Soluciones del 2024 AMC 12B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

En una larga fila de personas ordenadas de izquierda a derecha, la persona número $1013$ desde la izquierda es también la persona número $1010$ desde la derecha. ¿Cuántas personas hay en la fila?

In a long line of people arranged left to right, the $1013$ th person from the left is also the $1010$ th person from the right. How many people are in the line?

$2021$

$2022$

$2023$

$2024$

$2025$

Conceptos:conteo de enteros en un rango conteo básico

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Las personas a la izquierda de la persona objetivo y las personas a la derecha, más la persona misma, forman toda la fila.

The people to the left of the target person and the people to the right, plus the person themself, make up the whole line

Pista grande:

Hay $1012$ personas a la izquierda y $1009$ a la derecha; súmalas junto con la persona objetivo.

There are $1012$ people to the left and $1009$ to the right; add these to the target person

Solución:

La persona objetivo tiene $1013 - 1 = 1012$ personas a la izquierda y $1010 - 1 = 1009$ personas a la derecha. Incluyendo a la persona misma, la fila tiene $1012 + 1009 + 1 = 2022$ personas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The target person has $1013 - 1 = 1012$ people to the left and $1010 - 1 = 1009$ people to the right. Including the person themself, the line has $1012 + 1009 + 1 = 2022$ people.

Thus, the correct answer is B.

2.

¿Cuánto vale $10! - 7! \cdot 6!$ ?

What is $10! - 7! \cdot 6!?$

$-120$

$0$

$120$

$600$

$720$

Conceptos:factorial

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Escribe $7! \cdot 6!$ y observa si se puede reconstruir como $10!$ .

Write $7! \cdot 6!$ and see whether it can be rebuilt into $10!$

Pista grande:

Como $6! = 720 = 8 \cdot 9 \cdot 10,$ se obtiene $7! \cdot 6! = 7! \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 10!$ .

Since $6! = 720 = 8 \cdot 9 \cdot 10,$ we get $7! \cdot 6! = 7! \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 10!$

Solución:

Observa que $6! = 720 = 8 \cdot 9 \cdot 10.$ Por lo tanto $7! \cdot 6! = 7! \cdot (8 \cdot 9 \cdot 10) = 10!.$ Así $10! - 7! \cdot 6! = 10! - 10! = 0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Note that $6! = 720 = 8 \cdot 9 \cdot 10.$ Therefore $7! \cdot 6! = 7! \cdot (8 \cdot 9 \cdot 10) = 10!.$ So $10! - 7! \cdot 6! = 10! - 10! = 0.$

Thus, the correct answer is B.

3.

¿Para cuántos valores enteros de $x$ se cumple $|2x| \le 7\pi$ ?

For how many integer values of $x$ is $|2x| \le 7\pi?$

$16$

$17$

$19$

$20$

$21$

Conceptos:valor absoluto conteo de enteros en un rango estimación

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Reescribe como $|x| \le \dfrac{7\pi}{2}$ y estima $\dfrac{7\pi}{2}$ como decimal.

Rewrite as $|x| \le \dfrac{7\pi}{2}$ and estimate $\dfrac{7\pi}{2}$ as a decimal

Pista grande:

Como $\dfrac{7\pi}{2} \approx 10.99,$ cuenta los enteros desde $-10$ hasta $10$ .

Since $\dfrac{7\pi}{2} \approx 10.99,$ count the integers from $-10$ to $10$

Solución:

La desigualdad $|2x| \le 7\pi$ equivale a $|x| \le \dfrac{7\pi}{2} \approx 10.99.$ Los enteros que la cumplen van desde $-10$ hasta $10,$ lo que da $10 + 10 + 1 = 21$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The inequality $|2x| \le 7\pi$ is equivalent to $|x| \le \dfrac{7\pi}{2} \approx 10.99.$ The integers satisfying this run from $-10$ to $10,$ which is $10 + 10 + 1 = 21$ values.

Thus, the correct answer is E.

4.

Las bolas numeradas $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots$ se depositan en $5$ cajas, etiquetadas $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ mediante el siguiente procedimiento. La bola $1$ se deposita en la caja $A,$ y las bolas $2$ y $3$ se depositan en $B.$ Las siguientes tres bolas se depositan en la caja $C,$ las siguientes $4$ en la caja $D,$ y así sucesivamente, volviendo cíclicamente a la caja $A$ después de que se depositan bolas en la caja $E.$ (Por ejemplo, $22,$ $23,$ $\ldots,$ $28$ se depositan en la caja $B$ en el paso $7$ de este proceso.) ¿En qué caja se deposita la bola $2024$ ?

Balls numbered $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots$ are deposited in $5$ bins, labeled $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ and $E,$ using the following procedure. Ball $1$ is deposited in bin $A,$ and balls $2$ and $3$ are deposited in $B.$ The next three balls are deposited in bin $C,$ the next $4$ in bin $D,$ and so on, cycling back to bin $A$ after balls are deposited in bin $E.$ (For example, $22,$ $23,$ $\ldots,$ $28$ are deposited in bin $B$ at step $7$ of this process.) In which bin is ball $2024$ deposited?

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

Conceptos:número triangular aritmética modular

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

En el paso $k,$ se depositan exactamente $k$ bolas, así que después de $k$ pasos se han colocado en total $\dfrac{k(k+1)}{2}$ bolas.

At step $k,$ exactly $k$ balls are deposited, so after $k$ steps a total of $\dfrac{k(k+1)}{2}$ balls have been placed

Pista grande:

Encuentra el paso que contiene la bola $2024,$ y observa que el paso $k$ usa la caja en la posición $(k-1)\bmod 5$ dentro del ciclo $A, B, C, D, E$ .

Find the step containing ball $2024,$ then note that step $k$ uses the bin at position $(k-1)\bmod 5$ in the cycle $A, B, C, D, E$

Solución:

El paso $k$ deposita $k$ bolas, así que después del paso $k$ se han colocado en total $\dfrac{k(k+1)}{2}$ bolas. Como $\dfrac{63 \cdot 64}{2} = 2016$ y $\dfrac{64 \cdot 65}{2} = 2080,$ la bola $2024$ cae en el paso $64.$

Los pasos recorren cíclicamente las cajas $A, B, C, D, E,$ así que el paso $k$ usa la posición $(k-1) \bmod 5.$ Aquí $(64 - 1) \bmod 5 = 63 \bmod 5 = 3,$ que es la cuarta caja, $D.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Step $k$ deposits $k$ balls, so after step $k$ a total of $\dfrac{k(k+1)}{2}$ balls have been placed. Since $\dfrac{63 \cdot 64}{2} = 2016$ and $\dfrac{64 \cdot 65}{2} = 2080,$ ball $2024$ falls in step $64.$

The steps cycle through the bins $A, B, C, D, E,$ so step $k$ uses position $(k-1) \bmod 5.$ Here $(64 - 1) \bmod 5 = 63 \bmod 5 = 3,$ which is the fourth bin, $D.$

Thus, the correct answer is D.

5.

En la siguiente expresión, Melanie cambió algunos de los signos más por signos menos:

$1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 97 + 99$

Cuando se evaluó la nueva expresión, resultó negativa. ¿Cuál es el menor número de signos más que Melanie pudo haber cambiado por signos menos?

In the following expression, Melanie changed some of the plus signs to minus signs:

$1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 97 + 99$

When the new expression was evaluated, it was negative. What is the least number of plus signs that Melanie could have changed to minus signs?

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

Conceptos:sucesión aritmética optimización

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

La suma original es $1 + 3 + \cdots + 99 = 50^2 = 2500;$ cambiar de signo un término de valor $v$ reduce el total en $2v$ .

The original sum is $1 + 3 + \cdots + 99 = 50^2 = 2500;$ flipping a term of value $v$ lowers the total by $2v$

Pista grande:

Para llegar a ser negativa, los términos cambiados de signo deben sumar más de $1250;$ cambia primero los números impares más grandes, donde los $k$ mayores suman $k(100-k)$ .

To go negative the flipped terms must total more than $1250;$ flip the largest odd numbers first, where the largest $k$ of them sum to $k(100-k)$

Solución:

La expresión original suma los primeros $50$ números impares, dando $50^2 = 2500.$ Cambiar un término de valor $v$ de $+$ a $-$ disminuye el total en $2v,$ así que para que el resultado sea negativo los términos cambiados de signo deben sumar más de $\dfrac{2500}{2} = 1250.$

Para usar la menor cantidad posible de términos, cambia de signo los números impares más grandes $99, 97, 95, \ldots$ Los $k$ mayores suman $k(100 - k).$ Con $k = 14$ esto es $14 \cdot 86 = 1204 \le 1250,$ pero con $k = 15$ es $15 \cdot 85 = 1275 \gt 1250.$ Así que $15$ cambios de signo bastan y $14$ no.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The original expression sums the first $50$ odd numbers, giving $50^2 = 2500.$ Changing a term of value $v$ from $+$ to $-$ decreases the total by $2v,$ so to make the result negative the flipped terms must total more than $\dfrac{2500}{2} = 1250.$

To use as few terms as possible, flip the largest odd numbers $99, 97, 95, \ldots$ The largest $k$ of them sum to $k(100 - k).$ With $k = 14$ this is $14 \cdot 86 = 1204 \le 1250,$ but with $k = 15$ it is $15 \cdot 85 = 1275 \gt 1250.$ So $15$ sign changes suffice and $14$ do not.

Thus, the correct answer is B.

6.

La deuda nacional de Estados Unidos va camino de alcanzar $5 \cdot 10^{13}$ dólares para $2033.$ ¿Cuántos dígitos tiene este número de dólares cuando se escribe como un numeral en base $5$ ? (La aproximación de $\log_{10} 5$ como $0.7$ es suficiente para este problema.)

The national debt of the United States is on track to reach $5 \cdot 10^{13}$ dollars by $2033.$ How many digits does this number of dollars have when written as a numeral in base $5?$ (The approximation of $\log_{10} 5$ as $0.7$ is sufficient for this problem.)

$18$

$20$

$22$

$24$

$26$

Conceptos:logaritmo base numérica

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

El número de dígitos en base $5$ de $N$ es $\lfloor \log_5 N \rfloor + 1$ .

The number of base- $5$ digits of $N$ is $\lfloor \log_5 N \rfloor + 1$

Pista grande:

Usa $\log_5 N = \dfrac{\log_{10} N}{\log_{10} 5}$ con $\log_{10} 5 = 0.7$ y $\log_{10}(5\cdot 10^{13}) = 13 + \log_{10} 5$ .

Use $\log_5 N = \dfrac{\log_{10} N}{\log_{10} 5}$ with $\log_{10} 5 = 0.7$ and $\log_{10}(5\cdot 10^{13}) = 13 + \log_{10} 5$

Solución:

El número de dígitos de $N$ en base $5$ es $\lfloor \log_5 N \rfloor + 1.$ Con $N = 5 \cdot 10^{13},$ $\log_{10} N = 13 + \log_{10} 5 = 13.7.$ Cambiando de base, $\log_5 N$ $= \dfrac{13.7}{\log_{10} 5}$ $= \dfrac{13.7}{0.7}$ $= 19.57\ldots$

Así el número de dígitos es $\lfloor 19.57 \rfloor + 1 = 19 + 1 = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The number of digits of $N$ in base $5$ is $\lfloor \log_5 N \rfloor + 1.$ With $N = 5 \cdot 10^{13},$ $\log_{10} N = 13 + \log_{10} 5 = 13.7.$ Converting bases, $\log_5 N$ $= \dfrac{13.7}{\log_{10} 5}$ $= \dfrac{13.7}{0.7}$ $= 19.57\ldots$

Thus the number of digits is $\lfloor 19.57 \rfloor + 1 = 19 + 1 = 20.$

Thus, the correct answer is B.

7.

En la figura de abajo, $WXYZ$ es un rectángulo con $WX = 4$ y $WZ = 8.$ El punto $M$ está sobre $\overline{XY},$ el punto $A$ está sobre $\overline{YZ},$ y $\angle WMA$ es un ángulo recto. Las áreas de $\triangle WXM$ y $\triangle WAZ$ son iguales. ¿Cuál es el área de $\triangle WMA$ ?

In the figure below $WXYZ$ is a rectangle with $WX = 4$ and $WZ = 8.$ Point $M$ lies on $\overline{XY},$ point $A$ lies on $\overline{YZ},$ and $\angle WMA$ is a right angle. The areas of $\triangle WXM$ and $\triangle WAZ$ are equal. What is the area of $\triangle WMA?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Conceptos:geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Coloca $X = (0,0),$ $W = (0,4),$ $Y = (8,0),$ $Z = (8,4),$ con $M = (m, 0)$ y $A = (8, a)$ .

Place $X = (0,0),$ $W = (0,4),$ $Y = (8,0),$ $Z = (8,4),$ with $M = (m, 0)$ and $A = (8, a)$

Pista grande:

El ángulo recto da $\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA} = 0,$ y la condición de áreas iguales da una segunda ecuación; despeja $m$ y $a$ .

The right angle gives $\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA} = 0,$ and the equal-area condition gives a second equation; solve for $m$ and $a$

Solución:

Tomemos $X = (0,0),$ $W = (0,4),$ $Y = (8,0),$ $Z = (8,4),$ con $M = (m, 0)$ sobre $\overline{XY}$ y $A = (8, a)$ sobre $\overline{YZ}.$

Como $\angle WMA = 90^\circ,$ $\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA}$ $= (-m)(8-m)$ $+ 4a = 0,$ así que $4a = m(8-m).$ Las áreas dan $[\triangle WXM] = \tfrac12 \cdot 4 \cdot m = 2m$ y $[\triangle WAZ]$ $= \tfrac12 \cdot 8 \cdot (4 - a)$ $= 4(4 - a).$ Al igualarlas se obtiene $m = 8 - 2a.$

Al sustituir $a = \tfrac{8-m}{2}$ en $4a = m(8-m)$ se obtiene $2(8-m) = m(8-m),$ así que $m = 2$ y $a = 3.$ La otra raíz algebraica, $m=8,$ da $M=A=Y$ y el ángulo $\angle WMA$ no está definido, por lo que no es válida. Entonces, con $W = (0,4),$ $M = (2,0),$ $A = (8,3),$ $\begin{aligned} [\triangle WMA] &= \tfrac12\,\bigl|2(3 - 4) + 8(4 - 0)\bigr| \\ &= \tfrac12 (30) = 15. \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es C.

Set $X = (0,0),$ $W = (0,4),$ $Y = (8,0),$ $Z = (8,4),$ with $M = (m, 0)$ on $\overline{XY}$ and $A = (8, a)$ on $\overline{YZ}.$

Since $\angle WMA = 90^\circ,$ $\overrightarrow{MW} \cdot \overrightarrow{MA}$ $= (-m)(8-m)$ $+ 4a = 0,$ so $4a = m(8-m).$ The areas give $[\triangle WXM] = \tfrac12 \cdot 4 \cdot m = 2m$ and $[\triangle WAZ]$ $= \tfrac12 \cdot 8 \cdot (4 - a)$ $= 4(4 - a).$ Setting these equal yields $m = 8 - 2a.$

Substituting $a = \tfrac{8-m}{2}$ into $4a = m(8-m)$ gives $2(8-m) = m(8-m),$ so $m = 2$ and $a = 3.$ The other algebraic root, $m=8,$ gives $M=A=Y$ and no defined angle $\angle WMA,$ so it is invalid. Then with $W = (0,4),$ $M = (2,0),$ $A = (8,3),$ $\begin{aligned} [\triangle WMA] &= \tfrac12\,\bigl|2(3 - 4) + 8(4 - 0)\bigr| \\ &= \tfrac12 (30) = 15. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

8.

¿Qué valor de $x$ satisface

$\frac{\log_2 x \cdot \log_3 x}{\log_2 x + \log_3 x} = 2?$

What value of $x$ satisfies

$\frac{\log_2 x \cdot \log_3 x}{\log_2 x + \log_3 x} = 2?$

$25$

$32$

$36$

$42$

$48$

Conceptos:logaritmo

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

Divide el numerador y el denominador entre $\log_2 x \cdot \log_3 x$ para convertir el lado izquierdo en $\dfrac{1}{\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x}}$ .

Divide numerator and denominator by $\log_2 x \cdot \log_3 x$ to turn the left side into $\dfrac{1}{\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_3 x}}$

Pista grande:

Como $\dfrac{1}{\log_2 x} = \log_x 2$ y $\dfrac{1}{\log_3 x} = \log_x 3,$ la ecuación se convierte en $\log_x 6 = \dfrac12$ .

Since $\dfrac{1}{\log_2 x} = \log_x 2$ and $\dfrac{1}{\log_3 x} = \log_x 3,$ the equation becomes $\log_x 6 = \dfrac12$

Solución:

Dividiendo numerador y denominador entre $\log_2 x \cdot \log_3 x,$ el lado izquierdo se convierte en $\begin{gathered} \frac{1}{\dfrac{1}{\log_2 x} + \dfrac{1}{\log_3 x}} \\ = \frac{1}{\log_x 2 + \log_x 3} \\ = \frac{1}{\log_x 6}. \end{gathered}$ Así $\dfrac{1}{\log_x 6} = 2,$ lo que significa $\log_x 6 = \dfrac12,$ es decir $x^{\frac{1}{2}} = 6.$

Por lo tanto $x = 36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Dividing top and bottom by $\log_2 x \cdot \log_3 x,$ the left side becomes $\begin{gathered} \frac{1}{\dfrac{1}{\log_2 x} + \dfrac{1}{\log_3 x}} \\ = \frac{1}{\log_x 2 + \log_x 3} \\ = \frac{1}{\log_x 6}. \end{gathered}$ So $\dfrac{1}{\log_x 6} = 2,$ meaning $\log_x 6 = \dfrac12,$ i.e. $x^{\frac{1}{2}} = 6.$

Therefore $x = 36.$

Thus, the correct answer is C.

9.

Un tablero de dardos es la región $B$ en el plano de coordenadas formada por los puntos $(x, y)$ tales que $|x| + |y| \le 8.$ Un blanco $T$ es la región donde $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49.$ Se lanza un dardo y cae en un punto aleatorio de $B.$ La probabilidad de que el dardo caiga en $T$ puede expresarse como $\dfrac{m}{n} \cdot \pi,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

A dartboard is the region $B$ in the coordinate plane consisting of points $(x, y)$ such that $|x| + |y| \le 8.$ A target $T$ is the region where $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49.$ A dart is thrown and lands at a random point in $B.$ The probability that the dart lands in $T$ can be expressed as $\dfrac{m}{n} \cdot \pi,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

$39$

$71$

$73$

$75$

$135$

Conceptos:probabilidad geométrica corona circular

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

La región $B$ es un cuadrado con diagonales de longitud $16,$ y $(x^2+y^2-25)^2 \le 49$ significa $18 \le x^2 + y^2 \le 32$ .

The region $B$ is a square with diagonals of length $16,$ and $(x^2+y^2-25)^2 \le 49$ means $18 \le x^2 + y^2 \le 32$

Pista grande:

El anillo $T$ tiene área $\pi(32 - 18);$ comprueba que su radio exterior $\sqrt{32}$ alcanza exactamente los lados de $B,$ así que $T$ queda por completo dentro de $B$ .

The annulus $T$ has area $\pi(32 - 18);$ check that its outer radius $\sqrt{32}$ exactly reaches the sides of $B,$ so $T$ lies entirely inside $B$

Solución:

El tablero $|x| + |y| \le 8$ es un cuadrado con diagonales $16,$ así que su área es $\tfrac12 \cdot 16 \cdot 16 = 128.$ La condición del blanco $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49$ significa $-7 \le x^2 + y^2 - 25 \le 7,$ es decir $18 \le x^2 + y^2 \le 32,$ un anillo de área $\pi(32 - 18) = 14\pi.$

La distancia del origen a un lado del cuadrado (por ejemplo $x + y = 8$ ) es $\dfrac{8}{\sqrt2} = \sqrt{32},$ exactamente el radio exterior del anillo. Así que el anillo es tangente al cuadrado y queda por completo dentro de $B.$ La probabilidad es $\dfrac{14\pi}{128} = \dfrac{7}{64}\pi,$ lo que da $m + n = 7 + 64 = 71.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The dartboard $|x| + |y| \le 8$ is a square with diagonals $16,$ so its area is $\tfrac12 \cdot 16 \cdot 16 = 128.$ The target condition $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49$ means $-7 \le x^2 + y^2 - 25 \le 7,$ i.e. $18 \le x^2 + y^2 \le 32,$ an annulus of area $\pi(32 - 18) = 14\pi.$

The distance from the origin to a side of the square (for instance $x + y = 8$ ) is $\dfrac{8}{\sqrt2} = \sqrt{32},$ exactly the annulus’s outer radius. So the annulus is tangent to the square and lies entirely within $B.$ The probability is $\dfrac{14\pi}{128} = \dfrac{7}{64}\pi,$ giving $m + n = 7 + 64 = 71.$

Thus, the correct answer is B.

10.

Una lista de $9$ números reales consta de $1,$ $2.2,$ $3.2,$ $5.2,$ $6.2,$ $7,$ además de $x,$ $y,$ $z$ con $x \le y \le z.$ El rango de la lista es $7,$ y la media y la mediana son ambas enteros positivos. ¿Cuántas ternas ordenadas $(x, y, z)$ son posibles?

A list of $9$ real numbers consists of $1,$ $2.2,$ $3.2,$ $5.2,$ $6.2,$ and $7,$ as well as $x,$ $y,$ $z$ with $x \le y \le z.$ The range of the list is $7,$ and the mean and median are both positive integers. How many ordered triples $(x, y, z)$ are possible?

$1$

$2$

$3$

$4$

infinitas

infinitely many

Conceptos:media mediana (datos)rango análisis por casos

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Los seis números fijos suman $24.8,$ así que la media es un entero solo cuando $x + y + z$ termina en $0.2$ .

The six fixed numbers sum to $24.8,$ so the mean is an integer only when $x + y + z$ ends in $0.2$

Pista grande:

La condición del rango da tres casos: $(\min,\max)=(0,7),\ (1,8),$ o $(t,t+7)$ con $0\lt t\lt1$

The range condition gives three cases: $(\min,\max)=(0,7),\ (1,8),$ or $(t,t+7)$ with $0\lt t\lt1$

Solución:

Los seis números fijos suman $24.8$ y abarcan el intervalo $[1,7].$ Hay tres posibles disposiciones de los extremos totales.

Si los extremos son $0$ y $7,$ entonces $x=0$ y $z\le7.$ Las únicas medias enteras posibles son $3$ y $4,$ lo que exige $y+z=2.2$ o $11.2.$ La primera da mediana $2.2.$ En la segunda, una mediana entera obliga a que $y=5,$ y por tanto $z=6.2.$ Esto da $(0,5,6.2).$

Si los extremos son $1$ y $8,$ entonces $z=8$ , y una media entera exige $x+y=3.2$ o $12.2.$ La primera da mediana $3.2;$ la segunda tiene mediana entera solo para $x=6,\ y=6.2.$ Esto da $(6,6.2,8).$

Finalmente, si ambos extremos son nuevos, escribimos $x=t,\ z=t+7$ con $0\lt t\lt1.$ La media debe ser $4,$ así que $y=4.2-2t.$ La mediana es el cuarto número entre $1,2.2,3.2,5.2,6.2,7,y;$ solo es entera cuando $y=4,$ lo que da $t=0.1.$ Así, la tercera terna es $(0.1,4,7.1),$ y hay exactamente $3$ en total.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

The six fixed numbers sum to $24.8$ and span $[1,7].$ There are three possible arrangements of the overall extremes.

If the extremes are $0$ and $7,$ then $x=0$ and $z\le7.$ The only possible integer means are $3$ and $4,$ requiring $y+z=2.2$ or $11.2.$ The first makes the median $2.2.$ In the second, an integer median forces $y=5,$ hence $z=6.2.$ This gives $(0,5,6.2).$

If the extremes are $1$ and $8,$ then $z=8$ and the integer mean forces $x+y=3.2$ or $12.2.$ The first makes the median $3.2;$ the second has an integer median only for $x=6,\ y=6.2.$ This gives $(6,6.2,8).$

Finally, if both extremes are new, write $x=t,\ z=t+7$ with $0\lt t\lt1.$ The mean must be $4,$ so $y=4.2-2t.$ The median is the fourth number among $1,2.2,3.2,5.2,6.2,7,y;$ it is an integer only when $y=4,$ giving $t=0.1.$ Thus the third triple is $(0.1,4,7.1),$ and there are exactly $3$ in all.

Thus, the correct answer is C.

11.

Sea $x_n = \sin^2(n^\circ).$ ¿Cuál es la media de $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\ldots,$ $x_{90}$ ?

Let $x_n = \sin^2(n^\circ).$ What is the mean of $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\ldots,$ $x_{90}?$

$\dfrac{11}{45}$

$\dfrac{22}{45}$

$\dfrac{89}{180}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{91}{180}$

Conceptos:identidad trigonométrica media simetría

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Usa $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}$ para reescribir la suma.

Use $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2}$ to rewrite the sum

Pista grande:

Los términos coseno $\cos 2^\circ, \cos 4^\circ, \ldots, \cos 180^\circ$ se cancelan por pares mediante $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta,$ dejando solo $\cos 180^\circ = -1$ .

The cosine terms $\cos 2^\circ, \cos 4^\circ, \ldots, \cos 180^\circ$ cancel in pairs via $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta,$ leaving only $\cos 180^\circ = -1$

Solución:

Usando $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2},$ $\begin{aligned} \sum_{n=1}^{90} \sin^2(n^\circ) &= \frac{90}{2} \\ &\quad {}- \frac12 \sum_{n=1}^{90}\cos(2n^\circ). \end{aligned}$ En la suma de cosenos, los términos para $n$ y $90 - n$ cumplen $\cos(2n^\circ) + \cos(180^\circ - 2n^\circ) = 0,$ y $\cos 90^\circ = 0,$ así que todo se cancela excepto $\cos 180^\circ = -1.$

Por lo tanto la suma es $45 - \tfrac12(-1) = 45.5,$ y la media es $\dfrac{45.5}{90} = \dfrac{91}{180}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Using $\sin^2\theta = \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2},$ $\begin{aligned} \sum_{n=1}^{90} \sin^2(n^\circ) &= \frac{90}{2} \\ &\quad {}- \frac12 \sum_{n=1}^{90}\cos(2n^\circ). \end{aligned}$ In the cosine sum, the terms for $n$ and $90 - n$ satisfy $\cos(2n^\circ) + \cos(180^\circ - 2n^\circ) = 0,$ and $\cos 90^\circ = 0,$ so everything cancels except $\cos 180^\circ = -1.$

Hence the sum is $45 - \tfrac12(-1) = 45.5,$ and the mean is $\dfrac{45.5}{90} = \dfrac{91}{180}.$

Thus, the correct answer is E.

12.

Supón que $z$ es un número complejo con parte imaginaria positiva, con parte real mayor que $1,$ y con $|z| = 2.$ En el plano complejo, los cuatro puntos $0,$ $z,$ $z^2,$ $z^3$ son los vértices de un cuadrilátero de área $15.$ ¿Cuál es la parte imaginaria de $z$ ?

Suppose $z$ is a complex number with positive imaginary part, with real part greater than $1,$ and with $|z| = 2.$ In the complex plane, the four points $0,$ $z,$ $z^2,$ and $z^3$ are the vertices of a quadrilateral with area $15.$ What is the imaginary part of $z?$

$\dfrac{3}{4}$

$1$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

Conceptos:número complejo fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

El área con signo del cuadrilátero $0 \to z \to z^2 \to z^3$ es $\tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}(\bar z z^2 + \overline{z^2}\, z^3)\bigr|$ .

The signed area of the quadrilateral $0 \to z \to z^2 \to z^3$ is $\tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}(\bar z z^2 + \overline{z^2}\, z^3)\bigr|$

Pista grande:

Como $\bar z z^2 = |z|^2 z$ y $\overline{z^2} z^3 = |z|^4 z,$ el área es $\tfrac12(|z|^2 + |z|^4)\operatorname{Im}(z);$ sustituye $|z| = 2$

Since $\bar z z^2 = |z|^2 z$ and $\overline{z^2} z^3 = |z|^4 z,$ the area is $\tfrac12(|z|^2 + |z|^4)\operatorname{Im}(z);$ plug in $|z| = 2$

Solución:

Para los vértices $0, z, z^2, z^3$ la fórmula del cordón da el área $\begin{aligned} &\tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}(\bar z z^2 + \overline{z^2}\,z^3)\bigr| \\ &= \tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}\bigl((|z|^2 + |z|^4)z\bigr)\bigr| \\ &= \tfrac12(|z|^2 + |z|^4)\operatorname{Im}(z). \end{aligned}$

Con $|z| = 2,$ esto es $\tfrac12(4 + 16)\operatorname{Im}(z) = 10\operatorname{Im}(z).$ Igualando $10\operatorname{Im}(z) = 15$ se obtiene $\operatorname{Im}(z) = \dfrac32.$ (Entonces $\operatorname{Re}(z) = \sqrt{4 - \tfrac94} = \tfrac{\sqrt7}{2} \gt 1,$ como se requería.)

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For vertices $0, z, z^2, z^3$ the shoelace formula gives area $\begin{aligned} &\tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}(\bar z z^2 + \overline{z^2}\,z^3)\bigr| \\ &= \tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}\bigl((|z|^2 + |z|^4)z\bigr)\bigr| \\ &= \tfrac12(|z|^2 + |z|^4)\operatorname{Im}(z). \end{aligned}$

With $|z| = 2,$ this is $\tfrac12(4 + 16)\operatorname{Im}(z) = 10\operatorname{Im}(z).$ Setting $10\operatorname{Im}(z) = 15$ gives $\operatorname{Im}(z) = \dfrac32.$ (Then $\operatorname{Re}(z) = \sqrt{4 - \tfrac94} = \tfrac{\sqrt7}{2} \gt 1,$ as required.)

Thus, the correct answer is D.

13.

Hay números reales $x,$ $y,$ $h,$ y $k$ que satisfacen el sistema de ecuaciones

$x^2 + y^2 - 6x - 8y = h$

$x^2 + y^2 - 10x + 4y = k.$

¿Cuál es el valor mínimo posible de $h + k$ ?

There are real numbers $x,$ $y,$ $h,$ and $k$ that satisfy the system of equations

$x^2 + y^2 - 6x - 8y = h$

$x^2 + y^2 - 10x + 4y = k.$

What is the minimum possible value of $h + k?$

$-54$

$-46$

$-34$

$-16$

$16$

Conceptos:completar el cuadrado optimización

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

Suma las dos ecuaciones para obtener $h + k$ como una sola expresión en $x$ y $y$ .

Add the two equations to get $h + k$ as a single expression in $x$ and $y$

Pista grande:

Completa el cuadrado: $h + k = 2(x-4)^2$ $+ 2(y-1)^2 - 34,$ que es mínimo cuando ambos cuadrados se anulan.

Complete the square: $h + k = 2(x-4)^2$ $+ 2(y-1)^2 - 34,$ which is smallest when both squares vanish

Solución:

Sumando las ecuaciones, $\begin{aligned} h + k &= 2x^2 + 2y^2 - 16x - 4y \\ &= 2(x - 4)^2 \\ &\quad {}+ 2(y - 1)^2 - 34. \end{aligned}$ Ambos términos al cuadrado son no negativos, así que el mínimo ocurre en $x = 4,$ $y = 1,$ dando $h + k = -34.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Adding the equations, $\begin{aligned} h + k &= 2x^2 + 2y^2 - 16x - 4y \\ &= 2(x - 4)^2 \\ &\quad {}+ 2(y - 1)^2 - 34. \end{aligned}$ Both squared terms are nonnegative, so the minimum occurs at $x = 4,$ $y = 1,$ giving $h + k = -34.$

Thus, the correct answer is C.

14.

¿Cuántos residuos distintos pueden resultar cuando la $100$ -ésima potencia de un entero se divide entre $125$ ?

How many different remainders can result when the $100$ th power of an integer is divided by $125?$

$1$

$2$

$5$

$25$

$125$

Conceptos:Función φ de Euler exponenciación modular

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Divide en enteros coprimos con $5$ y enteros divisibles entre $5$ .

Split into integers coprime to $5$ and integers divisible by $5$

Pista grande:

Como $\varphi(125) = 100,$ el teorema de Euler da $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}$ cuando $\gcd(n,5)=1;$ un múltiplo de $5$ tiene $n^{100}$ divisible entre $125$ .

Since $\varphi(125) = 100,$ Euler’s theorem gives $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}$ when $\gcd(n,5)=1;$ a multiple of $5$ has $n^{100}$ divisible by $125$

Solución:

Si $n$ es coprimo con $5,$ entonces como $\varphi(125) = 100,$ el teorema de Euler da $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}.$ Si $n$ es un múltiplo de $5,$ entonces $n^{100}$ es divisible entre $5^{100},$ y por tanto entre $125,$ dejando residuo $0.$

Así que los únicos residuos posibles son $0$ y $1,$ lo que da $2$ valores distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If $n$ is coprime to $5,$ then since $\varphi(125) = 100,$ Euler’s theorem gives $n^{100} \equiv 1 \pmod{125}.$ If $n$ is a multiple of $5,$ then $n^{100}$ is divisible by $5^{100},$ hence by $125,$ leaving remainder $0.$

So the only possible remainders are $0$ and $1,$ which is $2$ distinct values.

Thus, the correct answer is B.

15.

Un triángulo en el plano de coordenadas tiene vértices $A(\log_2 1, \log_2 2),$ $B(\log_2 3, \log_2 4),$ y $C(\log_2 7, \log_2 8).$ ¿Cuál es el área de $\triangle ABC$ ?

A triangle in the coordinate plane has vertices $A(\log_2 1, \log_2 2),$ $B(\log_2 3, \log_2 4),$ and $C(\log_2 7, \log_2 8).$ What is the area of $\triangle ABC?$

$\log_2 \dfrac{\sqrt3}{7}$

$\log_2 \dfrac{3}{\sqrt7}$

$\log_2 \dfrac{7}{\sqrt3}$

$\log_2 \dfrac{11}{\sqrt7}$

$\log_2 \dfrac{11}{\sqrt3}$

Conceptos:fórmula del cordón logaritmo área del triángulo

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Los vértices son $(0, 1),$ $(\log_2 3, 2),$ y $(\log_2 7, 3)$ .

The vertices are $(0, 1),$ $(\log_2 3, 2),$ and $(\log_2 7, 3)$

Pista grande:

Aplica la fórmula del cordón y simplifica con $2\log_2 3 - \log_2 7 = \log_2 \dfrac{9}{7},$ y luego divide el logaritmo entre dos.

Apply the shoelace formula and simplify with $2\log_2 3 - \log_2 7 = \log_2 \dfrac{9}{7},$ then halve the logarithm

Solución:

Los vértices son $A = (0, 1),$ $B = (\log_2 3, 2),$ $C = (\log_2 7, 3).$ Por la fórmula del cordón, $\begin{gathered} [\triangle ABC]\\ {}=\tfrac12\,\bigl|2\log_2 3-\log_2 7\bigr|. \end{gathered}$

Esto es igual a $\tfrac12\log_2 \dfrac{9}{7} = \log_2 \sqrt{\tfrac{9}{7}} = \log_2 \dfrac{3}{\sqrt7}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The vertices are $A = (0, 1),$ $B = (\log_2 3, 2),$ $C = (\log_2 7, 3).$ By the shoelace formula, $\begin{gathered} [\triangle ABC]\\ {}=\tfrac12\,\bigl|2\log_2 3-\log_2 7\bigr|. \end{gathered}$

This equals $\tfrac12\log_2 \dfrac{9}{7} = \log_2 \sqrt{\tfrac{9}{7}} = \log_2 \dfrac{3}{\sqrt7}.$

Thus, the correct answer is B.

16.

Un grupo de $16$ personas se dividirá en $4$ comités indistinguibles de $4$ personas. Cada comité tendrá un presidente y un secretario. El número de maneras distintas de hacer estas asignaciones puede escribirse como $3^r M,$ donde $r$ y $M$ son enteros positivos y $M$ no es divisible entre $3.$ ¿Cuánto vale $r$ ?

A group of $16$ people will be partitioned into $4$ indistinguishable $4$ -person committees. Each committee will have one chairperson and one secretary. The number of different ways to make these assignments can be written as $3^r M,$ where $r$ and $M$ are positive integers and $M$ is not divisible by $3.$ What is $r?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:principio de multiplicación Fórmula de Legendre

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

El número de asignaciones es $\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!} \cdot 12^4,$ donde cada comité aporta $4 \cdot 3 = 12$ elecciones de presidente y secretario.

The number of assignments is $\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!} \cdot 12^4,$ where each committee contributes $4 \cdot 3 = 12$ chair-and-secretary choices

Pista grande:

Sigue solo las potencias de $3:$ $16!$ da $3^6,$ el denominador $(4!)^4\,4!$ da $3^5,$ y $12^4$ da $3^4$

Track only powers of $3:$ $16!$ gives $3^6,$ the denominator $(4!)^4\,4!$ gives $3^5,$ and $12^4$ gives $3^4$

Solución:

El número de maneras de dividir $16$ personas en $4$ grupos indistinguibles de $4$ es $\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!}.$ Cada comité elige luego un presidente y un secretario de $4 \cdot 3 = 12$ maneras, aportando $12^4.$ Así que el total es $\dfrac{16!}{(4!)^4\,4!}\cdot 12^4.$

Contando los factores de $3:$ $16!$ aporta $\lfloor \frac{16}{3}\rfloor + \lfloor \frac{16}{9}\rfloor = 6.$ El denominador $(4!)^4\,4!$ aporta $4 + 1 = 5.$ Y $12^4 = (2^2\cdot 3)^4$ aporta $4.$ Así $r = 6 - 5 + 4 = 5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The number of ways to split $16$ people into $4$ indistinguishable groups of $4$ is $\dfrac{16!}{(4!)^4\, 4!}.$ Each committee then chooses a chairperson and a secretary in $4 \cdot 3 = 12$ ways, contributing $12^4.$ So the total is $\dfrac{16!}{(4!)^4\,4!}\cdot 12^4.$

Counting factors of $3:$ $16!$ contributes $\lfloor \frac{16}{3}\rfloor + \lfloor \frac{16}{9}\rfloor = 6.$ The denominator $(4!)^4\,4!$ contributes $4 + 1 = 5.$ And $12^4 = (2^2\cdot 3)^4$ contributes $4.$ Thus $r = 6 - 5 + 4 = 5.$

Thus, the correct answer is A.

17.

Los enteros $a$ y $b$ se eligen al azar sin reemplazo del conjunto de enteros cuyo valor absoluto no excede $10.$ ¿Cuál es la probabilidad de que el polinomio $x^3 + ax^2 + bx + 6$ tenga $3$ raíces enteras distintas?

Integers $a$ and $b$ are randomly chosen without replacement from the set of integers with absolute value not exceeding $10.$ What is the probability that the polynomial $x^3 + ax^2 + bx + 6$ has $3$ distinct integer roots?

$\dfrac{1}{240}$

$\dfrac{1}{221}$

$\dfrac{1}{105}$

$\dfrac{1}{84}$

$\dfrac{1}{63}$

Conceptos:Fórmulas de Vieta probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Si las raíces son enteros distintos $p, q, r,$ entonces $pqr = -6,$ $a = -(p+q+r),$ y $b = pq + qr + rp$ .

If the roots are distinct integers $p, q, r,$ then $pqr = -6,$ $a = -(p+q+r),$ and $b = pq + qr + rp$

Pista grande:

Enumera las maneras de escribir $-6$ como producto de tres enteros distintos, descarta las que dan $|a|\gt 10$ o $|b| \gt 10,$ y divide entre $21 \cdot 20$ elecciones ordenadas.

List the ways to write $-6$ as a product of three distinct integers, discard any giving $|a|\gt 10$ or $|b| \gt 10,$ and divide by $21 \cdot 20$ ordered choices

Solución:

El conjunto tiene $21$ enteros, así que hay $21 \cdot 20 = 420$ elecciones ordenadas de $(a, b).$ Si el polinomio tiene raíces enteras distintas $p, q, r,$ entonces $pqr = -6,$ $a = -(p + q + r),$ y $b = pq + qr + rp.$

Las ternas de enteros distintos con producto $-6$ son $\{1, 2, -3\},$ $\{1, -2, 3\},$ $\{-1, 2, 3\},$ $\{-1, -2, -3\},$ y $\{1, -1, 6\}.$ Estas dan $(a, b) = (0, -7),$ $(-2, -5),$ $(-4, 1),$ $(6, 11),$ y $(-6, -1).$ La cuarta tiene $b = 11 \gt 10,$ así que no es válida; las otras cuatro son válidas y distintas.

La probabilidad es $\dfrac{4}{420} = \dfrac{1}{105}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The set has $21$ integers, so there are $21 \cdot 20 = 420$ ordered choices of $(a, b).$ If the polynomial has distinct integer roots $p, q, r,$ then $pqr = -6,$ $a = -(p + q + r),$ and $b = pq + qr + rp.$

The triples of distinct integers with product $-6$ are $\{1, 2, -3\},$ $\{1, -2, 3\},$ $\{-1, 2, 3\},$ $\{-1, -2, -3\},$ and $\{1, -1, 6\}.$ These give $(a, b) = (0, -7),$ $(-2, -5),$ $(-4, 1),$ $(6, 11),$ and $(-6, -1).$ The fourth has $b = 11 \gt 10,$ so it is invalid; the other four are valid and distinct.

The probability is $\dfrac{4}{420} = \dfrac{1}{105}.$

Thus, the correct answer is C.

18.

Los números de Fibonacci se definen por $F_1 = 1,$ $F_2 = 1,$ y $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ para $n \ge 3.$ ¿Cuánto vale

$\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}?$

The Fibonacci numbers are defined by $F_1 = 1,$ $F_2 = 1,$ and $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ for $n \ge 3.$ What is

$\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \cdots + \frac{F_{20}}{F_{10}}?$

$318$

$319$

$320$

$321$

$322$

Conceptos:Fibonacci sumatoria

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Cada término se simplifica: $\dfrac{F_{2k}}{F_k}$ es un entero; calcula los primeros, como $\dfrac{F_2}{F_1} = 1,$ $\dfrac{F_4}{F_2} = 3,$ $\dfrac{F_6}{F_3} = 4$ .

Each term simplifies: $\dfrac{F_{2k}}{F_k}$ is an integer; compute the first few, such as $\dfrac{F_2}{F_1} = 1,$ $\dfrac{F_4}{F_2} = 3,$ $\dfrac{F_6}{F_3} = 4$

Pista grande:

Estos valores son los números de Lucas $L_k = 1, 3, 4, 7, 11, \ldots;$ suma $L_1$ hasta $L_{10}$ .

These values are the Lucas numbers $L_k = 1, 3, 4, 7, 11, \ldots;$ sum $L_1$ through $L_{10}$

Solución:

Como $F_{2k} = F_k L_k$ donde $L_k$ es el $k$ -ésimo número de Lucas, cada término $\dfrac{F_{2k}}{F_k} = L_k.$ La suma es $\begin{gathered} L_1 + L_2 + \cdots + L_{10} \\ = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 \\ {}+ 29 + 47 + 76 + 123 \\ = 319. \end{gathered}$ (Equivalentemente, $L_1 + \cdots + L_{10}$ $= L_{12} - 3$ $= 322 - 3 = 319.$ )

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $F_{2k} = F_k L_k$ where $L_k$ is the $k$ th Lucas number, each term $\dfrac{F_{2k}}{F_k} = L_k.$ The sum is $\begin{gathered} L_1 + L_2 + \cdots + L_{10} \\ = 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 \\ {}+ 29 + 47 + 76 + 123 \\ = 319. \end{gathered}$ (Equivalently, $L_1 + \cdots + L_{10}$ $= L_{12} - 3$ $= 322 - 3 = 319.$ )

Thus, the correct answer is B.

19.

El triángulo equilátero $\triangle ABC$ con lado de longitud $14$ se rota alrededor de su centro un ángulo $\theta,$ donde $0 \lt \theta \lt 60^\circ,$ para formar $\triangle DEF.$ Ve la figura. El área del hexágono $ADBECF$ es $91\sqrt3.$ ¿Cuánto vale $\tan\theta$ ?

Equilateral $\triangle ABC$ with side length $14$ is rotated about its center by angle $\theta,$ where $0 \lt \theta \lt 60^\circ,$ to form $\triangle DEF.$ See the figure. The area of hexagon $ADBECF$ is $91\sqrt3.$ What is $\tan\theta?$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{5\sqrt3}{11}$

$\dfrac{4}{5}$

$\dfrac{11}{13}$

$\dfrac{7\sqrt3}{13}$

Conceptos:identidad trigonométrica área transformación

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Los seis vértices están sobre la circunferencia de radio $R = \dfrac{14}{\sqrt3};$ los ángulos centrales del hexágono se alternan entre $\theta$ y $120^\circ - \theta$ .

All six vertices lie on the circle of radius $R = \dfrac{14}{\sqrt3};$ the hexagon’s central angles alternate $\theta$ and $120^\circ - \theta$

Pista grande:

El área es $\tfrac12 R^2\bigl(3\sin\theta + 3\sin(120^\circ - \theta)\bigr)$ $= 98\bigl(\sin\theta + \sin(120^\circ - \theta)\bigr);$ simplifica con la identidad de suma a producto para despejar $\theta$ .

The area is $\tfrac12 R^2\bigl(3\sin\theta + 3\sin(120^\circ - \theta)\bigr)$ $= 98\bigl(\sin\theta + \sin(120^\circ - \theta)\bigr);$ simplify with sum-to-product to solve for $\theta$

Solución:

Los seis vértices están sobre la circunferencia circunscrita de radio $R = \dfrac{14}{\sqrt3},$ así que $R^2 = \dfrac{196}{3}.$ Recorriéndola, los ángulos centrales se alternan entre $\theta$ (tres veces) y $120^\circ - \theta$ (tres veces). El área del hexágono cíclico es $\begin{aligned} &\tfrac12 R^2\bigl(3\sin\theta + 3\sin(120^\circ - \theta)\bigr) \\ &= 98\bigl(\sin\theta + \sin(120^\circ - \theta)\bigr). \end{aligned}$

Por la identidad de suma a producto, $\sin\theta + \sin(120^\circ - \theta)$ $= 2\sin 60^\circ\cos(\theta - 60^\circ)$ $= \sqrt3\cos(60^\circ - \theta).$ Igualando el área a $91\sqrt3$ se obtiene $\sqrt3\cos(60^\circ - \theta)$ $= \dfrac{91\sqrt3}{98} = \dfrac{13\sqrt3}{14},$ así que $\cos(60^\circ - \theta) = \dfrac{13}{14}$ y $\sin(60^\circ - \theta) = \dfrac{3\sqrt3}{14}.$

Entonces $\tan(60^\circ - \theta) = \dfrac{3\sqrt3}{13},$ y $\begin{aligned} &\tan\theta = \tan\bigl(60^\circ - (60^\circ - \theta)\bigr) \\ &= \frac{\sqrt3 - \frac{3\sqrt3}{13}}{1 + \sqrt3\cdot\frac{3\sqrt3}{13}} \\ &= \frac{\frac{10\sqrt3}{13}}{\frac{22}{13}} \\ &= \frac{5\sqrt3}{11}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The six vertices lie on the circumcircle of radius $R = \dfrac{14}{\sqrt3},$ so $R^2 = \dfrac{196}{3}.$ Going around, the central angles alternate between $\theta$ (three times) and $120^\circ - \theta$ (three times). The cyclic-hexagon area is $\begin{aligned} &\tfrac12 R^2\bigl(3\sin\theta + 3\sin(120^\circ - \theta)\bigr) \\ &= 98\bigl(\sin\theta + \sin(120^\circ - \theta)\bigr). \end{aligned}$

By sum-to-product, $\sin\theta + \sin(120^\circ - \theta)$ $= 2\sin 60^\circ\cos(\theta - 60^\circ)$ $= \sqrt3\cos(60^\circ - \theta).$ Setting the area to $91\sqrt3$ gives $\sqrt3\cos(60^\circ - \theta)$ $= \dfrac{91\sqrt3}{98} = \dfrac{13\sqrt3}{14},$ so $\cos(60^\circ - \theta) = \dfrac{13}{14}$ and $\sin(60^\circ - \theta) = \dfrac{3\sqrt3}{14}.$

Then $\tan(60^\circ - \theta) = \dfrac{3\sqrt3}{13},$ and $\begin{aligned} &\tan\theta = \tan\bigl(60^\circ - (60^\circ - \theta)\bigr) \\ &= \frac{\sqrt3 - \frac{3\sqrt3}{13}}{1 + \sqrt3\cdot\frac{3\sqrt3}{13}} \\ &= \frac{\frac{10\sqrt3}{13}}{\frac{22}{13}} \\ &= \frac{5\sqrt3}{11}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

20.

Supón que $A,$ $B,$ y $C$ son puntos en el plano con $AB = 40$ y $AC = 42,$ y sea $x$ la longitud del segmento desde $A$ hasta el punto medio de $\overline{BC}.$ Define una función $f$ tomando $f(x)$ como el área de $\triangle ABC.$ Entonces el dominio de $f$ es un intervalo abierto $(p, q),$ y el valor máximo $r$ de $f(x)$ ocurre en $x = s.$ ¿Cuánto vale $p + q + r + s$ ?

Suppose $A,$ $B,$ and $C$ are points in the plane with $AB = 40$ and $AC = 42,$ and let $x$ be the length of the line segment from $A$ to the midpoint of $\overline{BC}.$ Define a function $f$ by letting $f(x)$ be the area of $\triangle ABC.$ Then the domain of $f$ is an open interval $(p, q),$ and the maximum value $r$ of $f(x)$ occurs at $x = s.$ What is $p + q + r + s?$

$909$

$910$

$911$

$912$

$913$

Conceptos:mediana (geometría)desigualdad triangular optimización

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

La mediana satisface $x^2 = \dfrac{2\cdot 40^2 + 2\cdot 42^2 - a^2}{4},$ donde $a = BC;$ la desigualdad triangular $2 \lt a \lt 82$ determina el dominio.

The median satisfies $x^2 = \dfrac{2\cdot 40^2 + 2\cdot 42^2 - a^2}{4},$ where $a = BC;$ the triangle inequality $2 \lt a \lt 82$ determines the domain

Pista grande:

El área es máxima cuando $\angle A = 90^\circ;$ encuentra esa área máxima y el $x$ correspondiente.

The area is largest when $\angle A = 90^\circ;$ find that maximum area and the corresponding $x$

Solución:

Sea $a = BC.$ La longitud de la mediana da $x^2$ $= \dfrac{2\cdot 1600 + 2\cdot 1764 - a^2}{4}$ $= \dfrac{6728 - a^2}{4}.$ La desigualdad triangular requiere $2 \lt a \lt 82,$ es decir $4 \lt a^2 \lt 6724,$ lo que se traduce en $1 \lt x \lt 41.$ Así que $(p, q) = (1, 41).$

Con $AB = 40$ y $AC = 42$ fijos, el área $\tfrac12\cdot 40\cdot 42\sin A$ es máxima cuando $\angle A = 90^\circ,$ dando $r = 840.$ Entonces $a^2 = 40^2 + 42^2 = 3364,$ así que $x^2 = \dfrac{6728 - 3364}{4} = 841,$ es decir $s = 29.$

Así $p + q + r + s$ $= 1 + 41 + 840 + 29$ $= 911.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $a = BC.$ The median length gives $x^2$ $= \dfrac{2\cdot 1600 + 2\cdot 1764 - a^2}{4}$ $= \dfrac{6728 - a^2}{4}.$ The triangle inequality requires $2 \lt a \lt 82,$ i.e. $4 \lt a^2 \lt 6724,$ which translates to $1 \lt x \lt 41.$ So $(p, q) = (1, 41).$

With $AB = 40$ and $AC = 42$ fixed, the area $\tfrac12\cdot 40\cdot 42\sin A$ is largest when $\angle A = 90^\circ,$ giving $r = 840.$ Then $a^2 = 40^2 + 42^2 = 3364,$ so $x^2 = \dfrac{6728 - 3364}{4} = 841,$ i.e. $s = 29.$

Thus $p + q + r + s$ $= 1 + 41 + 840 + 29$ $= 911.$

Thus, the correct answer is C.

21.

Las medidas de los ángulos más pequeños de tres triángulos rectángulos diferentes suman $90^\circ.$ Los tres triángulos tienen longitudes de lado que son ternas pitagóricas primitivas. Dos de ellos son $3$ - $4$ - $5$ y $5$ - $12$ - $13.$ ¿Cuál es el perímetro del tercer triángulo?

The measures of the smallest angles of three different right triangles sum to $90^\circ.$ All three triangles have side lengths that are primitive Pythagorean triples. Two of them are $3$ - $4$ - $5$ and $5$ - $12$ - $13.$ What is the perimeter of the third triangle?

$40$

$126$

$154$

$176$

$208$

Conceptos:identidad trigonométrica Terna pitagórica

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Los ángulos más pequeños tienen tangentes $\tfrac34$ y $\tfrac{5}{12};$ el tercero debe cumplir $\alpha + \beta + \gamma = 90^\circ,$ así que $\tan\gamma = \cot(\alpha + \beta)$ .

The smallest angles have tangents $\tfrac34$ and $\tfrac{5}{12};$ the third must satisfy $\alpha + \beta + \gamma = 90^\circ,$ so $\tan\gamma = \cot(\alpha + \beta)$

Pista grande:

Calcula $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{56}{33},$ así que $\tan\gamma = \dfrac{33}{56};$ encuentra la terna primitiva con catetos $33$ y $56$ .

Compute $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{56}{33},$ so $\tan\gamma = \dfrac{33}{56};$ find the primitive triple with legs $33$ and $56$

Solución:

Los ángulos más pequeños $\alpha, \beta$ de los triángulos $3$ - $4$ - $5$ y $5$ - $12$ - $13$ tienen $\tan\alpha = \tfrac34$ y $\tan\beta = \tfrac{5}{12}.$ Por la fórmula de la tangente de la suma, $\begin{aligned} &\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tfrac34 + \tfrac{5}{12}}{1 - \tfrac34\cdot\tfrac{5}{12}} \\ &= \frac{\tfrac{14}{12}}{\tfrac{33}{48}} \\ &= \frac{56}{33}. \end{aligned}$

El tercer ángulo más pequeño $\gamma$ cumple $\gamma = 90^\circ - (\alpha + \beta),$ así que $\tan\gamma = \dfrac{33}{56}.$ El triángulo rectángulo con catetos $33$ y $56$ tiene hipotenusa $\sqrt{33^2 + 56^2} = \sqrt{4225} = 65,$ una terna primitiva. Su perímetro es $33 + 56 + 65 = 154.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The smallest angles $\alpha, \beta$ of the $3$ - $4$ - $5$ and $5$ - $12$ - $13$ triangles have $\tan\alpha = \tfrac34$ and $\tan\beta = \tfrac{5}{12}.$ By the tangent addition formula, $\begin{aligned} &\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tfrac34 + \tfrac{5}{12}}{1 - \tfrac34\cdot\tfrac{5}{12}} \\ &= \frac{\tfrac{14}{12}}{\tfrac{33}{48}} \\ &= \frac{56}{33}. \end{aligned}$

The third smallest angle $\gamma$ satisfies $\gamma = 90^\circ - (\alpha + \beta),$ so $\tan\gamma = \dfrac{33}{56}.$ The right triangle with legs $33$ and $56$ has hypotenuse $\sqrt{33^2 + 56^2} = \sqrt{4225} = 65,$ a primitive triple. Its perimeter is $33 + 56 + 65 = 154.$

Thus, the correct answer is C.

22.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con longitudes de lado enteras y con la propiedad de que $\angle B = 2\angle A.$ ¿Cuál es el menor perímetro posible de tal triángulo?

Let $\triangle ABC$ be a triangle with integer side lengths and the property that $\angle B = 2\angle A.$ What is the least possible perimeter of such a triangle?

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Conceptos:ley de los senos Ecuación diofántica desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Con $a = BC,$ $b = CA,$ $c = AB,$ la condición $\angle B = 2\angle A$ equivale a $b^2 = a(a + c)$ .

With $a = BC,$ $b = CA,$ $c = AB,$ the condition $\angle B = 2\angle A$ is equivalent to $b^2 = a(a + c)$

Pista grande:

Como el perímetro es $b+\dfrac{b^2}{a}\gt2b,$ un perímetro menor que $15$ exige $b\le6$ ; revisa los divisores $a\lt b$ de $b^2$

Since the perimeter is $b+\dfrac{b^2}{a}\gt2b,$ a perimeter below $15$ would require $b\le6$ ; check the divisors $a\lt b$ of $b^2$

Solución:

Cuando $\angle B = 2\angle A,$ las longitudes de los lados satisfacen $b^2 = a(a + c),$ donde $a = BC,$ $b = CA,$ $c = AB.$ Por tanto, $c = \dfrac{b^2 - a^2}{a}$ debe ser un entero positivo y los lados deben formar un triángulo válido.

Además, $b\gt a,$ porque $\angle B=2\angle A\gt\angle A.$ El perímetro es $a+b+c=b+\dfrac{b^2}{a}\gt2b.$ Por ello, un perímetro menor que $15$ exigiría $b\le6.$ Para $b=2,3,4,5,6,$ los divisores $a\lt b$ de $b^2$ producen los pares posibles $\begin{gathered} (b,a)=(2,1),(3,1),\\ (4,1),(4,2),(5,1),\\ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4). \end{gathered}$ Al sustituir, se obtiene un triángulo degenerado o inválido en todos los casos salvo $(a,b)=(4,6),$ que da $c=5.$ Por tanto, $(4,5,6)$ es el primer triángulo válido y su perímetro es $15.$

Así, la respuesta correcta es C.

When $\angle B = 2\angle A,$ the side lengths satisfy $b^2 = a(a + c),$ where $a = BC,$ $b = CA,$ $c = AB.$ So $c = \dfrac{b^2 - a^2}{a}$ must be a positive integer, and the sides must form a valid triangle.

Also $b\gt a,$ because $\angle B=2\angle A\gt\angle A.$ The perimeter is $a+b+c=b+\dfrac{b^2}{a}\gt2b.$ Therefore a perimeter below $15$ would require $b\le6.$ For $b=2,3,4,5,6,$ the divisors $a\lt b$ of $b^2$ give the possible pairs $\begin{gathered} (b,a)=(2,1),(3,1),\\ (4,1),(4,2),(5,1),\\ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4). \end{gathered}$ Substitution gives a degenerate or invalid triangle in every case except $(a,b)=(4,6),$ which gives $c=5.$ Thus $(4,5,6)$ is the first valid triangle, and its perimeter is $15.$

Thus, the correct answer is C.

23.

Una pirámide recta tiene como base el octágono regular $ABCDEFGH$ con lado de longitud $1$ y ápice $V.$ Los segmentos $\overline{AV}$ y $\overline{DV}$ son perpendiculares. ¿Cuál es el cuadrado de la altura de la pirámide?

A right pyramid has regular octagon $ABCDEFGH$ with side length $1$ as its base and apex $V.$ Segments $\overline{AV}$ and $\overline{DV}$ are perpendicular. What is the square of the height of the pyramid?

$1$

$\dfrac{1 + \sqrt2}{2}$

$\sqrt2$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{2 + \sqrt2}{3}$

Conceptos:pirámide polígono regular Geometría 3D

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Cada arista lateral tiene longitud $L$ con $L^2 = h^2 + R^2,$ donde $R$ es el circunradio del octágono; el ángulo recto en $V$ da $AD^2 = 2L^2$ .

Each lateral edge has length $L$ with $L^2 = h^2 + R^2,$ where $R$ is the octagon’s circumradius; the right angle at $V$ gives $AD^2 = 2L^2$

Pista grande:

$A$ y $D$ están separados por tres vértices, así que el ángulo central es $135^\circ$ y $AD^2 = R^2(2 + \sqrt2);$ además $R^2 = \dfrac{2 + \sqrt2}{2}.$ Despeja $h^2$ .

$A$ and $D$ are three vertices apart, so the central angle is $135^\circ$ and $AD^2 = R^2(2 + \sqrt2);$ also $R^2 = \dfrac{2 + \sqrt2}{2}.$ Solve for $h^2$

Solución:

Sea $R$ el circunradio del octágono y $L$ la longitud de cada arista lateral, así que $L^2 = h^2 + R^2.$ Como $\angle AVD = 90^\circ,$ $AD^2 = 2L^2.$

Los vértices $A$ y $D$ están separados por tres pasos, un ángulo central de $135^\circ,$ así que $AD^2$ $= 2R^2(1 - \cos 135^\circ)$ $= R^2(2 + \sqrt2).$ Igualando $R^2(2 + \sqrt2) = 2(h^2 + R^2)$ se obtiene $2h^2 = R^2\sqrt2.$

Para un octágono regular de lado $1,$ $R^2 = \dfrac{1}{2\sin^2(22.5^\circ)} = \dfrac{2 + \sqrt2}{2}.$ Por lo tanto $h^2$ $= \dfrac{R^2\sqrt2}{2}$ $= \dfrac{(2 + \sqrt2)\sqrt2}{4}$ $= \dfrac{2\sqrt2 + 2}{4}$ $= \dfrac{1 + \sqrt2}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $R$ be the circumradius of the octagon and $L$ the length of each lateral edge, so $L^2 = h^2 + R^2.$ Since $\angle AVD = 90^\circ,$ $AD^2 = 2L^2.$

Vertices $A$ and $D$ are three steps apart, a central angle of $135^\circ,$ so $AD^2$ $= 2R^2(1 - \cos 135^\circ)$ $= R^2(2 + \sqrt2).$ Setting $R^2(2 + \sqrt2) = 2(h^2 + R^2)$ gives $2h^2 = R^2\sqrt2.$

For a regular octagon of side $1,$ $R^2 = \dfrac{1}{2\sin^2(22.5^\circ)} = \dfrac{2 + \sqrt2}{2}.$ Therefore $h^2$ $= \dfrac{R^2\sqrt2}{2}$ $= \dfrac{(2 + \sqrt2)\sqrt2}{4}$ $= \dfrac{2\sqrt2 + 2}{4}$ $= \dfrac{1 + \sqrt2}{2}.$

Thus, the correct answer is B.

24.

¿Cuál es el número de ternas ordenadas $(a, b, c)$ de enteros positivos, con $a \le b \le c \le 9,$ tales que existe un triángulo (no degenerado) $\triangle ABC$ con inradio entero para el cual $a,$ $b,$ y $c$ son las longitudes de las alturas desde $A$ hacia $\overline{BC},$ desde $B$ hacia $\overline{AC},$ y desde $C$ hacia $\overline{AB},$ respectivamente? (Recuerda que el inradio de un triángulo es el radio del mayor círculo que puede inscribirse en el triángulo.)

What is the number of ordered triples $(a, b, c)$ of positive integers, with $a \le b \le c \le 9,$ such that there exists a (non-degenerate) triangle $\triangle ABC$ with an integer inradius for which $a,$ $b,$ and $c$ are the lengths of the altitudes from $A$ to $\overline{BC},$ $B$ to $\overline{AC},$ and $C$ to $\overline{AB},$ respectively? (Recall that the inradius of a triangle is the radius of the largest possible circle that can be inscribed in the triangle.)

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:altura circunferencia inscrita, incentro e inradio desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Como cada lado es igual a $\dfrac{2[\triangle]}{\text{altura}},$ el inradio satisface $\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c$ .

Since each side equals $\dfrac{2[\triangle]}{\text{altitude}},$ the inradius satisfies $\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c$

Pista grande:

Los lados son proporcionales a $\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c,$ así que la no degeneración requiere $\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c;$ busca ternas con $\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c$ siendo una fracción unitaria.

The sides are proportional to $\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c,$ so non-degeneracy needs $\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c;$ seek triples with $\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c$ a unit fraction

Solución:

Al escribir cada lado como $\dfrac{2[\triangle]}{h},$ el semiperímetro es $[\triangle]\bigl(\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c\bigr),$ así que el inradio $r = \dfrac{[\triangle]}{s}$ satisface $\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c.$ Necesitamos que sea $\dfrac1r$ para un entero positivo $r,$ y que los lados, proporcionales a $\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c$ , formen un triángulo no degenerado, lo cual exige $\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c.$

Como $a\le b\le c\le9,$ la suma de recíprocos es al menos $\frac{3}{c}\ge\frac{1}{3},$ así que $r$ es uno de $1,2,3.$ Además, $\frac{1}{a}\lt\frac{1}{r}\le\frac{3}{a},$ de modo que $r\lt a\le3r.$ Para cada uno de estos pocos valores de $r,a,$ sustituimos $b=a,a+1,\ldots,9$ en $c=\frac{abr}{ab-ar-br}.$ Al conservar solo los valores enteros $c$ con $b\le c\le9$ , obtenemos la lista completa $\begin{array}{c|l} r& (a,b,c)\\ \hline 1&(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)\\ 2&(4,8,8),(6,6,6)\\ 3&(9,9,9). \end{array}$ Las ternas $(2,3,6),(2,4,4),$ y $(4,8,8)$ tienen $\tfrac1a=\tfrac1b+\tfrac1c$ y por ello producen triángulos degenerados. Las ternas restantes son $(3,3,3),(6,6,6),$ y $(9,9,9),$ así que la respuesta es $3.$

Así, la respuesta correcta es B.

Writing each side as $\dfrac{2[\triangle]}{h},$ the semiperimeter is $[\triangle]\bigl(\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c\bigr),$ so the inradius $r = \dfrac{[\triangle]}{s}$ satisfies $\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c.$ We need this to be $\dfrac1r$ for a positive integer $r,$ with the sides (proportional to $\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c$ ) forming a non-degenerate triangle, requiring $\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c.$

Because $a\le b\le c\le9,$ the reciprocal sum is at least $\frac{3}{c}\ge\frac{1}{3},$ so the integer $r$ is one of $1,2,3.$ Also $\frac{1}{a}\lt\frac{1}{r}\le\frac{3}{a},$ so $r\lt a\le3r.$ For each of these few values of $r,a,$ substitute $b=a,a+1,\ldots,9$ into $c=\frac{abr}{ab-ar-br}.$ Keeping only integral $c$ with $b\le c\le9$ gives the complete list $\begin{array}{c|l} r& (a,b,c)\\ \hline 1&(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)\\ 2&(4,8,8),(6,6,6)\\ 3&(9,9,9). \end{array}$ The triples $(2,3,6),(2,4,4),$ and $(4,8,8)$ have $\tfrac1a=\tfrac1b+\tfrac1c$ and therefore give degenerate triangles. The remaining triples are $(3,3,3),(6,6,6),$ and $(9,9,9),$ so the answer is $3.$

Thus, the correct answer is B.

25.

Pablo decorará cada una de $6$ bolas blancas idénticas con un patrón de rayas o de puntos, usando pintura roja o azul. Decidirá el color y el patrón de cada bola lanzando una moneda justa para cada una de las $12$ decisiones que debe tomar. Después de que la pintura se seque, colocará las $6$ bolas en una urna. Frida seleccionará al azar una bola de la urna y anotará su color y patrón. Los eventos “la bola que Frida selecciona es roja” y “la bola que Frida selecciona es de rayas” pueden ser o no independientes, según el resultado de los lanzamientos de moneda de Pablo. La probabilidad de que estos dos eventos sean independientes puede escribirse como $\dfrac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m$ ? (Recuerda que dos eventos $A$ y $B$ son independientes si $P(A \text{ y } B) = P(A)\cdot P(B).$ )

Pablo will decorate each of $6$ identical white balls with either a striped or a dotted pattern, using either red or blue paint. He will decide on the color and pattern for each ball by flipping a fair coin for each of the $12$ decisions he must make. After the paint dries, he will place the $6$ balls in an urn. Frida will randomly select one ball from the urn and note its color and pattern. The events “the ball Frida selects is red” and “the ball Frida selects is striped” may or may not be independent, depending on the outcome of Pablo’s coin flips. The probability that these two events are independent can be written as $\dfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m?$ (Recall that two events $A$ and $B$ are independent if $P(A \text{ and } B) = P(A)\cdot P(B).$ )

$243$

$245$

$247$

$249$

$251$

Conceptos:eventos independientes análisis por casos

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Supón que entre las seis bolas hay $k$ que son rojas y de rayas, con $R$ rojas y $S$ de rayas en total. La independencia para la elección uniforme de Frida significa $\dfrac{k}{6} = \dfrac{R}{6}\cdot\dfrac{S}{6}$ .

Let the six balls include $k$ that are red-and-striped, with $R$ red and $S$ striped total. Independence for Frida’s uniform pick means $\dfrac{k}{6} = \dfrac{R}{6}\cdot\dfrac{S}{6}$

Pista grande:

Así que la condición es $6k = RS.$ Cuenta las asignaciones de $6$ bolas a los $4$ tipos igualmente probables que la cumplen, sobre $4^6$ en total, usando coeficientes multinomiales.

So the condition is $6k = RS.$ Count assignments of $6$ balls to the $4$ equally likely types satisfying this, over $4^6$ total, using multinomial coefficients

Solución:

Cada bola es independientemente uno de cuatro tipos equiprobables: roja con rayas, roja con puntos, azul con rayas, azul con puntos. Supongamos que entre las $6$ bolas hay $k$ rojas con rayas, con $R$ rojas y $S$ con rayas en total. Para la elección uniforme de Frida, $P(\text{roja}) = \tfrac{R}{6},$ $P(\text{con rayas}) = \tfrac{S}{6},$ y $P(\text{roja y con rayas}) = \tfrac{k}{6}.$ La independencia exige $\dfrac{k}{6} = \dfrac{R}{6}\cdot\dfrac{S}{6},$ es decir, $6k = RS.$

Primero contemos las asignaciones con $R\in\{0,6\}$ o $S\in\{0,6\}.$ Cada una de estas cuatro condiciones deja $2^6=64$ opciones para el otro atributo, y las cuatro asignaciones en sus intersecciones por pares se han contado dos veces. Su unión aporta entonces $4\cdot64-4=252.$

Para $1\le R,S\le5,$ la condición de que $RS$ sea divisible por $6$ deja solo $(R,S)=(2,3),(3,2)$ o $(3,4),(4,3).$ En cada caso $k=\frac{RS}{6},$ y las cuatro cantidades por tipo son una permutación de $(1,1,2,2).$ Así, cada par aporta $\dfrac{6!}{1!1!2!2!}=180$ asignaciones. El total favorable es $252+4\cdot180=972.$ De $4^6=4096$ asignaciones equiprobables, la probabilidad es $\dfrac{972}{4096}=\dfrac{243}{1024},$ por lo que $m=243.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each ball is independently one of four equally likely types: red-striped, red-dotted, blue-striped, blue-dotted. Suppose among the $6$ balls there are $k$ red-striped, with $R$ red and $S$ striped in total. For Frida’s uniform pick, $P(\text{red}) = \tfrac{R}{6},$ $P(\text{striped}) = \tfrac{S}{6},$ and $P(\text{red and striped}) = \tfrac{k}{6}.$ Independence means $\dfrac{k}{6} = \dfrac{R}{6}\cdot\dfrac{S}{6},$ i.e. $6k = RS.$

First count assignments with $R\in\{0,6\}$ or $S\in\{0,6\}.$ Each of these four conditions leaves $2^6=64$ choices for the other attribute, and the four assignments at their pairwise intersections have been counted twice. Their union therefore contributes $4\cdot64-4=252.$

For $1\le R,S\le5,$ the condition that $RS$ be divisible by $6$ leaves only $(R,S)=(2,3),(3,2)$ or $(3,4),(4,3).$ In each case $k=\frac{RS}{6},$ and the four type counts are a permutation of $(1,1,2,2).$ Thus each pair contributes $\dfrac{6!}{1!1!2!2!}=180$ assignments. The favorable count is therefore $252+4\cdot180=972.$ Out of $4^6=4096$ equally likely assignments, the probability is $\dfrac{972}{4096}=\dfrac{243}{1024},$ so $m=243.$

Thus, the correct answer is A.