Question

点 $A$ 和 $B$ 在半径为 $5$ 的圆上，且 $AB = 6$ 。点 $C$ 是小弧 $AB$ 的中点。线段 $AC$ 的长度是多少？

Points $A$ and $B$ are on a circle of radius $5$ and $AB = 6.$ Point $C$ is the midpoint of the minor arc $AB.$ What is the length of the line segment $AC?$

$\sqrt{10}$

$\dfrac{7}{2}$

$\sqrt{14}$

$\sqrt{15}$

$4$

答案：A

知识点：弦垂直平分线勾股定理

难度评级：1500

小提示：

经过弧中点 $C$ 的半径垂直平分弦 $AB$ ，交于 $D$ ，且 $AD = 3$ 。

The radius through the arc midpoint $C$ perpendicularly bisects chord $AB,$ meeting it at $D$ with $AD = 3$

大提示：

先求圆心到弦的距离 $OD$ ，再求 $DC = 5 - OD$ ，最后对 $\triangle ADC$ 使用勾股定理。

Find the center-to-chord distance $OD,$ then $DC = 5 - OD,$ and apply the Pythagorean theorem to $\triangle ADC$

解答：

设 $O$ 为圆心， $D$ 为 $\overline{OC}$ 与 $\overline{AB}$ 的交点。因为 $C$ 是弧 $AB$ 的中点， $\overline{OC}$ 是弦的垂直平分线，所以 $AD = 3$ 。

在直角三角形 $ADO$ 中， $OD = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ ，所以 $DC = OC - OD = 5 - 4 = 1$ 。

然后在直角三角形 $ADC$ 中， $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2}$ $= \sqrt{3^2 + 1^2}$ $= \sqrt{10}$ 。

因此，正确答案是 A。

Let $O$ be the center and $D$ the point where $\overline{OC}$ meets $\overline{AB}.$ Since $C$ is the midpoint of arc $AB,$ $\overline{OC}$ is the perpendicular bisector of the chord, so $AD = 3.$

In right triangle $ADO,$ $OD = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4,$ so $DC = OC - OD = 5 - 4 = 1.$

Then in right triangle $ADC,$ $AC = \sqrt{AD^2 + DC^2}$ $= \sqrt{3^2 + 1^2}$ $= \sqrt{10}.$

Thus, the correct answer is A.

2008 AMC 12B 第 9 题

答案：A

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

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