Question

Como se muestra en la figura de abajo, seis semicírculos están en el interior de un hexágono regular de lado $2$ , de modo que los diámetros de los semicírculos coinciden con los lados del hexágono. ¿Cuál es el área de la región sombreada, dentro del hexágono pero fuera de todos los semicírculos?

As shown in the figure below, six semicircles lie in the interior of a regular hexagon with side length $2$ so that the diameters of the semicircles coincide with the sides of the hexagon. What is the area of the shaded region—inside the hexagon but outside all of the semicircles?

$6\sqrt{3} - 3\pi$

$\dfrac{9\sqrt{3}}{2} - 2\pi$

$\dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\pi}{3}$

$3\sqrt{3} - \pi$

$\dfrac{9\sqrt{3}}{2} - \pi$

Respuesta: D

Conceptos:polígono regular descomposición de áreas inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

El área del hexágono es $\dfrac{3\sqrt3}{2}s^2$ con $s = 2,$ y cada semicírculo tiene radio $1$ .

The hexagon area is $\dfrac{3\sqrt3}{2}s^2$ with $s = 2,$ and each semicircle has radius $1$

Pista grande:

Los semicírculos adyacentes se solapan; resta la unión, teniendo en cuenta las seis lentes de solapamiento.

Adjacent semicircles overlap; subtract the union, accounting for the six overlapping lenses

Solución:

El hexágono tiene área $\tfrac{3\sqrt3}{2}\cdot 2^2 = 6\sqrt3.$ Cada semicírculo tiene radio $1$ y área $\tfrac{\pi}{2},$ sumando $3\pi.$

Los centros de semicírculos adyacentes (puntos medios de los lados) están a distancia $\sqrt3$ , así que cada par adyacente se solapa en una lente de área $2\cos^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right) - \tfrac{\sqrt3}{2} = \tfrac{\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}.$ Hay seis lentes de este tipo.

La unión de los semicírculos tiene área $3\pi - 6\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt3}{2}\right) = \pi + 3\sqrt3.$ Al restarla del hexágono, se obtiene el área sombreada $6\sqrt3 - (\pi + 3\sqrt3) = 3\sqrt3 - \pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The hexagon has area $\tfrac{3\sqrt3}{2}\cdot 2^2 = 6\sqrt3.$ Each semicircle has radius $1$ and area $\tfrac{\pi}{2},$ totaling $3\pi.$

Adjacent semicircle centers (side midpoints) are a distance $\sqrt3$ apart, so each adjacent pair overlaps in a lens of area $2\cos^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right) - \tfrac{\sqrt3}{2} = \tfrac{\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}.$ There are six such lenses.

The union of the semicircles is $3\pi - 6\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt3}{2}\right) = \pi + 3\sqrt3.$ Subtracting from the hexagon gives the shaded area $6\sqrt3 - (\pi + 3\sqrt3) = 3\sqrt3 - \pi.$

Thus, the correct answer is D.

2020 AMC 12B Problema 11

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años