Question

乘积 $\begin{aligned} &\left(1-\frac1{2^2}\right) \left(1-\frac1{3^2}\right)\\ &\quad{}\cdots \left(1-\frac1{9^2}\right) \left(1-\frac1{10^2}\right) \end{aligned}$ 等于

The product $\begin{aligned} &\left(1-\frac1{2^2}\right) \left(1-\frac1{3^2}\right)\\ &\quad{}\cdots \left(1-\frac1{9^2}\right) \left(1-\frac1{10^2}\right) \end{aligned}$ equals

$\frac5{12}$

$\frac12$

$\frac{11}{20}$

$\frac23$

$\frac7{10}$

答案：C

知识点：telescoping product 平方差

难度评级：1470

小提示：

将 $1-\frac{1}{n^2}$ 按平方差分解

Factor $1-\frac{1}{n^2}$ as a difference of squares

大提示：

把乘积分成 $\frac{n-1}{n}$ 和 $\frac{n+1}{n}$ 两类因子

Separate the product into factors $\frac{n-1}{n}$ and $\frac{n+1}{n}$

解答：

对每个 $n$ ， $1-\frac1{n^2}=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n+1}{n}\text{。}$ 因此乘积发生连锁消去： $\begin{aligned} \prod_{n=2}^{10}\left(1-\frac1{n^2}\right) &=\left(\frac12\right) \left(\frac{11}{10}\right)\\ &=\frac{11}{20}\text{。} \end{aligned}$

所以正确答案是 C。

For each $n,$ $1-\frac1{n^2}=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n+1}{n}.$ Therefore the product telescopes: $\begin{aligned} \prod_{n=2}^{10}\left(1-\frac1{n^2}\right) &=\left(\frac12\right) \left(\frac{11}{10}\right)\\ &=\frac{11}{20}. \end{aligned}$

Thus the correct answer is C.

1986 AMC 12 第 9 题

答案：C

难度评级：1470

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题