Question

一个圆的圆心为 $(-10, -4)$ ，半径为 $13$ 。另一个圆的圆心为 $(3, 9)$ ，半径为 $\sqrt{65}$ 。经过这两个圆交点的直线方程为 $x + y = c$ 。 $c$ 是多少？

A circle has center $(-10, -4)$ and radius $13.$ Another circle has center $(3, 9)$ and radius $\sqrt{65}.$ The line passing through the two points of intersection of the two circles has equation $x + y = c.$ What is $c?$

$3$

$3\sqrt{3}$

$4\sqrt{2}$

$6$

$\dfrac{13}{2}$

答案：A

知识点：根轴圆坐标几何

难度评级：1410

小提示：

将两个圆写为 $(x+10)^2 + (y+4)^2 = 169$ 和 $(x-3)^2 + (y-9)^2 = 65$

Write both circles as $(x+10)^2 + (y+4)^2 = 169$ and $(x-3)^2 + (y-9)^2 = 65$

大提示：

展开后用一个方程减去另一个方程；二次项会相消

Subtract one expanded equation from the other; the quadratic terms cancel

解答：

两个圆为 $(x+10)^2 + (y+4)^2 = 169$ 和 $(x-3)^2 + (y-9)^2 = 65$ 。展开并用第一个方程减去第二个方程， $x^2$ 与 $y^2$ 项相消，化简为 $x + y = 3$ 。任一交点都满足该方程，因此这就是经过两个交点的直线，且 $c = 3$ 。

所以正确答案是 A。

The circles are $(x+10)^2 + (y+4)^2 = 169$ and $(x-3)^2 + (y-9)^2 = 65.$ Expanding and subtracting the second from the first cancels the $x^2$ and $y^2$ terms and simplifies to $x + y = 3.$ Any intersection point satisfies this, so it is the line through both, and $c = 3.$

Thus, the correct answer is A.

2017 AMC 12B 第 9 题

答案：A

难度评级：1410

小提示：

大提示：

解答：

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