Question

Como se muestra en la figura de abajo, seis semicírculos están en el interior de un hexágono regular de lado $2$ , de modo que los diámetros de los semicírculos coinciden con los lados del hexágono. ¿Cuál es el área de la región sombreada, dentro del hexágono pero fuera de todos los semicírculos?

As shown in the figure below, six semicircles lie in the interior of a regular hexagon with side length $2$ so that the diameters of the semicircles coincide with the sides of the hexagon. What is the area of the shaded region—inside the hexagon but outside all of the semicircles?

$6\sqrt{3} - 3\pi$

$\dfrac{9\sqrt{3}}{2} - 2\pi$

$\dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\pi}{3}$

$3\sqrt{3} - \pi$

$\dfrac{9\sqrt{3}}{2} - \pi$

Solución:

El hexágono tiene área $\tfrac{3\sqrt3}{2}\cdot 2^2 = 6\sqrt3.$ Cada semicírculo tiene radio $1$ y área $\tfrac{\pi}{2},$ sumando $3\pi.$

Los centros de semicírculos adyacentes (puntos medios de los lados) están a distancia $\sqrt3$ , así que cada par adyacente se solapa en una lente de área $2\cos^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right) - \tfrac{\sqrt3}{2} = \tfrac{\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}.$ Hay seis lentes de este tipo.

La unión de los semicírculos es $3\pi - 6\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt3}{2}\right) = \pi + 3\sqrt3.$ Restando del hexágono se obtiene el área sombreada $6\sqrt3 - (\pi + 3\sqrt3) = 3\sqrt3 - \pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The hexagon has area $\tfrac{3\sqrt3}{2}\cdot 2^2 = 6\sqrt3.$ Each semicircle has radius $1$ and area $\tfrac{\pi}{2},$ totaling $3\pi.$

Adjacent semicircle centers (side midpoints) are a distance $\sqrt3$ apart, so each adjacent pair overlaps in a lens of area $2\cos^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right) - \tfrac{\sqrt3}{2} = \tfrac{\pi}{3} - \tfrac{\sqrt3}{2}.$ There are six such lenses.

The union of the semicircles is $3\pi - 6\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt3}{2}\right) = \pi + 3\sqrt3.$ Subtracting from the hexagon gives the shaded area $6\sqrt3 - (\pi + 3\sqrt3) = 3\sqrt3 - \pi.$

Thus, the correct answer is D.

2020 AMC 12B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años