Question

设 $n$ 是满足以下条件的最小正整数： $n$ 可被 $20$ 整除， $n^2$ 是完全立方数，且 $n^3$ 是完全平方数。 $n$ 有多少位数字？

Let $n$ be the smallest positive integer such that $n$ is divisible by $20,$ $n^2$ is a perfect cube, and $n^3$ is a perfect square. What is the number of digits of $n?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

答案：E

知识点：质因数分解完全幂最小公倍数

难度评级：1520

小提示：

写成 $n=2^a\cdot5^b$ ；任何额外的质因数只会使 $n$ 更大

Write $n=2^a\cdot5^b;$ any extra prime factor only makes $n$ larger

大提示：

$n^2$ 是立方数迫使 $a$ 和 $b$ 都是 $3$ 的倍数； $n^3$ 是平方数迫使 $a$ 和 $b$ 都是 $2$ 的倍数

$n^2$ a cube forces $a$ and $b$ to be multiples of $3;$ $n^3$ a square forces $a$ and $b$ to be multiples of $2$

解答：

为了最小， $n$ 只使用 $20$ 的质因数，所以 $n=2^a\cdot5^b$ ，其中 $a\ge2$ ， $b\ge1$ 。

因为 $n^2=2^{2a}5^{2b}$ 是完全立方数， $a$ 和 $b$ 都是 $3$ 的倍数。因为 $n^3=2^{3a}5^{3b}$ 是完全平方数， $a$ 和 $b$ 都是 $2$ 的倍数。因此 $a$ 和 $b$ 都是 $6$ 的倍数。

最小选择是 $a=b=6$ ，所以 $n=2^6\cdot5^6=10^6=1{,}000{,}000$ ，它有 $7$ 位数字。

因此，正确答案是 E。

To be smallest, $n$ uses only the primes of $20,$ so $n=2^a\cdot5^b$ with $a\ge2$ and $b\ge1.$

Since $n^2=2^{2a}5^{2b}$ is a perfect cube, $a$ and $b$ are multiples of $3.$ Since $n^3=2^{3a}5^{3b}$ is a perfect square, $a$ and $b$ are multiples of $2.$ Hence $a$ and $b$ are multiples of $6.$

The smallest choice is $a=b=6,$ so $n=2^6\cdot5^6=10^6=1{,}000{,}000,$ which has $7$ digits.

Thus, the correct answer is E.

2010 AMC 12B 第 9 题

答案：E

难度评级：1520

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题