,$ $5x - 11,$ and $3x + 1$ respectively. The $n$ th term of the sequence is $2009.$ What is $n?$

$255$

$502$

$1004$

$1506$

$8037$

Conceptos:sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Las diferencias consecutivas son iguales: $(5x - 11) - (2x - 3)$ $= (3x + 1) - (5x - 11)$ .

Consecutive differences are equal: $(5x - 11) - (2x - 3)$ $= (3x + 1) - (5x - 11)$

Pista grande:

Despeja $x,$ y luego halla el primer término y la diferencia común.

Solve for $x,$ then find the first term and common difference

Solución:

Las diferencias consecutivas iguales dan $(5x - 11) - (2x - 3)$ $= (3x + 1) - (5x - 11),$ es decir $3x - 8 = -2x + 12,$ así que $x = 4.$

Los primeros tres términos son $5, 9, 13,$ con diferencia común $4.$

El $n$ -ésimo término satisface $2009 = 5 + (n - 1)\cdot 4,$ así que $n - 1 = 501$ y $n = 502.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Equal consecutive differences give $(5x - 11) - (2x - 3)$ $= (3x + 1) - (5x - 11),$ that is $3x - 8 = -2x + 12,$ so $x = 4.$

The first three terms are $5, 9, 13,$ with common difference $4.$

The $n$ th term satisfies $2009 = 5 + (n - 1)\cdot 4,$ so $n - 1 = 501$ and $n = 502.$

Thus, the correct answer is B.

8.

Se colocan cuatro rectángulos congruentes como se muestra. El área del cuadrado exterior es $4$ veces la del cuadrado interior. ¿Cuál es la razón entre la longitud del lado más largo de cada rectángulo y la longitud de su lado más corto?

Four congruent rectangles are placed as shown. The area of the outer square is $4$ times that of the inner square. What is the ratio of the length of the longer side of each rectangle to the length of its shorter side?

$3$

$\sqrt{10}$

$2 + \sqrt{2}$

$2\sqrt{3}$

$4$

Conceptos:razón de áreas cuadrado (geometría)sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Sea $x$ el lado más corto de cada rectángulo y $y$ el más largo.

Let each rectangle have shorter side $x$ and longer side $y$

Pista grande:

El cuadrado exterior tiene lado $x + y,$ el interior tiene lado $y - x,$ y la razón de sus lados es $\sqrt{4} = 2$ .

The outer square has side $x + y,$ the inner square has side $y - x,$ and their side ratio is $\sqrt{4} = 2$

Solución:

Los rectángulos tienen lado más corto $x$ y lado más largo $y.$ El cuadrado exterior tiene lado $x + y$ y el interior tiene lado $y - x.$

Como el área exterior es $4$ veces la interior, la razón de los lados es $\sqrt{4} = 2,$ así que $x + y = 2(y - x).$

Esto da $y = 3x,$ así que la razón del lado más largo al más corto es $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the rectangles have shorter side $x$ and longer side $y.$ The outer square has side $x + y$ and the inner square has side $y - x.$

Since the outer area is $4$ times the inner area, the side ratio is $\sqrt{4} = 2,$ so $x + y = 2(y - x).$

This gives $y = 3x,$ so the ratio of longer to shorter side is $3.$

Thus, the correct answer is A.

9.

Supón que $f(x + 3) = 3x^2 + 7x + 4$ y $f(x) = ax^2 + bx + c.$ ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

Suppose that $f(x + 3) = 3x^2 + 7x + 4$ and $f(x) = ax^2 + bx + c.$ What is $a + b + c?$

$-1$

$0$

$1$

$2$

$3$

Conceptos:función sustitución

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

$a + b + c = f(1)$ .

$a + b + c = f(1)$

Pista grande:

Escribe $1 = (-2) + 3$ y usa la fórmula dada para $f(x + 3)$ .

Write $1 = (-2) + 3$ and use the given formula for $f(x + 3)$

Solución:

Nota que $a + b + c = f(1).$

Usando $f(x + 3) = 3x^2 + 7x + 4$ con $x = -2$ se obtiene $\begin{aligned} f(1) &= f(-2 + 3) \\ &= 3(-2)^2 + 7(-2) + 4 \\ &= 12 - 14 + 4 = 2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Note that $a + b + c = f(1).$

Using $f(x + 3) = 3x^2 + 7x + 4$ with $x = -2$ gives $\begin{aligned} f(1) &= f(-2 + 3) \\ &= 3(-2)^2 + 7(-2) + 4 \\ &= 12 - 14 + 4 = 2. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

10.

En el cuadrilátero $ABCD,$ $AB = 5,$ $BC = 17,$ $CD = 5,$ $DA = 9,$ y $BD$ es un entero. ¿Cuánto vale $BD$ ?

In quadrilateral $ABCD,$ $AB = 5,$ $BC = 17,$ $CD = 5,$ $DA = 9,$ and $BD$ is an integer. What is $BD?$

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Conceptos:desigualdad triangular acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Aplica la desigualdad triangular a $\triangle BCD$ y $\triangle ABD$ .

Apply the triangle inequality to $\triangle BCD$ and $\triangle ABD$

Pista grande:

Del $\triangle BCD,$ $BD \gt 12,$ y del $\triangle ABD,$ $BD \lt 14$ .

From $\triangle BCD,$ $BD \gt 12,$ and from $\triangle ABD,$ $BD \lt 14$

Solución:

En $\triangle BCD,$ la desigualdad triangular da $BD + CD \gt BC,$ así que $BD + 5 \gt 17$ y $BD \gt 12.$

En $\triangle ABD,$ $AB + DA \gt BD,$ así que $BD \lt 5 + 9 = 14.$

El único entero con $12 \lt BD \lt 14$ es $13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In $\triangle BCD,$ the triangle inequality gives $BD + CD \gt BC,$ so $BD + 5 \gt 17$ and $BD \gt 12.$

In $\triangle ABD,$ $AB + DA \gt BD,$ so $BD \lt 5 + 9 = 14.$

The only integer with $12 \lt BD \lt 14$ is $13.$

Thus, the correct answer is C.

11.

Las figuras $F_1,$ $F_2,$ $F_3,$ y $F_4$ que se muestran son las primeras de una sucesión de figuras. Para $n \ge 3,$ $F_n$ se construye a partir de $F_{n-1}$ rodeándola con un cuadrado y colocando en cada lado del nuevo cuadrado un rombo más de los que $F_{n-1}$ tenía en cada lado de su cuadrado exterior. Por ejemplo, la figura $F_3$ tiene $13$ rombos. ¿Cuántos rombos hay en la figura $F_{20}$ ?

The figures $F_1,$ $F_2,$ $F_3,$ and $F_4$ shown are the first in a sequence of figures. For $n \ge 3,$ $F_n$ is constructed from $F_{n-1}$ by surrounding it with a square and placing one more diamond on each side of the new square than $F_{n-1}$ had on each side of its outside square. For example, figure $F_3$ has $13$ diamonds. How many diamonds are there in figure $F_{20}?$

$401$

$485$

$585$

$626$

$761$

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

El cuadrado exterior de $F_n$ tiene $4(n - 1)$ rombos.

The outside square of $F_n$ has $4(n - 1)$ diamonds

Pista grande:

Sumando sobre todos los anillos, $F_n$ tiene $1 + 4\big(1 + 2 + \cdots + (n - 1)\big)$ rombos.

Summing over all rings, $F_n$ has $1 + 4\big(1 + 2 + \cdots + (n - 1)\big)$ diamonds

Solución:

El cuadrado exterior de $F_n$ tiene $4$ rombos más que el de $F_{n-1},$ y el cuadrado exterior de $F_2$ tiene $4,$ así que el cuadrado exterior de $F_n$ tiene $4(n - 1)$ rombos.

Sumando todos los anillos, $\begin{gathered} 1 + 4\big(1 + 2 + \cdots + (n - 1)\big) \\ = 1 + 4\cdot\frac{(n - 1)n}{2} \\ = 1 + 2(n - 1)n. \end{gathered}$

Para $n = 20,$ esto es $1 + 2\cdot 19\cdot 20 = 761.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The outside square of $F_n$ has $4$ more diamonds than that of $F_{n-1},$ and the outside square of $F_2$ has $4,$ so the outside square of $F_n$ has $4(n - 1)$ diamonds.

Adding all the rings, $\begin{gathered} 1 + 4\big(1 + 2 + \cdots + (n - 1)\big) \\ = 1 + 4\cdot\frac{(n - 1)n}{2} \\ = 1 + 2(n - 1)n. \end{gathered}$

For $n = 20,$ this is $1 + 2\cdot 19\cdot 20 = 761.$

Thus, the correct answer is E.

12.

¿Cuántos enteros positivos menores que $1000$ son $6$ veces la suma de sus dígitos?

How many positive integers less than $1000$ are $6$ times the sum of their digits?

$0$

$1$

$2$

$4$

$12$

Conceptos:dígitos acotación a casos límite análisis por casos

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Si $N$ es igual a $6$ veces la suma de sus dígitos, entonces $N$ es múltiplo de $6$ y $N$ es pequeño.

If $N$ equals $6$ times its digit sum, then $N$ is a multiple of $6$ and $N$ is small

Pista grande:

La suma de los dígitos de un número menor que $1000$ es a lo sumo $27,$ así que $N \le 162$ .

The digit sum of a number below $1000$ is at most $27,$ so $N \le 162$

Solución:

Si $N = 6\cdot(\text{suma de dígitos}),$ entonces, dado que la suma de los dígitos de un número menor que $1000$ es a lo sumo $27,$ tenemos $N \le 162.$

Para un número de dos dígitos, $10t + u = 6(t + u)$ da $4t = 5u,$ lo que obliga a $t = 5$ y $u = 4,$ así que $N = 54.$ Un número de un dígito necesitaría $6u = u,$ imposible para $u \gt 0.$ Un número de tres dígitos $100h + 10t + u = 6(h + t + u)$ da $94h + 4t = 5u,$ cuyo lado izquierdo es al menos $94$ mientras el lado derecho es a lo sumo $45,$ así que no hay solución.

Por lo tanto, exactamente un número, $54,$ funciona.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If $N = 6\cdot(\text{digit sum}),$ then since the digit sum of a number below $1000$ is at most $27,$ we have $N \le 162.$

For a two-digit number $10t + u = 6(t + u)$ gives $4t = 5u,$ forcing $t = 5$ and $u = 4,$ so $N = 54.$ A one-digit number would need $6u = u,$ impossible for $u \gt 0.$ A three-digit number $100h + 10t + u = 6(h + t + u)$ gives $94h + 4t = 5u,$ whose left side is at least $94$ while the right side is at most $45,$ so there is no solution.

Hence exactly one number, $54,$ works.

Thus, the correct answer is B.

13.

Un barco navega $10$ millas en línea recta de $A$ a $B,$ gira un ángulo entre $45^\circ$ y $60^\circ,$ y luego navega otras $20$ millas hasta $C.$ Sea $AC$ medido en millas. ¿Cuál de los siguientes intervalos contiene $AC^2$ ?

A ship sails $10$ miles in a straight line from $A$ to $B,$ turns through an angle between $45^\circ$ and $60^\circ,$ and then sails another $20$ miles to $C.$ Let $AC$ be measured in miles. Which of the following intervals contains $AC^2?$

$[400, 500]$

$[500, 600]$

$[600, 700]$

$[700, 800]$

$[800, 900]$

Conceptos:ley de los cosenos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Por la ley de cosenos, $AC^2 = 10^2$ $+ 20^2$ $- 2\cdot 10\cdot 20\cos(\angle ABC)$ .

By the Law of Cosines, $AC^2 = 10^2$ $+ 20^2$ $- 2\cdot 10\cdot 20\cos(\angle ABC)$

Pista grande:

El giro es entre $45^\circ$ y $60^\circ,$ así que $\angle ABC$ está entre $120^\circ$ y $135^\circ$ .

The turn is between $45^\circ$ and $60^\circ,$ so $\angle ABC$ is between $120^\circ$ and $135^\circ$

Solución:

Por la ley de cosenos, $\begin{aligned} AC^2 &= 10^2 + 20^2 \\ &\quad {}- 2\cdot 10\cdot 20\cos(\angle ABC) \\ &= 500 - 400\cos(\angle ABC). \end{aligned}$

El barco gira un ángulo entre $45^\circ$ y $60^\circ,$ así que el ángulo interior $\angle ABC$ está entre $120^\circ$ y $135^\circ.$

Como $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$ y $\cos 135^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},$ $\begin{aligned} 700 &= 500 + 200 \\ &\le AC^2 \le 500 + 200\sqrt{2} \\ &\lt 800. \end{aligned}$

Así que $AC^2$ está en $[700, 800].$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the Law of Cosines, $\begin{aligned} AC^2 &= 10^2 + 20^2 \\ &\quad {}- 2\cdot 10\cdot 20\cos(\angle ABC) \\ &= 500 - 400\cos(\angle ABC). \end{aligned}$

The ship turns through an angle between $45^\circ$ and $60^\circ,$ so the interior angle $\angle ABC$ lies between $120^\circ$ and $135^\circ.$

Since $\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}$ and $\cos 135^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},$ $\begin{aligned} 700 &= 500 + 200 \\ &\le AC^2 \le 500 + 200\sqrt{2} \\ &\lt 800. \end{aligned}$

So $AC^2$ lies in $[700, 800].$

Thus, the correct answer is D.

14.

Un triángulo tiene vértices $(0, 0),$ $(1, 1),$ y $(6m, 0),$ y la recta $y = mx$ divide el triángulo en dos triángulos de áreas iguales. ¿Cuál es la suma de todos los posibles valores de $m$ ?

A triangle has vertices $(0, 0),$ $(1, 1),$ and $(6m, 0),$ and the line $y = mx$ divides the triangle into two triangles of equal area. What is the sum of all possible values of $m?$

$-\dfrac{1}{3}$

$-\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:geometría analítica mediana (geometría)Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

La recta pasa por el vértice $(0, 0),$ así que para bisecar el área debe pasar por el punto medio del lado opuesto.

The line passes through the vertex $(0, 0),$ so to bisect the area it must hit the midpoint of the opposite side

Pista grande:

Impón que el punto medio del segmento de $(1, 1)$ a $(6m, 0)$ esté sobre la recta $y = mx$ .

Set the midpoint of the segment from $(1, 1)$ to $(6m, 0)$ on the line $y = mx$

Solución:

La recta $y = mx$ pasa por el vértice $(0, 0),$ así que biseca el área del triángulo exactamente cuando pasa por el punto medio del lado opuesto, que une $(1, 1)$ y $(6m, 0).$ Ese punto medio es $\left(\dfrac{6m + 1}{2}, \dfrac{1}{2}\right).$

Exigir que satisfaga $y = mx$ da $\frac{1}{2} = m\cdot\frac{6m + 1}{2},$ así que $6m^2 + m - 1 = 0,$ es decir $(3m - 1)(2m + 1) = 0.$

Los posibles valores son $m = \dfrac{1}{3}$ y $m = -\dfrac{1}{2},$ cuya suma es $-\dfrac{1}{6}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The line $y = mx$ passes through the vertex $(0, 0),$ so it bisects the triangle’s area exactly when it passes through the midpoint of the opposite side, joining $(1, 1)$ and $(6m, 0).$ That midpoint is $\left(\dfrac{6m + 1}{2}, \dfrac{1}{2}\right).$

Requiring it to satisfy $y = mx$ gives $\frac{1}{2} = m\cdot\frac{6m + 1}{2},$ so $6m^2 + m - 1 = 0,$ that is $(3m - 1)(2m + 1) = 0.$

The possible values are $m = \dfrac{1}{3}$ and $m = -\dfrac{1}{2},$ whose sum is $-\dfrac{1}{6}.$

Thus, the correct answer is B.

15.

¿Para qué valor de $n$ se cumple $\begin{aligned} &i + 2i^2 + 3i^3 + \cdots + ni^n \\ &= 48 + 49i? \end{aligned}$ Nota: aquí $i = \sqrt{-1}.$

For what value of $n$ is $\begin{aligned} &i + 2i^2 + 3i^3 + \cdots + ni^n \\ &= 48 + 49i? \end{aligned}$ Note: here $i = \sqrt{-1}.$

$24$

$48$

$49$

$97$

$98$

Conceptos:número complejo emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Agrupa los términos en bloques de cuatro potencias consecutivas de $i$ .

Group the terms in blocks of four consecutive powers of $i$

Pista grande:

Cada bloque $(k + 1)i^{k+1} + \cdots + (k + 4)i^{k+4}$ con $k$ múltiplo de $4$ es igual a $2 - 2i$ .

Each block $(k + 1)i^{k+1} + \cdots + (k + 4)i^{k+4}$ with $k$ a multiple of $4$ equals $2 - 2i$

Solución:

Para $k$ múltiplo de $4,$ $\begin{aligned} &(k + 1)i^{k+1} + (k + 2)i^{k+2} \\ &\quad {}+ (k + 3)i^{k+3} + (k + 4)i^{k+4} \\ &= (k + 1)i - (k + 2) \\ &\quad {}- (k + 3)i + (k + 4) \\ &= 2 - 2i. \end{aligned}$

Sumar los primeros $96$ términos (es decir $24$ bloques) da $24(2 - 2i) = 48 - 48i.$

Sumar el siguiente término $97i^{97} = 97i$ produce $48 - 48i + 97i = 48 + 49i.$ Así que $n = 97.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $k$ a multiple of $4,$ $\begin{aligned} &(k + 1)i^{k+1} + (k + 2)i^{k+2} \\ &\quad {}+ (k + 3)i^{k+3} + (k + 4)i^{k+4} \\ &= (k + 1)i - (k + 2) \\ &\quad {}- (k + 3)i + (k + 4) \\ &= 2 - 2i. \end{aligned}$

Summing the first $96$ terms (that is $24$ blocks) gives $24(2 - 2i) = 48 - 48i.$

Adding the next term $97i^{97} = 97i$ yields $48 - 48i + 97i = 48 + 49i.$ So $n = 97.$

Thus, the correct answer is D.

16.

Un círculo con centro $C$ es tangente a los semiejes positivos $x$ e $y$ , y tangente externamente al círculo centrado en $(3, 0)$ de radio $1.$ ¿Cuál es la suma de todos los posibles radios del círculo con centro $C$ ?

A circle with center $C$ is tangent to the positive $x$ - and $y$ -axes and externally tangent to the circle centered at $(3, 0)$ with radius $1.$ What is the sum of all possible radii of the circle with center $C?$

$3$

$4$

$6$

$8$

$9$

Conceptos:circunferencias tangentes geometría analítica Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Un círculo tangente a ambos semiejes positivos con radio $r$ tiene centro $(r, r)$ .

A circle tangent to both positive axes with radius $r$ has center $(r, r)$

Pista grande:

La tangencia externa da distancia $r + 1$ entre $(r, r)$ y $(3, 0);$ forma una ecuación cuadrática en $r$ y usa Vieta.

External tangency gives distance $r + 1$ between $(r, r)$ and $(3, 0);$ form a quadratic in $r$ and use Vieta

Solución:

Un círculo tangente a ambos semiejes positivos con radio $r$ tiene centro $(r, r).$ La tangencia externa con el círculo en $(3, 0)$ de radio $1$ significa que la distancia entre centros es $r + 1$ : $(r - 3)^2 + r^2 = (r + 1)^2.$

Desarrollando se obtiene $r^2 - 8r + 8 = 0.$ Ambas raíces $r = 4 \pm 2\sqrt{2}$ son positivas, y por las fórmulas de Vieta su suma es $8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A circle tangent to both positive axes with radius $r$ has center $(r, r).$ External tangency to the circle at $(3, 0)$ of radius $1$ means the distance between centers is $r + 1$ : $(r - 3)^2 + r^2 = (r + 1)^2.$

Expanding gives $r^2 - 8r + 8 = 0.$ Both roots $r = 4 \pm 2\sqrt{2}$ are positive, and by Vieta’s formulas their sum is $8.$

Thus, the correct answer is D.

17.

Sean $a + ar_1 + ar_1^2 + ar_1^3 + \cdots$ y $a + ar_2 + ar_2^2 + ar_2^3 + \cdots$ dos series geométricas infinitas distintas de números positivos con el mismo primer término. La suma de la primera serie es $r_1,$ y la suma de la segunda serie es $r_2.$ ¿Cuánto vale $r_1 + r_2$ ?

Let $a + ar_1 + ar_1^2 + ar_1^3 + \cdots$ and $a + ar_2 + ar_2^2 + ar_2^3 + \cdots$ be two different infinite geometric series of positive numbers with the same first term. The sum of the first series is $r_1,$ and the sum of the second series is $r_2.$ What is $r_1 + r_2?$

$0$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$2$

Conceptos:sucesión geométrica Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

La suma de una serie geométrica infinita con primer término $a$ y razón $r$ es $\dfrac{a}{1 - r}$ .

The sum of an infinite geometric series with first term $a$ and ratio $r$ is $\dfrac{a}{1 - r}$

Pista grande:

Cada razón satisface $\dfrac{a}{1 - r} = r,$ es decir $r^2 - r + a = 0;$ usa Vieta sobre las dos raíces.

Each ratio satisfies $\dfrac{a}{1 - r} = r,$ that is $r^2 - r + a = 0;$ use Vieta on the two roots

Solución:

Para una serie con primer término $a$ y razón $r,$ la suma es $\dfrac{a}{1 - r} = r,$ así que $r^2 - r + a = 0.$

Tanto $r_1$ como $r_2$ satisfacen esta misma ecuación cuadrática, y como las dos series son distintas, $r_1 \ne r_2,$ así que son sus dos raíces distintas. Por las fórmulas de Vieta, $r_1 + r_2 = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For a series with first term $a$ and ratio $r,$ the sum is $\dfrac{a}{1 - r} = r,$ so $r^2 - r + a = 0.$

Both $r_1$ and $r_2$ satisfy this same quadratic, and since the two series are different, $r_1 \ne r_2,$ so they are its two distinct roots. By Vieta’s formulas, $r_1 + r_2 = 1.$

Thus, the correct answer is C.

18.

Para $k \gt 0,$ sea $I_k = 10\ldots064,$ donde hay $k$ ceros entre el $1$ y el $6.$ Sea $N(k)$ el número de factores de $2$ en la factorización prima de $I_k.$ ¿Cuál es el valor máximo de $N(k)$ ?

For $k \gt 0,$ let $I_k = 10\ldots064,$ where there are $k$ zeros between the $1$ and the $6.$ Let $N(k)$ be the number of factors of $2$ in the prime factorization of $I_k.$ What is the maximum value of $N(k)?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:factorización en primos suma y diferencia de cubos

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Escribe $I_k = 10^{k+2} + 64 = 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6$ .

Write $I_k = 10^{k+2} + 64 = 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6$

Pista grande:

Factoriza la menor potencia de $2;$ el mayor conteo ocurre en $k = 4,$ donde $5^6 + 1$ aporta un factor de $2$ adicional.

Factor out the smaller power of $2;$ the largest count comes at $k = 4,$ where $5^6 + 1$ supplies one extra factor of $2$

Solución:

Nota que $I_k = 10^{k+2} + 64$ $= 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6.$

Para $k \lt 4$ el primer término tiene menos de $6$ factores de $2,$ así que $N(k) \lt 6.$ Para $k \gt 4$ el primer término es divisible por $2^7$ pero el término $2^6$ no lo es, así que $N(k) \lt 7.$

Para $k = 4,$ $I_4 = 2^6(5^6 + 1).$ Como $5^6 + 1$ $= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)$ $= 26\cdot 601,$ y $26 = 2\cdot 13$ aporta exactamente un factor más de $2,$ obtenemos $N(4) = 7.$

Así que el valor máximo es $7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Note that $I_k = 10^{k+2} + 64$ $= 2^{k+2}5^{k+2} + 2^6.$

For $k \lt 4$ the first term has fewer than $6$ factors of $2,$ so $N(k) \lt 6.$ For $k \gt 4$ the first term is divisible by $2^7$ but the $2^6$ term is not, so $N(k) \lt 7.$

For $k = 4,$ $I_4 = 2^6(5^6 + 1).$ Since $5^6 + 1$ $= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)$ $= 26\cdot 601,$ and $26 = 2\cdot 13$ contributes exactly one more factor of $2,$ we get $N(4) = 7.$

So the maximum value is $7.$

Thus, the correct answer is B.

19.

Andrea inscribió un círculo dentro de un pentágono regular, circunscribió un círculo alrededor del pentágono, y calculó el área de la región entre los dos círculos. Bethany hizo lo mismo con un heptágono regular ( $7$ lados). Las áreas de las dos regiones fueron $A$ y $B,$ respectivamente. Cada polígono tenía longitud de lado $2.$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Andrea inscribed a circle inside a regular pentagon, circumscribed a circle around the pentagon, and calculated the area of the region between the two circles. Bethany did the same with a regular heptagon ( $7$ sides). The areas of the two regions were $A$ and $B,$ respectively. Each polygon had a side length of $2.$ Which of the following is true?

$A = \dfrac{25}{49}B$

$A = \dfrac{5}{7}B$

$A = B$

$A = \dfrac{7}{5}B$

$A = \dfrac{49}{25}B$

Conceptos:polígono regular Teorema de Pitágoras área del círculo

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Para un polígono regular de lado $2,$ sean $r$ y $R$ el inradio y el circunradio, y observa el centro, el punto medio de un lado y su extremo.

For a regular polygon with side $2,$ let $r$ and $R$ be the inradius and circumradius, and look at the center, a side’s midpoint, and its endpoint

Pista grande:

Ese triángulo rectángulo tiene catetos $r$ y $1$ e hipotenusa $R,$ así que $R^2 - r^2 = 1$ sin importar el número de lados.

That right triangle has legs $r$ and $1$ and hypotenuse $R,$ so $R^2 - r^2 = 1$ regardless of the number of sides

Solución:

Para un polígono regular de lado $2,$ sea $O$ el centro, $M$ el punto medio de un lado, y $N$ un extremo de ese lado. Entonces $\triangle OMN$ tiene un ángulo recto en $M,$ con $MN = 1,$ $OM = r$ (inradio), y $ON = R$ (circunradio).

Así que $R^2 - r^2 = 1,$ y el área entre los círculos es $\pi(R^2 - r^2) = \pi$ para cualquier número de lados. Por lo tanto $A = B.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For a regular polygon with side length $2,$ let $O$ be the center, $M$ the midpoint of a side, and $N$ an endpoint of that side. Then $\triangle OMN$ has a right angle at $M,$ with $MN = 1,$ $OM = r$ (inradius), and $ON = R$ (circumradius).

So $R^2 - r^2 = 1,$ and the area between the circles is $\pi(R^2 - r^2) = \pi$ for any number of sides. Hence $A = B.$

Thus, the correct answer is C.

20.

El cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene $AB = 9$ y $CD = 12.$ Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $E,$ $AC = 14,$ y $\triangle AED$ y $\triangle BEC$ tienen áreas iguales. ¿Cuánto vale $AE$ ?

Convex quadrilateral $ABCD$ has $AB = 9$ and $CD = 12.$ Diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $E,$ $AC = 14,$ and $\triangle AED$ and $\triangle BEC$ have equal areas. What is $AE?$

$\dfrac{9}{2}$

$\dfrac{50}{11}$

$\dfrac{21}{4}$

$\dfrac{17}{3}$

$6$

Conceptos:rectas paralelas semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Las áreas iguales de $\triangle AED$ y $\triangle BEC$ implican que $\triangle ACD$ y $\triangle BCD$ tienen áreas iguales.

Equal areas of $\triangle AED$ and $\triangle BEC$ imply $\triangle ACD$ and $\triangle BCD$ have equal areas

Pista grande:

Esto obliga a $AB \parallel CD,$ haciendo que $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ con razón $\dfrac{9}{12}$ .

That forces $AB \parallel CD,$ making $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ with ratio $\dfrac{9}{12}$

Solución:

Sumar $\triangle CED$ a cada uno de $\triangle AED$ y $\triangle BEC$ muestra que $\triangle ACD$ y $\triangle BCD$ tienen áreas iguales. Comparten la base $CD,$ así que $A$ y $B$ equidistan de la recta $CD,$ lo que significa $AB \parallel CD.$

Entonces $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ con razón $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4},$ así que $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{3}{4}.$

Escribiendo $AE = 3x$ y $EC = 4x,$ obtenemos $7x = AC = 14,$ así que $x = 2$ y $AE = 6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Adding $\triangle CED$ to each of $\triangle AED$ and $\triangle BEC$ shows $\triangle ACD$ and $\triangle BCD$ have equal areas. They share base $CD,$ so $A$ and $B$ are equidistant from line $CD,$ meaning $AB \parallel CD.$

Then $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ with ratio $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4},$ so $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{3}{4}.$

Writing $AE = 3x$ and $EC = 4x,$ we get $7x = AC = 14,$ so $x = 2$ and $AE = 6.$

Thus, the correct answer is E.

21.

Sea $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son números complejos. Supón que $\begin{gathered} p(2009 + 9002\pi i) \\ = p(2009) \\ = p(9002) = 0. \end{gathered}$ ¿Cuál es el número de ceros no reales de $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c$ ?

Let $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are complex numbers. Suppose that $\begin{gathered} p(2009 + 9002\pi i) \\ = p(2009) \\ = p(9002) = 0. \end{gathered}$ What is the number of nonreal zeros of $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c?$

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

Conceptos:polinomio número complejo raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Nota que $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4)$ .

Notice that $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4)$

Pista grande:

Así que los ceros satisfacen $x^4 = 2009 + 9002\pi i,$ $x^4 = 2009,$ o $x^4 = 9002;$ cuenta las raíces cuartas no reales.

So the zeros satisfy $x^4 = 2009 + 9002\pi i,$ $x^4 = 2009,$ or $x^4 = 9002;$ count the nonreal fourth roots

Solución:

Como $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4),$ un valor es un cero exactamente cuando $x^4$ es igual a una de las raíces de $p,$ a saber $2009 + 9002\pi i,$ $2009,$ o $9002.$

La ecuación $x^4 = 2009 + 9002\pi i$ tiene cuatro raíces no reales distintas. Cada una de $x^4 = 2009$ y $x^4 = 9002$ tiene dos raíces reales y dos raíces no reales.

Así que los ceros no reales suman $4 + 2 + 2 = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4),$ a value is a zero exactly when $x^4$ equals one of the roots of $p,$ namely $2009 + 9002\pi i,$ $2009,$ or $9002.$

The equation $x^4 = 2009 + 9002\pi i$ has four distinct nonreal roots. Each of $x^4 = 2009$ and $x^4 = 9002$ has two real roots and two nonreal roots.

So the nonreal zeros number $4 + 2 + 2 = 8.$

Thus, the correct answer is C.

22.

Un octaedro regular tiene longitud de lado $1.$ Un plano paralelo a dos de sus caras opuestas corta el octaedro en dos sólidos congruentes. El polígono formado por la intersección del plano y el octaedro tiene área $\dfrac{a\sqrt{b}}{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, $a$ y $c$ son primos entre sí, y $b$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

A regular octahedron has side length $1.$ A plane parallel to two of its opposite faces cuts the octahedron into two congruent solids. The polygon formed by the intersection of the plane and the octahedron has area $\dfrac{a\sqrt{b}}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, $a$ and $c$ are relatively prime, and $b$ is not divisible by the square of any prime. What is $a + b + c?$

$10$

$11$

$12$

$13$

$14$

Conceptos:Geometría 3D polígono regular área

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

El plano de corte pasa por los puntos medios de las seis aristas que no pertenecen a las dos caras paralelas.

The cutting plane passes through the midpoints of the six edges that do not belong to the two parallel faces

Pista grande:

Esos puntos medios forman un hexágono regular de lado $\dfrac{1}{2};$ halla su área.

Those midpoints form a regular hexagon with side $\dfrac{1}{2};$ find its area

Solución:

Sean las dos caras paralelas triángulos. El plano pasa por los puntos medios de las seis aristas que no están en esas caras, formando un hexágono equilátero de lado $\dfrac{1}{2},$ que por simetría también es equiángulo y por lo tanto regular.

Un hexágono regular son seis triángulos equiláteros, así que su área es $6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{8}.$

Por lo tanto $a = 3,$ $b = 3,$ $c = 8,$ y $a + b + c = 14.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the two parallel faces be triangles. The plane passes through the midpoints of the six edges not on those faces, forming an equilateral hexagon of side $\dfrac{1}{2},$ which by symmetry is also equiangular and hence regular.

A regular hexagon is six equilateral triangles, so its area is $6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{8}.$

Thus $a = 3,$ $b = 3,$ $c = 8,$ and $a + b + c = 14.$

Thus, the correct answer is E.

23.

Las funciones $f$ y $g$ son cuadráticas, $g(x) = -f(100 - x),$ y la gráfica de $g$ contiene el vértice de la gráfica de $f.$ Las cuatro intersecciones con el eje $x$ en las dos gráficas tienen coordenadas $x$ iguales a $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ y $x_4,$ en orden creciente, y $x_3 - x_2 = 150.$ El valor de $x_4 - x_1$ es $m + n\sqrt{p},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos, y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $m + n + p$ ?

Functions $f$ and $g$ are quadratic, $g(x) = -f(100 - x),$ and the graph of $g$ contains the vertex of the graph of $f.$ The four $x$ -intercepts on the two graphs have $x$ -coordinates $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ and $x_4,$ in increasing order, and $x_3 - x_2 = 150.$ The value of $x_4 - x_1$ is $m + n\sqrt{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, and $p$ is not divisible by the square of any prime. What is $m + n + p?$

$602$

$652$

$702$

$752$

$802$

Conceptos:cuadrática parábola simetría

Nivel de dificultad: 2420

Pista pequeña:

La aplicación $(x, y) \mapsto (100 - x, -y)$ es una rotación de $180^\circ$ alrededor de $(50, 0)$ que envía la gráfica de $f$ a la gráfica de $g$ .

The map $(x, y) \mapsto (100 - x, -y)$ is a $180^\circ$ rotation about $(50, 0)$ that sends the graph of $f$ to the graph of $g$

Pista grande:

Así que las raíces se emparejan como $x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100;$ con $x_3 - x_2 = 150,$ halla $x_2, x_3$ y usa la condición del vértice.

So the roots pair as $x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100;$ with $x_3 - x_2 = 150,$ find $x_2, x_3$ and use the vertex condition

Solución:

Como $g(x) = -f(100 - x),$ las gráficas de $f$ y $g$ son reflexiones una de otra a través del punto $(50, 0),$ así que las cuatro intersecciones se emparejan con $x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100.$

Con $x_3 - x_2 = 150,$ obtenemos $x_2 = -25$ y $x_3 = 125.$

Toma $x_1, x_3$ como las raíces de $f,$ cuyo vértice tiene coordenada $x$ igual a $h = \dfrac{x_1 + x_3}{2},$ así que $x_1 = 2h - 125.$ La condición de que el vértice de $f$ esté sobre la gráfica de $g$ da $\begin{aligned} 1 &= \frac{f(h)}{g(h)} \\ &= \frac{(125 - h)(h - 125)}{-(h + 25)(3h - 225)}, \end{aligned}$ lo que da $h = -25 \pm 75\sqrt{2}.$ Como $x_1 = 2h-125$ debe ser menor que $x_2=-25,$ necesitamos $h \lt 50,$ así que $h = -25-75\sqrt{2}.$

Entonces $x_4 = 100 - x_1,$ así que $\begin{aligned} x_4 - x_1 &= 350 - 4h \\ &= 450 + 300\sqrt{2}. \end{aligned}$ Por lo tanto $m + n + p = 450 + 300 + 2$ $= 752.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $g(x) = -f(100 - x),$ the graphs of $f$ and $g$ are reflections of each other through the point $(50, 0),$ so the four intercepts pair up with $x_2 + x_3 = x_1 + x_4 = 100.$

With $x_3 - x_2 = 150,$ we get $x_2 = -25$ and $x_3 = 125.$

Take $x_1, x_3$ as the roots of $f,$ whose vertex has $x$ -coordinate $h = \dfrac{x_1 + x_3}{2},$ so $x_1 = 2h - 125.$ The condition that the vertex of $f$ lies on the graph of $g$ gives $\begin{aligned} 1 &= \frac{f(h)}{g(h)} \\ &= \frac{(125 - h)(h - 125)}{-(h + 25)(3h - 225)}, \end{aligned}$ which gives $h = -25 \pm 75\sqrt{2}.$ Since $x_1 = 2h-125$ must be less than $x_2=-25,$ we need $h \lt 50,$ so $h = -25-75\sqrt{2}.$

Then $x_4 = 100 - x_1,$ so $\begin{aligned} x_4 - x_1 &= 350 - 4h \\ &= 450 + 300\sqrt{2}. \end{aligned}$ Hence $m + n + p = 450 + 300 + 2$ $= 752.$

Thus, the correct answer is D.

24.

La función torre de doses se define recursivamente como sigue: $T(1) = 2$ y $T(n + 1) = 2^{T(n)}$ para $n \ge 1.$ Sea $A = (T(2009))^{T(2009)}$ y $B = (T(2009))^A.$ ¿Cuál es el mayor entero $k$ tal que $\underbrace{\log_2 \log_2 \log_2 \ldots \log_2}_{k} B$ está definido?

The tower function of twos is defined recursively as follows: $T(1) = 2$ and $T(n + 1) = 2^{T(n)}$ for $n \ge 1.$ Let $A = (T(2009))^{T(2009)}$ and $B = (T(2009))^A.$ What is the largest integer $k$ such that $\underbrace{\log_2 \log_2 \log_2 \ldots \log_2}_{k} B$ is defined?

$2009$

$2010$

$2011$

$2012$

$2013$

Conceptos:recursión logaritmo exponente

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Aplicar repetidamente $\log_2$ quita un nivel de una torre: $\log_2 T(n + 1) = T(n)$ .

Repeatedly applying $\log_2$ peels one level off a tower: $\log_2 T(n + 1) = T(n)$

Pista grande:

Sigue cuántos logaritmos puede resistir $B = (T(2009))^A$ antes de que el valor caiga por debajo de $1$ .

Track how many logs $B = (T(2009))^A$ can survive before the value drops below $1$

Solución:

Como $\log_2 T(n + 1) = T(n),$ cada aplicación de $\log_2$ elimina un $2$ de la cima de una torre de doses.

Escribamos $T_j=T(j),$ y sea $L_j$ el resultado de aplicar $\log_2$ a $B$ exactamente $j$ veces. Los dos primeros resultados son $\begin{aligned} L_1 &= A\,T_{2008}, \\ L_2 &= T_{2009}T_{2008}+T_{2007}. \end{aligned}$

Para la cota inferior, $\begin{aligned} L_3 &\gt \log_2(T_{2009}T_{2008}) \\ &= T_{2008}+T_{2007} \\ &\gt T_{2008}. \end{aligned}$ Al tomar logaritmos repetidamente se obtiene $L_{k+3} \gt T_{2008-k}$ para $0\le k\le 2007.$ En particular, $L_{2010}\gt2,$ así que $L_{2011}\gt1$ y $L_{2012}\gt0.$ Por tanto, $L_{2013}$ está definido.

Para la cota superior, $T_{2007}\lt T_{2008}T_{2009},$ así que $\begin{aligned} L_3 &\lt 1+T_{2007}+T_{2008} \\ &\lt 2T_{2008}, \\ L_4 &\lt 1+T_{2007} \lt T_{2008}. \end{aligned}$ Al repetir la última comparación se obtiene $L_{k+4}\lt T_{2008-k}$ para $0\le k\le2007.$ De aquí, $L_{2011}\lt2.$ Junto con la cota inferior, esto da $0\lt L_{2012}\lt1,$ así que $L_{2013}\lt0.$ Por lo tanto, $L_{2014}$ no está definido, y el mayor valor posible de $k$ es $2013.$

Así, la respuesta correcta es E.

Since $\log_2 T(n + 1) = T(n),$ each application of $\log_2$ strips one $2$ off the top of a tower of twos.

Write $T_j=T(j),$ and let $L_j$ be the result of applying $\log_2$ to $B$ exactly $j$ times. The first two results are $\begin{aligned} L_1 &= A\,T_{2008}, \\ L_2 &= T_{2009}T_{2008}+T_{2007}. \end{aligned}$

For the lower bound, $\begin{aligned} L_3 &\gt \log_2(T_{2009}T_{2008}) \\ &= T_{2008}+T_{2007} \\ &\gt T_{2008}. \end{aligned}$ Repeatedly taking logarithms gives $L_{k+3} \gt T_{2008-k}$ for $0\le k\le 2007.$ In particular, $L_{2010}\gt2,$ so $L_{2011}\gt1$ and $L_{2012}\gt0.$ Thus $L_{2013}$ is defined.

For the upper bound, $T_{2007}\lt T_{2008}T_{2009},$ so $\begin{aligned} L_3 &\lt 1+T_{2007}+T_{2008} \\ &\lt 2T_{2008}, \\ L_4 &\lt 1+T_{2007} \lt T_{2008}. \end{aligned}$ Repeating the last comparison gives $L_{k+4}\lt T_{2008-k}$ for $0\le k\le2007.$ Hence $L_{2011}\lt2.$ Together with the lower bound, this yields $0\lt L_{2012}\lt1,$ so $L_{2013}\lt0.$ Therefore $L_{2014}$ is undefined, and the largest possible $k$ is $2013.$

Thus, the correct answer is E.

25.

Los primeros dos términos de una sucesión son $a_1 = 1$ y $a_2 = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$ Para $n \ge 1,$ $a_{n+2} = \dfrac{a_n + a_{n+1}}{1 - a_n a_{n+1}}.$ ¿Cuánto vale $|a_{2009}|$ ?

The first two terms of a sequence are $a_1 = 1$ and $a_2 = \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$ For $n \ge 1,$ $a_{n+2} = \dfrac{a_n + a_{n+1}}{1 - a_n a_{n+1}}.$ What is $|a_{2009}|?$

$0$

$2 - \sqrt{3}$

$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$1$

$2 + \sqrt{3}$

Conceptos:identidad trigonométrica recursión aritmética modular

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

La recursión coincide con la fórmula de la tangente de una suma $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$ .

The recursion matches the tangent addition formula $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$

Pista grande:

Como $a_1 = \tan\dfrac{\pi}{4}$ y $a_2 = \tan\dfrac{\pi}{6},$ escribe $a_n = \tan\dfrac{\pi c_n}{12}$ y sigue $c_n \bmod 12$ .

Since $a_1 = \tan\dfrac{\pi}{4}$ and $a_2 = \tan\dfrac{\pi}{6},$ write $a_n = \tan\dfrac{\pi c_n}{12}$ and track $c_n \bmod 12$

Solución:

La recursión es exactamente la fórmula de la tangente de una suma, y $a_1 = \tan\dfrac{\pi}{4},$ $a_2 = \tan\dfrac{\pi}{6}.$

Escribiendo $a_n = \tan\dfrac{\pi c_n}{12}$ con $c_1 = 3,$ $c_2 = 2,$ y $c_{n+2} \equiv c_n + c_{n+1} \pmod{12},$ la sucesión $c_n$ es $\begin{gathered} 3, 2, 5, 7, 0, 7, 7, 2, \\ 9, 11, 8, 7, 3, 10, 1, 11, \\ 0, 11, 11, 10, 9, 7, 4, 11, \ldots \end{gathered}$ que es periódica con período $24.$

Como $2009 = 24\cdot 83 + 17,$ $c_{2009} = c_{17} = 0,$ así que $a_{2009} = \tan 0 = 0$ y $|a_{2009}| = 0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The recursion is exactly the tangent addition formula, and $a_1 = \tan\dfrac{\pi}{4},$ $a_2 = \tan\dfrac{\pi}{6}.$

Writing $a_n = \tan\dfrac{\pi c_n}{12}$ with $c_1 = 3,$ $c_2 = 2,$ and $c_{n+2} \equiv c_n + c_{n+1} \pmod{12},$ the sequence $c_n$ is $\begin{gathered} 3, 2, 5, 7, 0, 7, 7, 2, \\ 9, 11, 8, 7, 3, 10, 1, 11, \\ 0, 11, 11, 10, 9, 7, 4, 11, \ldots \end{gathered}$ which is periodic with period $24.$

Since $2009 = 24\cdot 83 + 17,$ $c_{2009} = c_{17} = 0,$ so $a_{2009} = \tan 0 = 0$ and $|a_{2009}| = 0.$

Thus, the correct answer is A.