Question

一个长方体的表面积和体积在数值上相等，它的边长为 $\log_2 x$ ， $\log_3 x$ ，和 $\log_4 x$ 。 $x$ 是多少？

A right rectangular prism whose surface area and volume are numerically equal has edge lengths $\log_2 x,$ $\log_3 x,$ and $\log_4 x.$ What is $x?$

$2\sqrt{6}$

$6\sqrt{6}$

$24$

$48$

$576$

答案：E

知识点：表面积体积对数

难度评级：1500

小提示：

若边长为 $a, b, c$ ，方程 $abc = 2(ab + bc + ca)$ 可化为 $1 = 2\left(\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b} + \tfrac{1}{c}\right)$

With edges $a, b, c,$ the equation $abc = 2(ab + bc + ca)$ divides to $1 = 2\left(\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b} + \tfrac{1}{c}\right)$

大提示：

$\dfrac{1}{\log_2 x}$ $+ \dfrac{1}{\log_3 x}$ $+ \dfrac{1}{\log_4 x}$ $= \log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4$ $= \log_x 24$ 。

$\dfrac{1}{\log_2 x}$ $+ \dfrac{1}{\log_3 x}$ $+ \dfrac{1}{\log_4 x}$ $= \log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4$ $= \log_x 24$

解答：

令 $a = \log_2 x$ ， $b = \log_3 x$ ， $c = \log_4 x$ 。表面积等于体积给出 $2(ab + bc + ca) = abc$ 。两边除以 $abc$ ，得 $1 = 2\left(\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)\text{。}$

因为 $\dfrac{1}{a} = \log_x 2$ ，等等，所以和为 $\log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4 = \log_x 24$ 。于是 $1 = 2\log_x 24$ ，所以 $\log_x 24 = \tfrac{1}{2}$ ，即 $x^{\frac{1}{2}} = 24$ ，从而 $x = 576$ 。

所以正确答案是 E。

Let $a = \log_2 x,$ $b = \log_3 x,$ $c = \log_4 x.$ Surface area equals volume gives $2(ab + bc + ca) = abc.$ Dividing by $abc,$ $1 = 2\left(\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right).$

Since $\dfrac{1}{a} = \log_x 2,$ etc., the sum is $\log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4 = \log_x 24.$ Thus $1 = 2\log_x 24,$ so $\log_x 24 = \tfrac{1}{2},$ meaning $x^{\frac{1}{2}} = 24$ and $x = 576.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall 第 9 题

答案：E

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题