Question

将 $x^9-x$ 尽可能完全地分解为具有整数系数的多项式和单项式之积，所得因式的个数为：

When $x^9-x$ is factored as completely as possible into polynomials and monomials with integral coefficients, the number of factors is:

多于 $5$ 个

more than $5$

$5$

$4$

$3$

$2$

答案：B

知识点：因式分解平方差多项式

难度评级：1280

小提示：

从 $x(x^8-1)$ 开始，反复使用平方差公式

Begin with $x(x^8-1)$ and repeatedly use differences of squares

大提示：

在整数范围内，分解出 $x$ 、 $x-1$ 、 $x+1$ 、 $x^2+1$ 和 $x^4+1$ 后停止

Over the integers, stop after isolating $x,$ $x-1,$ $x+1,$ $x^2+1,$ and $x^4+1$

解答：

在整数范围内分解得 $\begin{aligned} x^9-x &=x(x-1)(x+1)\\ &\quad\cdot(x^2+1)(x^4+1) \end{aligned}\text{。}$ 最后两个非常数因式在整数范围内不可约，所以共有 $5$ 个因式。

所以正确答案是 B。

Factoring over the integers gives $\begin{aligned} x^9-x &=x(x-1)(x+1)\\ &\quad\cdot(x^2+1)(x^4+1). \end{aligned}$ The last two nonconstant factors are irreducible over the integers, so there are $5$ factors.

Thus, the correct answer is B.

1962 AMC 12 第 9 题

答案：B

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题