Question

三角形 $PAB$ 与正方形 $ABCD$ 位于互相垂直的两个平面内。已知 $PA=3$ 、 $PB=4$ 、 $AB=5$ ，求 $PD$ 。

Triangle $PAB$ and square $ABCD$ are in perpendicular planes. Given that $PA=3,$ $PB=4,$ and $AB=5,$ what is $PD?$

$5$

$\sqrt{34}$

$\sqrt{41}$

$2\sqrt{13}$

$8$

答案：B

知识点：three-dimensional geometry Pythagorean theorem

难度评级：1570

小提示：

先在 $3$ - $4$ - $5$ 三角形 $PAB$ 中确定直角

First identify the right angle in the $3$ - $4$ - $5$ triangle $PAB$

大提示：

一个平面内垂直于两平面交线的直线，也垂直于另一个平面

A line in one plane perpendicular to the planes’ intersection is perpendicular to the other plane

解答：

因为 $PA^2+PB^2$ $=3^2+4^2=5^2=AB^2$ ，所以三角形 $PAB$ 在 $P$ 处为直角。在正方形 $ABCD$ 中， $AD=5$ ，且 $AD\perp AB$ 。由于两个平面沿 $AB$ 互相垂直， $AD$ 垂直于 $PAB$ 所在平面，因而也垂直于 $AP$ 。所以 $PD^2=PA^2+AD^2$ $=3^2+5^2=34$ 。正确答案是 B。

Since $PA^2+PB^2$ $=3^2+4^2=5^2=AB^2,$ triangle $PAB$ is right at $P.$ In square $ABCD,$ $AD=5$ and $AD\perp AB.$ Because the two planes are perpendicular along $AB,$ $AD$ is perpendicular to the plane of $PAB,$ and hence to $AP.$ Thus $PD^2=PA^2+AD^2$ $=3^2+5^2=34.$ The correct answer is B.

1996 AMC 12 第 9 题

答案：B

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题