Question

有多少个三位偶数满足：从左到右读，它们的各位数字严格递增？

How many even three-digit integers have the property that their digits, read left to right, are in strictly increasing order?

$21$

$34$

$51$

$72$

$150$

答案：B

知识点：数字组合分类讨论

难度评级：1390

小提示：

个位数字是偶数；前两个较小的数字都必须小于它

The units digit is even; the two smaller digits must both be less than it

大提示：

对每个偶数个位 $c$ 数出从小于 $c$ 的数字中选两个递增数字的方法数

For each even units digit $c,$ count the ways to choose two increasing digits below $c$

解答：

设三个数字为 $a \lt b \lt c$ ，且 $c$ 为偶数。因为 $a \geq 1$ ，没有数字为零，并且 $c \neq 2$ （没有两个更小的非零数字可选）。

一旦个位数字 $c$ 固定，任意两个小于它的不同数字都能按递增顺序唯一排列。因此每个 $c$ 的计数是 $\binom{c-1}{2}$ 。

对 $c = 4, 6, 8$ 分别计数，得到 $\begin{aligned} &\binom{3}{2} + \binom{5}{2} \\ &\quad {}+ \binom{7}{2} = 3 + 10 + 21 \\ &\quad = 34 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

Let the digits be $a \lt b \lt c$ with $c$ even. Since $a \geq 1,$ no digit is zero, and $c \neq 2$ (there is no room for two smaller nonzero digits).

Once the units digit $c$ is fixed, any two distinct digits below it can be arranged in increasing order in exactly one way. So the count for each $c$ is $\binom{c-1}{2}.$

For $c = 4, 6, 8$ this gives $\begin{aligned} &\binom{3}{2} + \binom{5}{2} \\ &\quad {}+ \binom{7}{2} = 3 + 10 + 21 \\ &\quad = 34. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 12B 第 9 题

答案：B

难度评级：1390

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题