Question

如图， $ABCD$ 是一个 $2$ 乘 $2$ 的正方形， $E$ 是 $\overline{AD}$ 的中点，且 $F$ 在 $\overline{BE}$ 上。若 $\overline{CF}$ 垂直于 $\overline{BE}$ ，则四边形 $CDEF$ 的面积为

In the figure, $ABCD$ is a $2$ by $2$ square, $E$ is the midpoint of $\overline{AD},$ and $F$ is on $\overline{BE}.$ If $\overline{CF}$ is perpendicular to $\overline{BE},$ then the area of quadrilateral $CDEF$ is

$2$

$3-\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{11}{5}$

$\sqrt5$

$\frac94$

答案：C

知识点：坐标几何面积

难度评级：1630

小提示：

建立坐标系，使 $B=(0,0)$ 、 $C=(2,0)$ 、 $A=(0,2)$ 、 $E=(1,2)$

Place $B=(0,0),$ $C=(2,0),$ $A=(0,2),$ and $E=(1,2)$

大提示：

求直线 $BE$ 与过 $C$ 且垂直于 $BE$ 的直线的交点 $F$

Find $F$ as the intersection of $BE$ with the line through $C$ perpendicular to $BE$

解答：

按第一个提示建立坐标系后，直线 $BE$ 的方程为 $y=2x$ ，过 $C$ 的垂线方程为 $y=-\frac{(x-2)}{2}$ 。两直线交于 $F=(\frac{2}{5},\frac{4}{5})$ 。正方形的面积为 $4$ ，而三角形 $AEF$ 和 $BCF$ 的面积分别为 $\frac{3}{5}$ 和 $\frac{4}{5}$ 。因此 $[CDEF]=4-\frac{3}{5}$ ${}-\frac{4}{5}=\frac{11}{5}$ ，故正确答案是 C。

With the coordinates in the first hint, $BE$ has equation $y=2x,$ and the perpendicular through $C$ is $y=-\frac{(x-2)}{2}.$ Their intersection is $F=(\frac{2}{5},\frac{4}{5}).$ The square has area $4,$ while triangles $AEF$ and $BCF$ have areas $\frac{3}{5}$ and $\frac{4}{5},$ respectively. Hence $[CDEF]=4-\frac{3}{5}$ ${}-\frac{4}{5}=\frac{11}{5},$ so C is correct.

1997 AMC 12 第 9 题

答案：C

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题