Question

Considera dos círculos concéntricos de radio $17$ y $19.$ El círculo más grande tiene una cuerda, de la cual la mitad queda dentro del círculo más pequeño. ¿Cuál es la longitud de la cuerda en el círculo más grande?

Consider two concentric circles of radius $17$ and $19.$ The larger circle has a chord, half of which lies inside the smaller circle. What is the length of the chord in the larger circle?

$12\sqrt{2}$

$10\sqrt{3}$

$\sqrt{17 \cdot 19}$

$18$

$8\sqrt{6}$

Solución:

Sea la cuerda a distancia $d$ del centro común. Su longitud total es $2\sqrt{361 - d^2},$ y la porción dentro del círculo más pequeño tiene longitud $2\sqrt{289 - d^2}.$

Como la mitad de la cuerda queda dentro, $2\sqrt{289 - d^2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{361 - d^2}.$ Elevando al cuadrado da $4(289 - d^2) = 361 - d^2,$ así que $3d^2 = 795$ y $d^2 = 265.$

La longitud de la cuerda es $2\sqrt{361 - 265} = 2\sqrt{96} = 8\sqrt{6}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the chord lie at distance $d$ from the common center. Its total length is $2\sqrt{361 - d^2},$ and the portion inside the smaller circle has length $2\sqrt{289 - d^2}.$

Since half the chord lies inside, $2\sqrt{289 - d^2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{361 - d^2}.$ Squaring gives $4(289 - d^2) = 361 - d^2,$ so $3d^2 = 795$ and $d^2 = 265.$

The chord length is $2\sqrt{361 - 265} = 2\sqrt{96} = 8\sqrt{6}.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años