Question

在附图中， $PQ$ 是立方体的一条对角线。若 $PQ$ 的长度为 $a$ ，则立方体的表面积为

In the adjoining figure, $PQ$ is a diagonal of the cube. If $PQ$ has length $a,$ then the surface area of the cube is

$2a^2$

$2\sqrt2a^2$

$2\sqrt3a^2$

$3\sqrt3a^2$

$6a^2$

把立方体的空间对角线与边长联系起来

Relate the cube’s space diagonal to its side length

将边长代入六个正方形面的面积公式

Substitute the side length into the formula for six square faces

若边长为 $s$ ，则空间对角线满足 $s\sqrt3=a$ ，所以 $s^2=\frac{a^2}{3}$ 。表面积为 $6s^2=6(\frac{a^2}{3})=2a^2$ 。

所以正确答案是 A。

If the side length is $s,$ then the space diagonal is $s\sqrt3=a,$ so $s^2=\frac{a^2}{3}.$ The surface area is $6s^2=6(\frac{a^2}{3})=2a^2.$

Therefore, the correct answer is A.