2010 AMC 12B 真题与在线限时测验

计时

1:15:00

1.

Makayla 在 $9$ 小时工作日中参加了两场会议。第一场会议用了 $45$ 分钟，第二场会议用时是第一场的两倍。她工作日的百分之多少用于参加会议？

Makayla attended two meetings during her $9$ -hour work day. The first meeting took $45$ minutes and the second meeting took twice as long. What percent of her work day was spent attending meetings?

$15$

$20$

$25$

$30$

$35$

答案：C

知识点：百分数单位换算

难度评级：800

小提示：

把工作日换算成分钟： $9$ 小时是 $540$ 分钟

Convert the work day to minutes: $9$ hours is $540$ minutes

大提示：

两场会议合计用时 $45+2\cdot45$ 分钟

The two meetings together last $45+2\cdot45$ minutes

解答：

两场会议用了 $45+90=135$ 分钟，而工作日共有 $9\cdot60=540$ 分钟。

用于开会的时间占全天的比例是 $\frac{135}{540}=\frac14=25\%\text{。}$

因此，正确答案是 C。

The two meetings lasted $45+90=135$ minutes, and the work day is $9\cdot60=540$ minutes.

The fraction of the day spent in meetings is $\frac{135}{540}=\frac14=25\%.$

Thus, the correct answer is C.

2.

如图形成一个大写字母 L。它的面积是多少？

A big L is formed as shown. What is its area?

$22$

$24$

$26$

$28$

$30$

答案：A

知识点：面积分割矩形

难度评级：880

小提示：

把这个 L 形分成两个长方形

Split the L into two rectangles

大提示：

竖条是 $2\times8$ ，底部另加一个 $2\times3$ 的部分，因为 $5-2=3$

The vertical bar is $2\times8,$ and the foot adds a $2\times3$ piece since $5-2=3$

解答：

这个区域可以分成一个 $8\times2$ 的竖直长方形和一个 $2\times3$ 的水平底部，其中底部的宽为 $5-2=3$ 。

总面积为 $8\cdot2+3\cdot2=16+6=22\text{。}$

因此，正确答案是 A。

The region splits into an $8\times2$ vertical rectangle and a $2\times3$ horizontal foot, whose width is $5-2=3.$

The total area is $8\cdot2+3\cdot2=16+6=22.$

Thus, the correct answer is A.

3.

一张学校话剧票的价格是 $x$ 美元，其中 $x$ 是整数。一组 $9$ 年级学生买票共花 $\$48$ ，一组 $10$ 年级学生买票共花 $\$64$ 。 $x$ 可能有多少个取值？

A ticket to a school play costs $x$ dollars, where $x$ is a whole number. A group of $9$ th graders buys tickets costing a total of $\$48,$ and a group of $10$ th graders buys tickets costing a total of $\$64.$ How many values for $x$ are possible?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：E

知识点：最大公约数因数个数

难度评级：1010

小提示：

$x$ 必须同时整除 $48$ 和 $64$

$x$ must divide both $48$ and $64$

大提示：

数出 $48$ 和 $64$ 的公因数

Count the common divisors of $48$ and $64$

解答：

票价 $x$ 必须同时整除两个总价，所以 $x$ 是 $48$ 和 $64$ 的公因数。

因为 $\gcd(48,64)=16$ ，公因数为 $1, 2, 4, 8$ 和 $16$ 。因此有 $5$ 个可能的取值。

因此，正确答案是 E。

The price $x$ must divide both totals, so $x$ is a common divisor of $48$ and $64.$

Since $\gcd(48,64)=16,$ the common divisors are $1, 2, 4, 8,$ and $16.$ There are $5$ possible values.

Thus, the correct answer is E.

4.

某个有 $31$ 天的月份中，星期一和星期三的天数相同。这个月的第一天可能是七天中的多少种？

A month with $31$ days has the same number of Mondays and Wednesdays. How many of the seven days of the week could be the first day of this month?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

答案：B

知识点：日期与时间分类讨论

难度评级：1240

小提示：

$31=4\cdot7+3$ ，所以恰好有三个星期几会出现五次

$31=4\cdot7+3,$ so exactly three weekdays occur five times

大提示：

这三个星期几是这个月的前三天；检查星期一和星期三何时次数相同

Those three days are the first three days of the month; check when Monday and Wednesday match

解答：

因为 $31=4\cdot7+3$ ，这个月的前三天各出现五次，其余四天各出现四次。

星期一和星期三次数相同，恰好发生在它们都属于出现五次的一组，或都属于出现四次的一组时。

如果第一天是星期一，出现五次的是星期一、星期二、星期三。若第一天是星期四或星期五，出现五次的三天都不包含星期一和星期三。其他起始日都会只包含星期一和星期三中的一个。

所以第一天可以是星期一、星期四或星期五，共 $3$ 种可能。

因此，正确答案是 B。

Since $31=4\cdot7+3,$ the first three days of the month each occur five times, and the other four days occur four times.

Mondays and Wednesdays are equal in number exactly when both fall in the five-time group or both fall in the four-time group.

If the first day is Monday, the five-time days are Mon, Tue, Wed (both appear five times). If the first day is Thursday or Friday, the five-time days miss both Monday and Wednesday (both appear four times). Every other starting day includes exactly one of Monday or Wednesday.

So the first day can be Monday, Thursday, or Friday, giving $3$ possibilities.

Thus, the correct answer is B.

5.

幸运的 Larry 的老师让他把数代入表达式 $a-(b-(c-(d+e)))$ 中的 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 和 $e$ ，并求出表达式的值。Larry 忽略了括号，但加减运算本身没有出错，而且碰巧得到了正确结果。他代入 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 的数依次是 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 和 $4$ 。他代入 $e$ 的数是多少？

Lucky Larry’s teacher asked him to substitute numbers for $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ and $e$ in the expression $a-(b-(c-(d+e)))$ and evaluate the result. Larry ignored the parentheses but added and subtracted correctly and obtained the correct result by coincidence. The numbers Larry substituted for $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ were $1,$ $2,$ $3,$ and $4,$ respectively. What number did Larry substitute for $e?$

$-5$

$-3$

$0$

$3$

$5$

答案：D

知识点：运算顺序一次方程

难度评级：1100

小提示：

把正确表达式展开为 $a-b+c-d-e$

Expand the correct expression to $a-b+c-d-e$

大提示：

Larry 实际算的是 $a-b-c-d+e$ ；令这两个结果相等

Larry instead computed $a-b-c-d+e;$ set the two equal

解答：

正确的值是 $a-(b-(c-(d+e)))=$ $a-b+c-d-e$ 。代入 $a, b, c, d=1, 2, 3, 4$ 得到 $1-2+3-4-e=-2-e$ 。

Larry 去掉括号后算的是 $1-2-3-4+e=-8+e$ 。

令 $-2-e=-8+e$ ，得 $2e=6$ ，所以 $e=3$ 。

因此，正确答案是 D。

The correct value is $a-(b-(c-(d+e)))=$ $a-b+c-d-e.$ With $a, b, c, d=1, 2, 3, 4,$ this equals $1-2+3-4-e=-2-e.$

Larry dropped the parentheses and computed $1-2-3-4+e=-8+e.$

Setting $-2-e=-8+e$ gives $2e=6,$ so $e=3.$

Thus, the correct answer is D.

6.

学年开始时，Wells 老师数学班中 $50\%$ 的学生对问题“你喜欢数学吗？”回答“喜欢”， $50\%$ 回答“不喜欢”。学年结束时， $70\%$ 回答“喜欢”， $30\%$ 回答“不喜欢”。共有 $x\%$ 的学生在学年开始和结束时给出了不同回答。 $x$ 的最大可能值与最小可能值相差多少？

At the beginning of the school year, $50\%$ of all students in Mr. Wells’ math class answered “Yes” to the question “Do you love math”, and $50\%$ answered “No.” At the end of the school year, $70\%$ answered “Yes” and $30\%$ answered “No.” Altogether, $x\%$ of the students gave a different answer at the beginning and end of the school year. What is the difference between the maximum and the minimum possible values of $x?$

$0$

$20$

$40$

$60$

$80$

答案：D

知识点：百分数极端原理

难度评级：1410

小提示：

假设有 $100$ 名学生；回答“喜欢”的人数从 $50$ 增加到 $70$

Assume $100$ students; the “Yes” count rises from $50$ to $70$

大提示：

至少有 $20$ 人必须改变回答，而最终只有 $30$ 人回答“不喜欢”，这会限制最多有多少人改变回答

At least $20$ must switch, and only $30$ end with “No,” bounding how many can switch

解答：

假设有 $100$ 名学生。回答“喜欢”的人数从 $50$ 增加到 $70$ ，所以至少有 $70-50=20$ 名学生从“不喜欢”改为“喜欢”；因此 $x\ge20$ 。

因为结束时只有 $30$ 名学生回答“不喜欢”，原来回答“喜欢”的五十人中至少有 $50-30=20$ 人仍回答“喜欢”，所以最多有 $80$ 名学生改变回答；因此 $x\le80$ 。

两个极端都可以实现，所以差为 $80-20=60$ 。

因此，正确答案是 D。

Assume $100$ students. The number of “Yes” answers rises from $50$ to $70,$ so at least $70-50=20$ students switched from “No” to “Yes”; thus $x\ge20.$

Since only $30$ students answer “No” at the end, at least $50-30=20$ of the original “Yes” students still answer “Yes,” so at most $80$ students switched; thus $x\le80.$

Both extremes are achievable, so the difference is $80-20=60.$

Thus, the correct answer is D.

7.

如果不下雨，Shelby 骑滑板车的速度是每小时 $30$ 英里；如果下雨，速度是每小时 $20$ 英里。今天她早上在晴天中骑行，晚上在雨中骑行，总共 $40$ 分钟骑了 $16$ 英里。她在雨中骑了多少分钟？

Shelby drives her scooter at a speed of $30$ miles per hour if it is not raining, and $20$ miles per hour if it is raining. Today she drove in the sun in the morning and in the rain in the evening, for a total of $16$ miles in $40$ minutes. How many minutes did she drive in the rain?

$18$

$21$

$24$

$27$

$30$

答案：C

知识点：路程、速度与时间一次方程

难度评级：1240

小提示：

设 $t$ 为雨中骑行的分钟数；把两个速度都换算成英里每分钟

Let $t$ be the minutes in the rain; convert each speed to miles per minute

大提示：

雨中距离 $20\cdot\dfrac{t}{60}$ 加晴天距离 $30\cdot\dfrac{40-t}{60}$ 等于 $16$

Rain distance $20\cdot\dfrac{t}{60}$ plus sun distance $30\cdot\dfrac{40-t}{60}$ equals $16$

解答：

设 $t$ 为雨中骑行的分钟数。她在雨中骑了 $20\cdot\frac{t}{60}$ 英里，在晴天中骑了 $30\cdot\frac{40-t}{60}$ 英里。

令总距离为 $16$ ，得到 $\frac{20t+30(40-t)}{60}=16\text{，}$ 所以 $1200-10t=960$ ， $t=24$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $t$ be the number of minutes driven in the rain. She covers $20\cdot\frac{t}{60}$ miles in the rain and $30\cdot\frac{40-t}{60}$ miles in the sun.

Setting the total to $16$ gives $\frac{20t+30(40-t)}{60}=16,$ so $1200-10t=960$ and $t=24.$

Thus, the correct answer is C.

8.

Euclid 市的每所高中都派出一支由 $3$ 名学生组成的队伍参加数学竞赛。每名参赛者的分数都不同。Andrea 的分数是所有学生中的中位数，并且她是自己队中分数最高的。Andrea 的队友 Beth 和 Carla 分别排第 $37$ 名和第 $64$ 名。这个城市有多少所高中？

Every high school in the city of Euclid sent a team of $3$ students to a math contest. Each participant in the contest received a different score. Andrea’s score was the median among all students, and hers was the highest score on her team. Andrea’s teammates Beth and Carla placed $37$ th and $64$ th, respectively. How many schools are in the city?

$22$

$23$

$24$

$25$

$26$

答案：B

知识点：中位数（数据）奇偶性不等式

难度评级：1490

小提示：

若有 $n$ 所学校，则共有 $3n$ 名学生，中位数的位置是 $\dfrac{3n+1}{2}$

With $n$ schools there are $3n$ students, and the median sits at position $\dfrac{3n+1}{2}$

大提示：

$3n\ge64$ ，且 Andrea 排在 Beth 的第 $37$ 名之前，所以 $\dfrac{3n+1}{2}\lt37$

$3n\ge64,$ and Andrea placed ahead of Beth’s $37$ th, so $\dfrac{3n+1}{2}\lt37$

解答：

若有 $n$ 所学校，则共有 $3n$ 名学生。Carla 排第 $64$ 名，所以 $3n\ge64$ ， $n\ge22$ 。

分数都不同，且 Andrea 是中位数，所以 $3n$ 是奇数，从而 $n$ 是奇数且 $n\ge23$ 。

Andrea 的名次是 $\dfrac{3n+1}{2}$ ，且她高于 Beth（第 $37$ 名），所以 $\dfrac{3n+1}{2}\lt37$ ，得 $3n\lt73$ ， $n\le24$ 。唯一的奇数取值是 $n=23$ 。

因此，正确答案是 B。

With $n$ schools there are $3n$ students. Carla placed $64$ th, so $3n\ge64$ and $n\ge22.$

The scores are distinct and Andrea is the median, so $3n$ is odd, forcing $n$ odd and $n\ge23.$

Andrea’s position is $\dfrac{3n+1}{2},$ and she beat Beth ( $37$ th), so $\dfrac{3n+1}{2}\lt37,$ giving $3n\lt73$ and $n\le24.$ The only odd value is $n=23.$

Thus, the correct answer is B.

9.

设 $n$ 是满足以下条件的最小正整数： $n$ 可被 $20$ 整除， $n^2$ 是完全立方数，且 $n^3$ 是完全平方数。 $n$ 有多少位数字？

Let $n$ be the smallest positive integer such that $n$ is divisible by $20,$ $n^2$ is a perfect cube, and $n^3$ is a perfect square. What is the number of digits of $n?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

答案：E

知识点：质因数分解完全幂最小公倍数

难度评级：1520

小提示：

写成 $n=2^a\cdot5^b$ ；任何额外的质因数只会使 $n$ 更大

Write $n=2^a\cdot5^b;$ any extra prime factor only makes $n$ larger

大提示：

$n^2$ 是立方数迫使 $a$ 和 $b$ 都是 $3$ 的倍数； $n^3$ 是平方数迫使 $a$ 和 $b$ 都是 $2$ 的倍数

$n^2$ a cube forces $a$ and $b$ to be multiples of $3;$ $n^3$ a square forces $a$ and $b$ to be multiples of $2$

解答：

为了最小， $n$ 只使用 $20$ 的质因数，所以 $n=2^a\cdot5^b$ ，其中 $a\ge2$ ， $b\ge1$ 。

因为 $n^2=2^{2a}5^{2b}$ 是完全立方数， $a$ 和 $b$ 都是 $3$ 的倍数。因为 $n^3=2^{3a}5^{3b}$ 是完全平方数， $a$ 和 $b$ 都是 $2$ 的倍数。因此 $a$ 和 $b$ 都是 $6$ 的倍数。

最小选择是 $a=b=6$ ，所以 $n=2^6\cdot5^6=10^6=1{,}000{,}000$ ，它有 $7$ 位数字。

因此，正确答案是 E。

To be smallest, $n$ uses only the primes of $20,$ so $n=2^a\cdot5^b$ with $a\ge2$ and $b\ge1.$

Since $n^2=2^{2a}5^{2b}$ is a perfect cube, $a$ and $b$ are multiples of $3.$ Since $n^3=2^{3a}5^{3b}$ is a perfect square, $a$ and $b$ are multiples of $2.$ Hence $a$ and $b$ are multiples of $6.$

The smallest choice is $a=b=6,$ so $n=2^6\cdot5^6=10^6=1{,}000{,}000,$ which has $7$ digits.

Thus, the correct answer is E.

10.

数 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $\ldots$ ， $98$ ， $99$ 和 $x$ 的平均数是 $100x$ 。求 $x$ 。

The average of the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $98,$ $99,$ and $x$ is $100x.$ What is $x?$

$\dfrac{49}{101}$

$\dfrac{50}{101}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{51}{101}$

$\dfrac{50}{99}$

答案：B

知识点：平均数求和一次方程

难度评级：1410

小提示：

和 $1+2+\cdots+99$ 等于 $4950$

The sum $1+2+\cdots+99$ equals $4950$

大提示：

$\dfrac{4950+x}{100}=100x$ 。

$\dfrac{4950+x}{100}=100x$

解答：

数 $1$ 到 $99$ 的和是 $\dfrac{99\cdot100}{2}=4950$ 。

由平均数的条件可得 $\frac{4950+x}{100}=100x\text{，}$ 所以 $4950+x=10000x$ ， $9999x=4950$ 。

因此 $x=\dfrac{4950}{9999}=\dfrac{50}{101}$ 。

因此，正确答案是 B。

The numbers $1$ through $99$ sum to $\dfrac{99\cdot100}{2}=4950.$

The average condition is $\frac{4950+x}{100}=100x,$ so $4950+x=10000x$ and $9999x=4950.$

Thus $x=\dfrac{4950}{9999}=\dfrac{50}{101}.$

Thus, the correct answer is B.

11.

从 $1000$ 到 $10{,}000$ 之间的回文数中随机选一个。它能被 $7$ 整除的概率是多少？

A palindrome between $1000$ and $10{,}000$ is chosen at random. What is the probability that it is divisible by $7?$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{7}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

答案：E

知识点：回文数整除性基本概率

难度评级：1500

小提示：

四位回文数 $\overline{abba}$ 等于 $1001a+110b$

A four-digit palindrome $\overline{abba}$ equals $1001a+110b$

大提示：

$1001=7\cdot11\cdot13$ 可被 $7$ 整除，但 $110$ 不能

$1001=7\cdot11\cdot13$ is divisible by $7,$ but $110$ is not

解答：

四位回文数形如 $\overline{abba}=1001a+110b$ ，其中 $1\le a\le9$ ， $0\le b\le9$ 。

因为 $1001=7\cdot11\cdot13$ 可被 $7$ 整除，而 $110$ 不能，所以该数能被 $7$ 整除当且仅当 $b$ 是 $7$ 的倍数，即 $b=0$ 或 $b=7$ 。

对每个 $a$ ，这是 $b$ 的 $10$ 个选择中的 $2$ 个，概率为 $\dfrac{2}{10}=\dfrac15$ 。

因此，正确答案是 E。

A four-digit palindrome has the form $\overline{abba}=1001a+110b$ with $1\le a\le9$ and $0\le b\le9.$

Since $1001=7\cdot11\cdot13$ is divisible by $7$ and $110$ is not, the number is divisible by $7$ exactly when $b$ is divisible by $7,$ that is $b=0$ or $b=7.$

For each $a,$ that is $2$ of the $10$ choices of $b,$ a probability of $\dfrac{2}{10}=\dfrac15.$

Thus, the correct answer is E.

12.

$x$ 取何值时， $\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}\sqrt{x}+\log_2 x \\ &\quad {}+\log_4\left(x^2\right)+\log_8\left(x^3\right) \\ &\quad {}+\log_{16}\left(x^4\right)=40 \end{aligned}\text{？}$

For what value of $x$ does $\begin{aligned} &\log_{\sqrt2}\sqrt{x}+\log_2 x \\ &\quad {}+\log_4\left(x^2\right)+\log_8\left(x^3\right) \\ &\quad {}+\log_{16}\left(x^4\right)=40? \end{aligned}$

$8$

$16$

$32$

$256$

$1024$

答案：D

知识点：对数

难度评级：1500

小提示：

把每一项都换成以 $2$ 为底；设 $L=\log_2 x$

Convert every term to base $2;$ let $L=\log_2 x$

大提示：

五项中的每一项都化简为 $L$

Each of the five terms simplifies to $L$

解答：

设 $L=\log_2 x$ 。把每一项都换成以 $2$ 为底：

$\log_{\sqrt2}\sqrt{x}=\dfrac{\frac{L}{2}}{\frac{1}{2}}=L$ ， $\log_2 x=L$ ， $\log_4 x^2=\dfrac{2L}{2}=L$ ， $\log_8 x^3=\dfrac{3L}{3}=L$ ，且 $\log_{16}x^4=\dfrac{4L}{4}=L$ 。

方程变为 $5L=40$ ，所以 $L=8$ ， $x=2^8=256$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $L=\log_2 x.$ Converting each term to base $2:$

$\log_{\sqrt2}\sqrt{x}=\dfrac{\frac{L}{2}}{\frac{1}{2}}=L,$ $\log_2 x=L,$ $\log_4 x^2=\dfrac{2L}{2}=L,$ $\log_8 x^3=\dfrac{3L}{3}=L,$ and $\log_{16}x^4=\dfrac{4L}{4}=L.$

The equation becomes $5L=40,$ so $L=8$ and $x=2^8=256.$

Thus, the correct answer is D.

13.

在 $\triangle ABC$ 中， $\cos(2A-B)+\sin(A+B)=2$ ，且 $AB=4$ 。求 $BC$ ？

In $\triangle ABC,$ $\cos(2A-B)+\sin(A+B)=2$ and $AB=4.$ What is $BC?$

$\sqrt{2}$

$\sqrt{3}$

$2$

$2\sqrt{2}$

$2\sqrt{3}$

答案：C

知识点：三角学特殊直角三角形极限情形界定

难度评级：1560

小提示：

一个余弦和一个正弦都至多为 $1$ ，所以两者都必须等于 $1$

Both a cosine and a sine are at most $1,$ so each must equal $1$

大提示：

解 $2A-B=0^\circ$ 和 $A+B=90^\circ$ ，以确定三角形

Solve $2A-B=0^\circ$ and $A+B=90^\circ$ to identify the triangle

解答：

一个余弦值加一个正弦值等于 $2$ ，只能是两者都等于 $1$ 。因此 $\cos(2A-B)=1$ 且 $\sin(A+B)=1$ ，得 $2A-B=0^\circ$ 和 $A+B=90^\circ$ 。

解得 $A=30^\circ$ ， $B=60^\circ$ ，所以 $\triangle ABC$ 是直角在 $C$ 的 $30\text{-}60\text{-}90$ 直角三角形。

斜边 $AB=4$ 而 $BC$ 是 $30^\circ$ 角所对的边，等于斜边的一半，所以 $BC=2$ 。

因此，正确答案是 C。

A cosine plus a sine equals $2$ only when each equals $1.$ So $\cos(2A-B)=1$ and $\sin(A+B)=1,$ giving $2A-B=0^\circ$ and $A+B=90^\circ.$

Solving, $A=30^\circ$ and $B=60^\circ,$ so $\triangle ABC$ is a $30\text{-}60\text{-}90$ right triangle with the right angle at $C.$

With hypotenuse $AB=4,$ the side $BC$ opposite the $30^\circ$ angle is half the hypotenuse, so $BC=2.$

Thus, the correct answer is C.

14.

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 和 $e$ 为正整数，且 $a+b+c+d+e=2010$ 。令 $M$ 为 $a+b$ 、 $b+c$ 、 $c+d$ 和 $d+e$ 中的最大值。 $M$ 的最小可能值是多少？

Let $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ and $e$ be positive integers with $a+b+c+d+e=2010,$ and let $M$ be the largest of the sums $a+b,$ $b+c,$ $c+d,$ and $d+e.$ What is the smallest possible value of $M?$

$670$

$671$

$802$

$803$

$804$

答案：B

知识点：最优化不等式极端原理

难度评级：1670

小提示：

$(a+b)+c+(d+e)=2010$ ，且 $a+b$ 、 $c$ 和 $d+e$ 都至多为 $M$

$(a+b)+c+(d+e)=2010,$ and each of $a+b,$ $c,$ and $d+e$ is at most $M$

大提示：

这迫使 $3M\ge2010$ ；排除 $M=670$ ，再构造达到界的例子

This forces $3M\ge2010;$ rule out $M=670,$ then build an example reaching the bound

解答：

$a+b$ ， $d+e$ ，和 $c$ 都至多为 $M$ （注意 $c\le c+d\le M$ ）。相加得 $2010=(a+b)+c+(d+e)$ $\le3M$ ，所以 $M\ge670$ 。

如果 $M=670$ 则 $c=670$ ，但此时 $b+c\ge671\gt M$ ，矛盾。因此 $M\ge671$ 。

取 $(a,b,c,d,e)=$ $(669,1,670,1,669)$ ，可达到 $671$ ，其相邻两项和为 $670,671,671,670$ 。

因此，正确答案是 B。

Each of $a+b,$ $d+e,$ and $c$ is at most $M$ (note $c\le c+d\le M$ ). Adding, $2010=(a+b)+c+(d+e)$ $\le3M,$ so $M\ge670.$

If $M=670,$ then $c=670,$ but then $b+c\ge671\gt M,$ a contradiction. Hence $M\ge671.$

The value $671$ is reached by $(a,b,c,d,e)=$ $(669,1,670,1,669),$ whose consecutive-pair sums are $670,671,671,670.$

Thus, the correct answer is B.

15.

有多少个有序三元组 $(x, y, z)$ 满足：三个分量都是小于 $20$ 的非负整数，并且集合 $\{i^x, (1+i)^y, z\}$ 中恰好有两个不同的元素？其中 $i=\sqrt{-1}$ 。

For how many ordered triples $(x, y, z)$ of nonnegative integers less than $20$ are there exactly two distinct elements in the set $\{i^x, (1+i)^y, z\},$ where $i=\sqrt{-1}?$

$149$

$205$

$215$

$225$

$235$

答案：D

知识点：复数分类讨论基本计数

难度评级：2070

小提示：

$|i^x|=1$ 恒成立，而 $(1+i)^y$ 的模为 $2^{\frac{y}{2}}$

$|i^x|=1$ always, while $(1+i)^y$ has magnitude $2^{\frac{y}{2}}$

大提示：

按三个数中哪两个相等、第三个不同分成三种情况

Split into three cases by which two of the three entries coincide, keeping the third distinct

解答：

我们需要 $i^x$ ， $(1+i)^y$ ， $z$ 中恰好有两个相等，第三个不同。三种情况对应三种可能的相等配对。

情况 $i^x=(1+i)^y$ ： 因为 $|i^x|=1$ ，而当 $y\ge1$ 时 $|(1+i)^y|=2^{\frac{y}{2}}\gt1$ ，所以必须有 $y=0$ 。此时 $(1+i)^0=1$ ，且 $i^x=1$ ，即 $x\in\{0,4,8,12,16\}$ 。此时 $z$ 可以取除 $1$ 以外的任意一个值，共有 $19$ 种选择，得到 $5\cdot19=95$ 个三元组。

情况 $i^x=z$ ： $i^x$ 中唯一的非负整数值是 $1$ （当 $x$ 是 $4$ 的倍数时），所以 $z=1$ ，且 $(1+i)^y\ne1$ ，即 $y\ge1$ 。这给出 $5\cdot19=95$ 个三元组。

情况 $(1+i)^y=z$ ： 因为 $(1+i)^2=2i$ ，所以 $(1+i)^y$ 只有在 $y=0$ （值为 $1$ ）或 $y=8$ （值为 $16$ ）时才是小于 $20$ 的非负整数。如果 $y=0,\ z=1$ ，则需要 $i^x\ne1$ ，所以 $x$ 不是 $4$ 的倍数（ $15$ 个值）。如果 $y=8,\ z=16$ ，则 $i^x$ 不可能等于 $16$ ，所以 $x$ 可任取（ $20$ 个值）。这一情况给出 $15+20=35$ 个三元组。

总数为 $95+95+35=225$ 。

因此，正确答案是 D。

We need exactly two of $i^x,$ $(1+i)^y,$ $z$ equal, with the third different. The three cases are the three possible equal pairs.

Case $i^x=(1+i)^y:$ since $|i^x|=1$ but $|(1+i)^y|=2^{\frac{y}{2}}\gt1$ for $y\ge1,$ we need $y=0,$ so $(1+i)^0=1$ and $i^x=1,$ i.e. $x\in\{0,4,8,12,16\}.$ Then $z$ is any of the $19$ values other than $1.$ This gives $5\cdot19=95$ triples.

Case $i^x=z:$ the only nonnegative-integer value of $i^x$ is $1$ (with $x$ a multiple of $4$ ), so $z=1$ and $(1+i)^y\ne1,$ meaning $y\ge1.$ This gives $5\cdot19=95$ triples.

Case $(1+i)^y=z:$ since $(1+i)^2=2i,$ the power $(1+i)^y$ is a nonnegative integer below $20$ only for $y=0$ (value $1$ ) or $y=8$ (value $16$ ). If $y=0,\ z=1,$ we need $i^x\ne1,$ so $x$ is not a multiple of $4$ ( $15$ values). If $y=8,\ z=16,$ then $i^x$ is never $16,$ so $x$ is free ( $20$ values). This gives $15+20=35$ triples.

Altogether $95+95+35=225.$

Thus, the correct answer is D.

16.

从集合 $\{1, 2, 3, \ldots, 2010\}$ 中有放回地随机且独立选取正整数 $a$ ， $b$ 和 $c$ 。 $abc+ab+a$ 能被 $3$ 整除的概率是多少？

Positive integers $a,$ $b,$ and $c$ are randomly and independently selected with replacement from the set $\{1, 2, 3, \ldots, 2010\}.$ What is the probability that $abc+ab+a$ is divisible by $3?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{29}{81}$

$\dfrac{31}{81}$

$\dfrac{11}{27}$

$\dfrac{13}{27}$

答案：E

知识点：模运算基本概率分类讨论

难度评级：1810

小提示：

分解 $abc+ab+a=a(bc+b+1)$ ；每个模 $3$ 余数等可能出现

Factor $abc+ab+a=a(bc+b+1);$ each residue mod $3$ is equally likely

大提示：

如果 $a$ 是 $3$ 的倍数则成立；否则需要 $bc+b+1$ 是 $3$ 的倍数

If $a$ is divisible by $3$ it works; otherwise require $bc+b+1$ to be divisible by $3$

解答：

分解 $abc+ab+a=a(bc+b+1)$ 。因为 $2010$ 是 $3$ 的倍数， $a, b, c$ 在模 $3$ 下各个余数等可能。

如果 $a$ 是 $3$ 的倍数（概率为 $\tfrac13$ ），乘积能被 $3$ 整除。

如果 $a$ 不是 $3$ 的倍数（概率为 $\tfrac23$ ），需要 $bc+b+1$ 是 $3$ 的倍数。检查余数可知，这恰好在 $(b,c)\equiv(1,1)$ 或 $(2,0)\pmod3$ 时成立，概率为 $\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac13\cdot\tfrac13=\tfrac29$ 。

总概率是 $\frac13+\frac23\cdot\frac29=\frac13+\frac{4}{27}=\frac{13}{27}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Factor $abc+ab+a=a(bc+b+1).$ Since $2010$ is a multiple of $3,$ each of $a, b, c$ is uniform modulo $3.$

If $a$ is divisible by $3$ (probability $\tfrac13$ ), the product is divisible by $3.$

If $a$ is not divisible by $3$ (probability $\tfrac23$ ), we need $bc+b+1$ to be divisible by $3.$ Checking residues, this holds exactly when $(b,c)\equiv(1,1)$ or $(2,0)\pmod3,$ a probability of $\tfrac13\cdot\tfrac13+\tfrac13\cdot\tfrac13=\tfrac29.$

The total probability is $\frac13+\frac23\cdot\frac29=\frac13+\frac{4}{27}=\frac{13}{27}.$

Thus, the correct answer is E.

17.

一个 $3\times3$ 数组中的项包含数字 $1$ 到 $9$ ，各一次，并且每一行和每一列中的项都按递增顺序排列。这样的数组有多少个？

The entries in a $3\times3$ array include all the digits from $1$ through $9,$ arranged so that the entries in every row and column are in increasing order. How many such arrays are there?

$18$

$24$

$36$

$42$

$60$

答案：D

知识点：有限制的排列分类讨论

难度评级：1980

小提示：

左上角项被迫为 $1$ ，右下角项被迫为 $9$

The top-left entry is forced to be $1$ and the bottom-right to be $9$

大提示：

按中心项分类；中心项必须是 $4, 5$ ，或 $6$

Split into cases by the center entry, which must be $4, 5,$ or $6$

解答：

记第 $i$ 行第 $j$ 列的项为 $a_{ij}$ 。题设条件迫使 $a_{11}=1$ 、 $a_{33}=9$ ，且 $a_{22}\in\{4,5,6\}$ 。

如果 $a_{22}=4$ 则 $\{a_{12},a_{21}\}=\{2,3\}$ 而 $\{5,6,7,8\}$ 被分成互补的两对，填入最后一行和最后一列剩下的位置：分法有 $\binom42=6$ 种，再乘 $\{2,3\}$ 的 $2$ 种顺序，得到 $12$ 个数组。由对称性， $a_{22}=6$ 也给出 $12$ 个。

如果 $a_{22}=5$ 则 $\{a_{12},a_{13},a_{23}\}$ 和 $\{a_{21},a_{31},a_{32}\}$ 是 $\{2,3,4,6,7,8\}$ 的互补子集，并受递增顺序限制；第一组可以是任意三元子集，只要它不是 $\{2,3,4\}$ 或 $\{6,7,8\}$ ，因此有 $\binom63-2=18$ 个数组。

总共有 $12+12+18=42$ 。

因此，正确答案是 D。

Write $a_{ij}$ for the entry in row $i,$ column $j.$ The conditions force $a_{11}=1,$ $a_{33}=9,$ and $a_{22}\in\{4,5,6\}.$

If $a_{22}=4,$ then $\{a_{12},a_{21}\}=\{2,3\}$ and $\{5,6,7,8\}$ split as complementary pairs filling the rest of the last row and column: $\binom42=6$ splits times $2$ orders for $\{2,3\}$ gives $12$ arrays. By symmetry $a_{22}=6$ also gives $12.$

If $a_{22}=5,$ then $\{a_{12},a_{13},a_{23}\}$ and $\{a_{21},a_{31},a_{32}\}$ are complementary subsets of $\{2,3,4,6,7,8\}$ subject to the ordering constraints. The first set can be any three-element subset except $\{2,3,4\}$ or $\{6,7,8\},$ giving $\binom63-2=18$ arrays.

Altogether $12+12+18=42.$

Thus, the correct answer is D.

18.

一只青蛙跳 $3$ 次，每次恰好跳 $1$ 米。每次跳跃的方向都是独立随机选择的。青蛙最终位置离起点不超过 $1$ 米的概率是多少？

A frog makes $3$ jumps, each exactly $1$ meter long. The directions of the jumps are chosen independently and at random. What is the probability that the frog’s final position is no more than $1$ meter from its starting position?

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

答案：C

知识点：几何概率随机游走

难度评级：2030

小提示：

把中间一跳固定在一条线段上；起点和终点由两个独立角度决定

Anchor the middle jump on a fixed segment; the start and end depend on two independent angles

大提示：

把条件化为这两个角度平面中的一个区域，再比较面积

Reduce the condition to a region in the plane of those two angles, then compare areas

解答：

这是一个连续的几何概率问题。把第二跳固定为从 $P=(0,0)$ 到 $Q=(1,0)$ ，令 $\alpha,\beta$ 为第一跳和第三跳的方向，则起点为 $A=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ ，终点为 $B=(1+\cos\beta,\sin\beta)$ 。

取 $0\le\alpha\le\pi$ 和 $0\le\beta\le2\pi$ ，条件 $AB\le1$ 恰好等价于 $\alpha\le\beta\le\pi$ 。

在面积为 $2\pi^2$ 的 $\alpha\beta$ -矩形中，有利区域是面积 $\tfrac{\pi^2}{2}$ 的三角形，所以概率为 $\dfrac{\frac{\pi^2}{2}}{2\pi^2}=\dfrac14$ 。

因此，正确答案是 C。

This is a continuous (geometric) probability. Anchor the second jump from $P=(0,0)$ to $Q=(1,0),$ and let $\alpha,\beta$ be the directions of the first and third jumps, so the start is $A=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ and the end is $B=(1+\cos\beta,\sin\beta).$

Taking $0\le\alpha\le\pi$ and $0\le\beta\le2\pi,$ the requirement $AB\le1$ holds exactly when $\alpha\le\beta\le\pi.$

In the $\alpha\beta$ -rectangle of area $2\pi^2,$ the favorable region is a triangle of area $\tfrac{\pi^2}{2},$ so the probability is $\dfrac{\frac{\pi^2}{2}}{2\pi^2}=\dfrac14.$

Thus, the correct answer is C.

19.

Raiders 队和 Wildcats 队的一场高中篮球赛在第一节结束时打平。Raiders 队四节的得分构成递增等比数列，Wildcats 队四节的得分构成递增等差数列。第四节结束时，Raiders 队以一分获胜。两队得分都不超过 $100$ 分。上半场两队总共得了多少分？

A high school basketball game between the Raiders and the Wildcats was tied at the end of the first quarter. The number of points scored by the Raiders in each of the four quarters formed an increasing geometric sequence, and the number of points scored by the Wildcats in each of the four quarters formed an increasing arithmetic sequence. At the end of the fourth quarter, the Raiders had won by one point. Neither team scored more than $100$ points. What was the total number of points scored by the two teams in the first half?

$30$

$31$

$32$

$33$

$34$

答案：E

知识点：等比数列等差数列极限情形界定

难度评级：2180

小提示：

设 Raiders 得分为 $a, ar, ar^2, ar^3$ ，Wildcats 得分为 $a, a+d, a+2d, a+3d$ ，第一节同为 $a$

Let the Raiders score $a, ar, ar^2, ar^3$ and the Wildcats $a, a+d, a+2d, a+3d,$ tied at $a$

大提示：

总分相差 $1$ ，且两队的总分都低于 $100$ ，这迫使各项取值较小

The totals differ by $1$ and both stay under $100,$ which forces small values

解答：

设 Raiders 四节的得分依次为 $a, ar, ar^2, ar^3$ （递增等比数列， $r\gt1$ ），Wildcats 的得分依次为 $a, a+d, a+2d, a+3d$ （递增等差数列），两队第一节都得 $a$ 。

将 $r=\frac{m}{n}$ 写成最简分数，其中 $m\gt n$ 。因为 $ar^3$ 是整数，所以 $a$ 是 $n^3$ 的倍数；令 $a=A n^3$ 。Raiders 的总分为 $R=A(n^3+mn^2+m^2n+m^3)\text{。}$ 由于 $m^3\lt R\le100$ ，可知 $m\le4$ 。数对 $(4,3)$ 已使括号内的和达到 $175$ ，所以互质数对 $(m,n)$ 只可能是 $(2,1),(3,1),(3,2),(4,1)$ 。

相应的 $\frac{R}{A}$ 分别为 $15,40,65,85$ 。对于 $(4,1)$ 和 $(3,2)$ ，上界迫使 $A=1$ ，但由 $R-1=4a+6d$ 得到的 $d$ 不是整数。对于 $(3,1)$ ，会得到 $36A-1=6d$ ，这在模 $6$ 意义下不可能。

当 $(m,n)=(2,1)$ 时， $R=15A$ 且 $a=A$ ，所以 $11A-1=6d$ 。因而 $A\equiv5\pmod6$ ，再由 $R\le100$ 得 $A=5$ 。此时 $d=9$ ，Raiders 的得分是 $5,10,20,40$ ，Wildcats 的得分是 $5,14,23,32$ 。Raiders 以 $75$ 比 $74$ 获胜。

上半场总分为 $(5+10)+(5+14)=34$ 。

因此，正确答案是 E。

Let the Raiders score $a, ar, ar^2, ar^3$ (increasing geometric, $r\gt1$ ) and the Wildcats $a, a+d, a+2d, a+3d$ (increasing arithmetic), tied in the first quarter at $a.$

Write $r=\frac{m}{n}$ in lowest terms, with $m\gt n.$ Since $ar^3$ is an integer, $a$ is divisible by $n^3;$ put $a=A n^3.$ The Raiders’ total is $R=A(n^3+mn^2+m^2n+m^3).$ Since $m^3\lt R\le100,$ we have $m\le4.$ The pair $(4,3)$ already makes the parenthesized sum $175,$ so the only possible coprime pairs $(m,n)$ are $(2,1),(3,1),(3,2),(4,1).$

The corresponding base values of $\frac{R}{A}$ are $15,40,65,85.$ For $(4,1)$ and $(3,2),$ the bound forces $A=1,$ but $R-1=4a+6d$ gives a nonintegral $d.$ For $(3,1),$ it would give $36A-1=6d,$ which is impossible modulo $6.$

For $(m,n)=(2,1),$ we have $R=15A$ and $a=A,$ so $11A-1=6d.$ Thus $A\equiv5\pmod6,$ and $R\le100$ forces $A=5.$ Then $d=9,$ giving Raiders scores $5,10,20,40$ and Wildcats scores $5,14,23,32.$ The Raiders win $75$ to $74.$

The first-half total is $(5+10)+(5+14)=34.$

Thus, the correct answer is E.

20.

某等比数列 $(a_n)$ 满足 $a_1=\sin x$ ， $a_2=\cos x$ ，且 $a_3=\tan x$ ，其中 $x$ 为某个实数。对哪个 $n$ 有 $a_n=1+\cos x$ ？

A geometric sequence $(a_n)$ has $a_1=\sin x,$ $a_2=\cos x,$ and $a_3=\tan x$ for some real number $x.$ For what value of $n$ does $a_n=1+\cos x?$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

答案：E

知识点：等比数列三角恒等式

难度评级：2240

小提示：

公比为 $r=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x$ ；计算 $a_4=a_3\cdot r$

The common ratio is $r=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x;$ compute $a_4=a_3\cdot r$

大提示：

证明 $a_4=1$ 且 $1+\cos x=r^4$ ，再把 $1+\cos x$ 写成 $a_4\cdot r^4$

Show $a_4=1$ and $1+\cos x=r^4,$ then write $1+\cos x$ as $a_4\cdot r^4$

解答：

公比为 $r=\dfrac{a_2}{a_1}=\cot x$ 。因此 $a_4=a_3\cdot r=\tan x\cot x=1$ 。

由 $a_3=a_1r^2$ ，得 $\tan x=\sin x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin x}$ ，所以 $\sin^2 x=\cos^3 x$ ，即 $(\cos^2 x)(1+\cos x)=1$ 。

因此 $1+\cos x=\dfrac{1}{\cos^2 x}$ 。又 $r^2=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^3 x}=\dfrac{1}{\cos x}$ ，所以 $r^4=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\cos x$ 。

所以 $1+\cos x=a_4\cdot r^4=a_8$ ，因此 $n=8$ 。

因此，正确答案是 E。

The common ratio is $r=\dfrac{a_2}{a_1}=\cot x.$ Then $a_4=a_3\cdot r=\tan x\cot x=1.$

From $a_3=a_1r^2,$ we get $\tan x=\sin x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin x},$ so $\sin^2 x=\cos^3 x,$ i.e. $(\cos^2 x)(1+\cos x)=1.$

Hence $1+\cos x=\dfrac{1}{\cos^2 x}.$ Also $r^2=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x}{\cos^3 x}=\dfrac{1}{\cos x},$ so $r^4=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\cos x.$

Therefore $1+\cos x=a_4\cdot r^4=a_8,$ so $n=8.$

Thus, the correct answer is E.

21.

设 $a\gt0$ ，且 $P(x)$ 是一个整系数多项式，满足 $\begin{aligned} &P(1)=P(3)=P(5) \\ &\quad {}=P(7)=a\text{，} \end{aligned}$ 以及 $\begin{aligned} &P(2)=P(4)=P(6) \\ &\quad {}=P(8)=-a\text{。} \end{aligned}$ 求 $a$ 的最小可能值。

Let $a\gt0,$ and let $P(x)$ be a polynomial with integer coefficients such that $\begin{aligned} &P(1)=P(3)=P(5) \\ &\quad {}=P(7)=a, \end{aligned}$ and $\begin{aligned} &P(2)=P(4)=P(6) \\ &\quad {}=P(8)=-a. \end{aligned}$ What is the smallest possible value of $a?$

$105$

$315$

$945$

$7!$

$8!$

答案：B

知识点：多项式整除性最小公倍数

难度评级：2300

小提示：

对某个整系数多项式 $Q$ 有 $P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$

$P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ for some integer polynomial $Q$

大提示：

在 $x=2,4,6,8$ 处代入，迫使 $2a$ 是 $\operatorname{lcm}(15,9,105)$ 的倍数

Evaluate at $x=2,4,6,8$ to force $2a$ to be divisible by $\operatorname{lcm}(15,9,105)$

解答：

因为 $1, 3, 5, 7$ 是 $P(x)-a$ 的根，可写作 $P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ ，其中 $Q$ 的系数都是整数。

在 $x=2, 4, 6, 8$ 处代入（此时 $P=-a$ ）得到 $\begin{aligned} -2a &=-15\,Q(2) \\ &=9\,Q(4) \\ &=-15\,Q(6) \\ &=105\,Q(8) \end{aligned}\text{。}$

因此 $15, 9$ 和 $105$ 都整除 $2a$ ，所以 $\operatorname{lcm}(15,9,105)=315$ 整除 $2a$ 。因为 $315$ 是奇数， $a$ 是 $315$ 的倍数，所以 $a\ge315$ 。

为了达到这个下界，取 $\begin{aligned} F(x)&=(x-1)(x-3) \\ &\quad\cdot(x-5)(x-7), \\ Q(x)&=42+(x-2)(x-6) \\ &\quad\cdot(60-8x), \\ P(x)&=315+F(x)Q(x) \end{aligned}\text{。}$ 这个整系数多项式在 $1,3,5,7$ 处的取值都是 $315$ 。在 $2,4$ 处，数对 $(F(x),Q(x))$ 分别为 $(-15,42),(9,-70)$ ；在 $6,8$ 处则分别为 $(-15,42),(105,-6)$ 。因此每次都有 $F(x)Q(x)=-630$ ，从而 $P(x)=-315$ 。所以这个下界确实可以达到。

因此，正确答案是 B。

Since $1, 3, 5, 7$ are roots of $P(x)-a,$ write $P(x)-a=(x-1)(x-3)$ $\cdot(x-5)(x-7)Q(x)$ with $Q$ having integer coefficients.

Evaluating at $x=2, 4, 6, 8$ (where $P=-a$ ) gives $\begin{aligned} -2a &=-15\,Q(2) \\ &=9\,Q(4) \\ &=-15\,Q(6) \\ &=105\,Q(8). \end{aligned}$

So $15, 9,$ and $105$ all divide $2a,$ hence $\operatorname{lcm}(15,9,105)=315$ divides $2a.$ Since $315$ is odd, $a$ is divisible by $315,$ so $a\ge315.$

To attain the bound, let $\begin{aligned} F(x)&=(x-1)(x-3) \\ &\quad\cdot(x-5)(x-7), \\ Q(x)&=42+(x-2)(x-6) \\ &\quad\cdot(60-8x), \\ P(x)&=315+F(x)Q(x). \end{aligned}$ This integer polynomial equals $315$ at $1,3,5,7.$ At $2,4,$ the pairs $(F(x),Q(x))$ are $(-15,42),(9,-70),$ and at $6,8$ they are $(-15,42),(105,-6).$ Thus $F(x)Q(x)=-630$ each time and $P(x)=-315.$ Hence the bound is attainable.

Thus, the correct answer is B.

22.

设 $ABCD$ 是圆内接四边形。 $ABCD$ 的边长是互不相同且小于 $15$ 的整数，并且 $BC\cdot CD=AB\cdot DA$ 。 $BD$ 的最大可能值是多少？

Let $ABCD$ be a cyclic quadrilateral. The side lengths of $ABCD$ are distinct integers less than $15$ such that $BC\cdot CD=AB\cdot DA.$ What is the largest possible value of $BD?$

$\sqrt{\dfrac{325}{2}}$

$\sqrt{185}$

$\sqrt{\dfrac{389}{2}}$

$\sqrt{\dfrac{425}{2}}$

$\sqrt{\dfrac{533}{2}}$

答案：D

知识点：圆内接四边形托勒密定理最优化

难度评级：2420

小提示：

设 $a=AB$ ， $b=BC$ ， $c=CD$ ， $d=DA$ 且 $bc=ad=k$ ；比较面积可得 $(ab+cd)\cdot AC=2k\cdot BD$

Let $a=AB,$ $b=BC,$ $c=CD,$ $d=DA$ with $bc=ad=k;$ comparing areas gives $(ab+cd)\cdot AC=2k\cdot BD$

大提示：

由托勒密定理 $AC\cdot BD=ac+bd$ ，消去 $AC$ 得 $BD^2=\tfrac12(a^2+b^2+c^2+d^2)$

With Ptolemy’s $AC\cdot BD=ac+bd,$ eliminate $AC$ to get $BD^2=\tfrac12(a^2+b^2+c^2+d^2)$

解答：

令 $a=AB$ ， $b=BC$ ， $c=CD$ ， $d=DA$ ，并令 $k=bc=ad$ 。用外接圆半径表示各三角形的面积，再利用 $[ABC]+[CDA]=$ $[BCD]+[ABD]$ ，可得 $(ab+cd)\cdot AC=2k\cdot BD$ 。

托勒密定理给出 $AC\cdot BD=ac+bd$ 。消去 $AC$ ，得 $\begin{aligned} BD^2 &=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{2k} \\ &=\frac12\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right) \end{aligned}\text{。}$

四条边是小于 $15$ 的互异整数，并满足 $bc=ad$ ，所以 $11$ 和 $13$ 都不能出现（它们都是质数，需要等式另一侧有相应因子）。

如果最大边至多为 $12$ ，因为不能使用 $11$ ，四边平方和至多为 $12^2+10^2+9^2+8^2=389$ 。

现在设最大边为 $14$ ，其余三边记为 $s_1\gt s_2\gt s_3$ 。乘积条件必须把 $14$ 与 $s_3$ 配对，所以 $14s_3=s_1s_2$ 。因而 $s_1,s_2$ 中一个等于 $7$ 。若 $s_1=7$ ，平方和小于 $14^2+7^2+6^2+5^2=306$ 。若 $s_2=7$ ，则 $s_1=2s_3$ ，最大的可能是 $(s_1,s_2,s_3)=(12,7,6)$ 。因此 $\begin{aligned} 2BD^2 &=14^2+12^2+7^2+6^2 \\ &=425 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $BD\le\sqrt{\dfrac{425}{2}}$ 。边依次为 $(a,b,c,d)=(14,12,7,6)$ 的圆内接四边形达到等号，此时 $bc=ad=84$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $a=AB,$ $b=BC,$ $c=CD,$ $d=DA$ and $k=bc=ad.$ Writing each triangle’s area in terms of the circumradius and using $[ABC]+[CDA]=$ $[BCD]+[ABD]$ gives $(ab+cd)\cdot AC=2k\cdot BD.$

Ptolemy’s theorem gives $AC\cdot BD=ac+bd.$ Eliminating $AC,$ $\begin{aligned} BD^2 &=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{2k} \\ &=\frac12\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right). \end{aligned}$

The sides are distinct integers below $15$ with $bc=ad,$ so neither $11$ nor $13$ can appear (each is prime and would need a matching factor on the other side).

If the largest side is at most $12,$ the four squares sum to at most $12^2+10^2+9^2+8^2=389,$ because $11$ is unavailable.

Now suppose the largest side is $14,$ and write the others as $s_1\gt s_2\gt s_3.$ The product condition must pair $14$ with $s_3,$ so $14s_3=s_1s_2.$ Hence one of $s_1,s_2$ equals $7.$ If $s_1=7,$ the sum of squares is less than $14^2+7^2+6^2+5^2=306.$ If $s_2=7,$ then $s_1=2s_3,$ so the largest possibility is $(s_1,s_2,s_3)=(12,7,6).$ Thus $\begin{aligned} 2BD^2 &=14^2+12^2+7^2+6^2 \\ &=425, \end{aligned}$ so $BD\le\sqrt{\dfrac{425}{2}}.$ Equality is attained by the cyclic quadrilateral with side order $(a,b,c,d)=(14,12,7,6),$ for which $bc=ad=84.$

Thus, the correct answer is D.

23.

首一二次多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 满足： $P(Q(x))$ 在 $x=-23$ ， $-21$ ， $-17$ 和 $-15$ 处为零，且 $Q(P(x))$ 在 $x=-59$ ， $-57$ ， $-51$ 和 $-49$ 处为零。 $P(x)$ 与 $Q(x)$ 的最小值之和是多少？

Monic quadratic polynomials $P(x)$ and $Q(x)$ have the property that $P(Q(x))$ has zeros at $x=-23,$ $-21,$ $-17,$ and $-15,$ and $Q(P(x))$ has zeros at $x=-59,$ $-57,$ $-51,$ and $-49.$ What is the sum of the minimum values of $P(x)$ and $Q(x)?$

$-100$

$-82$

$-73$

$-64$

$0$

答案：A

知识点：多项式配方法对称性（代数）

难度评级：2420

小提示：

写成 $P(x)=(x-h_1)^2-k_1^2$ 和 $Q(x)=(x-h_2)^2-k_2^2$ ； $P(Q(x))$ 的零点关于 $x=h_2$ 对称

Write $P(x)=(x-h_1)^2-k_1^2$ and $Q(x)=(x-h_2)^2-k_2^2;$ the zeros of $P(Q(x))$ are symmetric about $x=h_2$

大提示：

最小值为 $-k_1^2$ 和 $-k_2^2$ ；根据给定零点的间距求 $k_1,k_2$

The minimum values are $-k_1^2$ and $-k_2^2;$ find $k_1,k_2$ from the spacings of the given zeros

解答：

如果 $P$ 只有一个实根，那么 $P(Q(x))=0$ 至多有两个实数解，而不是四个。因此 $P$ 有两个不同的实根；同理， $Q$ 也有两个不同的实根。写成 $P(x)=(x-h_1)^2-k_1^2$ 和 $Q(x)=(x-h_2)^2-k_2^2$ ，其中 $k_1,k_2\gt0$ ，最小值分别为 $-k_1^2$ 和 $-k_2^2$ 。

方程 $P(Q(x))$ 的零点满足 $Q(x)=h_1\pm k_1$ ；四个解关于 $h_2$ 对称，所以 $h_2$ 是平均数 $\tfrac{-23-21-17-15}{4}=-19$ 。于是 $Q(-15)-Q(-17)$ $=(16-k_2^2)-(4-k_2^2)$ $=12$ ，而这个差等于 $2k_1$ ，所以 $k_1=6$ 。

对称地， $h_1=\tfrac{-59-57-51-49}{4}=-54$ ，且 $P(-49)-P(-51)$ $=(25-k_1^2)-(9-k_1^2)$ $=16=2k_2$ ，所以 $k_2=8$ 。

两个最小值之和为 $-k_1^2-k_2^2=-36-64=-100$ 。

因此，正确答案是 A。

If $P$ had only one real root, then $P(Q(x))=0$ would have at most two real solutions, not four. Thus $P$ has two distinct real roots, and the same argument applies to $Q.$ Write $P(x)=(x-h_1)^2-k_1^2$ and $Q(x)=(x-h_2)^2-k_2^2,$ with $k_1,k_2\gt0$ and minimum values $-k_1^2$ and $-k_2^2.$

The zeros of $P(Q(x))$ occur where $Q(x)=h_1\pm k_1;$ their four solutions are symmetric about $h_2,$ so $h_2$ is the average $\tfrac{-23-21-17-15}{4}=-19.$ Then $Q(-15)-Q(-17)$ $=(16-k_2^2)-(4-k_2^2)$ $=12,$ and this difference equals $2k_1,$ so $k_1=6.$

Symmetrically, $h_1=\tfrac{-59-57-51-49}{4}=-54,$ and $P(-49)-P(-51)$ $=(25-k_1^2)-(9-k_1^2)$ $=16=2k_2,$ so $k_2=8.$

The sum of the minimum values is $-k_1^2-k_2^2=-36-64=-100.$

Thus, the correct answer is A.

24.

满足 $\begin{aligned} &\frac{1}{x-2009}+\frac{1}{x-2010} \\ &\quad {}+\frac{1}{x-2011}\ge1 \end{aligned}$ 的实数 $x$ 构成若干形如 $a\lt x\le b$ 的区间之并。这些区间的长度之和是多少？

The set of real numbers $x$ for which $\begin{aligned} &\frac{1}{x-2009}+\frac{1}{x-2010} \\ &\quad {}+\frac{1}{x-2011}\ge1 \end{aligned}$ is the union of intervals of the form $a\lt x\le b.$ What is the sum of the lengths of these intervals?

$\dfrac{1003}{335}$

$\dfrac{1004}{335}$

$3$

$\dfrac{403}{134}$

$\dfrac{202}{67}$

答案：C

知识点：分式方程不等式韦达定理

难度评级：2320

小提示：

左边在每个竖直渐近线之间的区间上递减，所以每个解区间都结束于方程 $=1$ 的一个根

The left side is decreasing on each interval between its vertical asymptotes, so each solution interval ends at a root of the equation $=1$

大提示：

三个右端点是一个三次方程的根；用韦达定理求它们的和

The three right endpoints are the roots of a cubic; sum them with Vieta

解答：

设 $f(x)$ 为不等式的左边。在相邻的竖直渐近线 $2009, 2010, 2011$ 之间的每个区间上，函数 $f$ 都递减；而且对所有 $x\lt2009$ ，都有 $f\lt1$ 。

在 $(2009,2010)$ 、 $(2010,2011)$ 和 $(2011,\infty)$ 上，解都是从左侧的渐近线开始，直到某个满足 $f(x_i)=1$ 的 $x_i$ 为止。因此解集由三个区间组成，左端点为 $2009, 2010, 2011$ ，右端点为 $x_1, x_2, x_3$ 。

总长度是 $(x_1-2009)$ $+(x_2-2010)$ $+(x_3-2011)$ $=x_1+x_2+x_3-6030$ 。

在 $f(x)=1$ 中清除分母，得到 $\begin{aligned} &x^3 \\ &\quad \small{}-(2009+2010+2011+3)x^2 \\ &\quad {}+\cdots=0\text{，} \end{aligned}$ 它的三个根是 $x_1, x_2, x_3$ 。由韦达定理， $x_1+x_2+x_3=6033$ ，所以长度之和为 $6033-6030=3$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $f(x)$ be the left-hand side. On each interval between consecutive asymptotes $2009, 2010, 2011,$ the function $f$ is decreasing, and $f\lt1$ for all $x\lt2009.$

On each of $(2009,2010),$ $(2010,2011),$ and $(2011,\infty),$ the solution is the part from the left asymptote up to a value $x_i$ where $f(x_i)=1.$ So the solution set consists of three intervals with left endpoints $2009, 2010, 2011$ and right endpoints $x_1, x_2, x_3.$

The total length is $(x_1-2009)$ $+(x_2-2010)$ $+(x_3-2011)$ $=x_1+x_2+x_3-6030.$

Clearing denominators in $f(x)=1$ gives $\begin{aligned} &x^3 \\ &\quad \small{}-(2009+2010+2011+3)x^2 \\ &\quad {}+\cdots=0, \end{aligned}$ whose roots are $x_1, x_2, x_3.$ By Vieta, $x_1+x_2+x_3=6033,$ so the sum of lengths is $6033-6030=3.$

Thus, the correct answer is C.

25.

对每个整数 $n\ge2$ ，令 $\operatorname{pow}(n)$ 为整除 $n$ 的最大质数的最大幂。例如， $\operatorname{pow}(144)=\operatorname{pow}(2^4\cdot3^2)=3^2$ 。求最大的整数 $m$ ，使得 $2010^m$ 整除 $\prod_{n=2}^{5300}\operatorname{pow}(n)\text{？}$

For every integer $n\ge2,$ let $\operatorname{pow}(n)$ be the largest power of the largest prime that divides $n.$ For example, $\operatorname{pow}(144)=\operatorname{pow}(2^4\cdot3^2)=3^2.$ What is the largest integer $m$ such that $2010^m$ divides $\prod_{n=2}^{5300}\operatorname{pow}(n)?$

$74$

$75$

$76$

$77$

$78$

答案：D

知识点：质因数分解质数区间内整数计数

难度评级：2640

小提示：

$2010=2\cdot3\cdot5\cdot67$ ；求乘积中每个质数的指数并取最小值

$2010=2\cdot3\cdot5\cdot67;$ find the exponent of each prime in the product and take the minimum

大提示：

$\operatorname{pow}(n)$ 只有在 $p$ 是 $n$ 的最大质因数时才会贡献质数 $p$

$\operatorname{pow}(n)$ contributes a prime $p$ only when $p$ is the largest prime factor of $n$

解答：

因为 $2010=2\cdot3\cdot5\cdot67$ ，将乘积写成 $2^A3^B5^C67^D$ 乘以一个与这四个质数都互质的因子；于是 $m=\min(A,B,C,D)$ 。

质数 $2$ ： 只有当 $n=2^k$ 时， $\operatorname{pow}(n)$ 才是 $2$ 的幂。因为 $2^{12}=4096\lt5300\lt2^{13}$ ，所以 $k=1,\ldots,12$ 贡献 $A=1+2+\cdots+12=78$ 。

质数 $67$ ： 当 $67$ 是最大质因数时， $\operatorname{pow}(n)=67$ ，即 $n=67j$ ，其中 $1\le j\le79$ ，且 $j$ 的每个质因数都至多为 $67$ ；排除 $j=67, 71, 73, 79$ 后剩下 $75$ 个值。唯一满足 $\operatorname{pow}(n)=67^2$ 的 $n$ 是 $n=67^2\lt5300$ ，再贡献 $2$ 。所以 $D=75+2=77$ 。

质数 $3$ ： 对于 $n=2^a3^b$ ，当 $b=1,2,3,4$ 时，允许的指数 $a$ 的个数分别为 $11,10,8,7$ ，仅这些项就贡献 $\begin{aligned} B&\ge11+2\cdot10 \\ &\quad+3\cdot8+4\cdot7=83 \end{aligned}\text{。}$

质数 $5$ ： 写成 $n=2^a3^c5^b$ 。当 $b=1$ 时，对 $c=0,\ldots,6$ 的计数总和为 $11+9+7+6+4+3+1=41$ 。当 $b=2$ 时，计数总和为 $8+7+5+3+2=25$ ，每个贡献两个因数 $5$ 。因此 $C\ge41+2\cdot25=91$ 。

所以 $m=\min(78,B,C,77)=77$ 。

因此，正确答案是 D。

Since $2010=2\cdot3\cdot5\cdot67,$ write the product as $2^A3^B5^C67^D$ times a factor coprime to all four primes; then $m=\min(A,B,C,D).$

Prime $2:$ $\operatorname{pow}(n)$ is a power of $2$ only when $n=2^k.$ Since $2^{12}=4096\lt5300\lt2^{13},$ the values $k=1,\ldots,12$ contribute $A=1+2+\cdots+12=78.$

Prime $67:$ $\operatorname{pow}(n)=67$ when $67$ is the largest prime factor, i.e. $n=67j$ with $1\le j\le79$ and every prime factor of $j$ at most $67;$ excluding $j=67, 71, 73, 79$ leaves $75$ values. The one $n$ with $\operatorname{pow}(n)=67^2$ is $n=67^2\lt5300,$ adding $2.$ So $D=75+2=77.$

Prime $3:$ For $n=2^a3^b$ with $b=1,2,3,4,$ the numbers of allowable exponents $a$ are $11,10,8,7,$ respectively. These terms alone contribute $\begin{aligned} B&\ge11+2\cdot10 \\ &\quad+3\cdot8+4\cdot7=83. \end{aligned}$

Prime $5:$ Write $n=2^a3^c5^b.$ For $b=1,$ the counts over $c=0,\ldots,6$ total $11+9+7+6+4+3+1=41.$ For $b=2,$ the counts total $8+7+5+3+2=25,$ each contributing two factors of $5.$ Hence $C\ge41+2\cdot25=91.$

Therefore $m=\min(78,B,C,77)=77.$

Thus, the correct answer is D.