1958 AMC 12 第 9 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1958 AMC 12 第 9 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

满足方程 $x^2+b^2=(a-x)^2$ 的一个 $x$ 值为：

A value of $x$ satisfying the equation $x^2+b^2=(a-x)^2$ is:

$\dfrac{b^2+a^2}{2a}$

$\dfrac{b^2-a^2}{2a}$

$\dfrac{a^2-b^2}{2a}$

$\dfrac{a-b}{2}$

$\dfrac{a^2-b^2}{2}$

答案：C

知识点：一次方程代数变形平方差

难度评级：1360

小提示：

展开 $(a-x)^2$

Expand $(a-x)^2$

大提示：

$x^2$ 项相消，留下关于 $x$ 的一次方程

The $x^2$ -terms cancel, leaving a linear equation in $x$

解答：

展开右边，得到 $x^2+b^2=a^2-2ax+x^2\text{。}$ 消去 $x^2$ 并求解，得到 $\begin{aligned} 2ax&=a^2-b^2,\\ x&=\frac{a^2-b^2}{2a} \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案为 C。

Expanding the right side, $x^2+b^2=a^2-2ax+x^2.$ Cancelling $x^2$ and solving gives $\begin{aligned} 2ax&=a^2-b^2,\\ x&=\frac{a^2-b^2}{2a}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

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